1、第三章 采樣與量化 3.1 采樣 3.2 量化 3.3 重構與內插 3.4 仿真采樣頻率 本課的主要目的是研究利用數字計算機對通信系統進行精確 的仿真所需的基本方法。在大多數的通信應用中，是通過要 研究的系統來產生和處理信號波形的。當然，計算機只能處 理所關心的表示信號波形的采樣點的數值。另外，采樣點的 值是經過量化的。因此，在所有的數字仿真中，采樣和量化 都是基本的操作，其中每一個操作都會給仿真結果帶來誤差。 而完全消除這些誤差是不可能的，故往往需要作折中。我們 所能做的頂多是使采樣和量化對仿真精度的影響最小化。 3.1 采樣 數字信號是通過對模擬信號進行采樣、量化和編碼得到 的。 模擬信號

2、：是時間和幅度都連續的信號，記作x（t）。 采樣數據信號：對模擬信號采樣，采樣結果是產生幅 度連續而時間離散的信號， 數字信號：通過將時間采樣值編碼到一個有限的數值 集合，可由采樣數據信號得到數字信號。 注意：在這些處理的每一步中都會引入誤差。 3.1.1低通采樣定理 從時間連續信號X(t)到數字信號轉換第一步就是，對X(t) 進行等時間間隔采樣，得到采樣值 。 參數Ts是采樣周期，其倒數就是采樣頻率fs。 采樣操作的模型如下圖所示。 ( )() ss x tx kTx k 采樣操作和采樣函數 采樣信號Xs(t)是用信號X(t)乘以周期脈沖p(t)來產 生。也即 信號p(t)叫采樣函數。假設采

3、樣函數為窄脈沖，其取 值為0或1。當p(t)=1時， Xs(t)= X(t)，當p(t)=0時Xs(t) =0， p(t)可以是任意的。 由于p(t)是周期信號，可以用傅里葉級數表 示為 式中的傅里葉系數由下式給出： 將式(3.2)帶入式(3.1)中得采樣后的信號為 采樣信號的傅里葉變換為 交換上式中積分和求和的順序，有 由于連續信號X(t)的傅里葉變換為 則由式(3.6)可得采樣信號的傅里葉變換 從上式可以看出，對時間連續信號的采樣導致 了信號頻譜在直流點（f=0）和所有采樣點的 諧波（f=nfs）處產生重復。 由于假定采樣是瞬時的，p(t)可定義為： 這就是所謂的沖擊函數采樣，其中采樣的值

4、由 沖擊函數的權來表示，將式(3.9)代入式(3.3)有 應用 函數的移位特性，有 利用式（3.2）顯示的結果，p(t)的傅里葉變換可寫成 對脈沖函數采樣，對所有的n，式 都成立。因此應用式(3.8)，采樣后信號的 頻譜變為 這個結果也可從下面的表達式得到 采樣在頻域表示 下圖為由式(3.14)產生的帶限信號的采樣xs(f)的情況。 重構：通過使用低通濾波器在n0附近提取xs(f) 的頻譜，可以完成從xs(t)到x(t)信號的重構。 要求：要完成無差錯的信號恢復，要求xs(f)在 f=fs附近的頻譜與在f=0處的頻譜沒有重疊。 換句話說式(313)中的頻譜必須是分離的。 定理一 如果采樣頻率如

5、果采樣頻率fs大于大于2fh，那么帶限信號就可以，那么帶限信號就可以 無差錯地通過其采樣信號恢復，這里無差錯地通過其采樣信號恢復，這里fh表示被表示被 采樣信號中出現的最高頻率。采樣信號中出現的最高頻率。 注：這個定理通常指低通信號的采樣定理，但 它對帶通信號同樣適用。 混疊：如果fsW這種典型情況下，用寬 帶信號所需的采樣率對窄帶信號進行采樣，其結果將 導致仿真的時間過大，效率會很低。理想的是每個信 號的采樣就采用適合本信號的采樣率。 上采樣和內插 上采樣上采樣 就是提高采樣頻率。上采樣使得采樣周期降低M 倍。因此，根據對應的連續時間信號x(t)，上采樣過程從 原有的采樣值 生成新采樣 值

6、。作為例子，假定通過對重構信號 xr(t)在t=nTs/M處內插來構造一組新的采樣，其中重構 信號xr(t)由式(3-49)給出。進行操作后為： 對sinc(.)進行截斷有 對sinc(.)進行截斷有 雖然不完美但是這是一個更實際的內插器，增大L 就可以降低內插的誤差。然而，由于每個內插采樣 點需要2L+1個樣點，對于大的L，計算負荷往往是 難以接受的。因此，在計算負荷和精度之間就有一 個折中，這種折中在我們的仿真研究中會多次碰到。 更實用的內插器是線性內插器，它比sinc()函數 內插所需的計算量要小得多。線性內插器的脈 沖響應定義為： 內插操作圖如下： 很明顯，上采樣和下采樣郡引入了很多的

7、額外開 銷。如果上采樣倍數M適度，比方說是2或3，通 常最好用單采樣頻率開發仿真系統，從而窄帶信 號的過采樣會出現在系統中。然而，如果B和W相 差太多，那么通常最有效的方法是對仿真中每個 具有不同帶寬的信號采用合適的采樣頻率。 上采樣和內插操作 下采樣（抽值） 下采樣下采樣是頻率降低的過程。 實現方法：實現方法：這個過程通過用單個采樣代替M個采樣來 完成，因此下采樣比上采樣簡單得多。 下采樣器輸出的采樣點是通過在采樣過程中對采 樣周期增加M倍來完成的，因而下采樣器輸出的采樣點 記作 。由 給出。采樣值由下式得到 3.4 仿真采樣頻率 開發仿真時要作的一個基本決定是選擇多大的 采樣頻率。對于沒有

8、反饋的線性系統，必須的 采樣頻率是由可接受的混疊誤差決定的，而這 又有賴于成型脈沖的功率譜密度。因為成形脈 沖對選擇合適的采樣頻率很重要。 問題：問題： 1.從采樣的研究得知，要完全消除混疊誤差需 要無限的采樣頻率，這在實際中顯然是不可 能的。 2.隨著采樣頻率的增加，對每個通過系統的數 據符號都要處理更多的采樣點，而這會增加 執行仿真所需時間。在實際中不可能消除混 疊現象，一個自然的策略就是選擇合適的采 樣頻率，以便在混疊誤差和仿真時間之間達 成折中。 表示數據隨機序列。在二進制系統中，ak的典型取 值是十1和-1，P(t)是脈沖成形函數，T是符號周期， 而是在采樣周期上的均勻隨機變量，參數

9、A是用于 確定傳輸信號功率的比例常量。假定 和 分別表示數據序列的均值和自相關 函數。 傳輸通用模型如下 其中 3.4.1 通用開發 傳輸信號的自相關函數為： 式中 所需采樣頻率由傳輸信號的PSD確定。應用維 納辛欽定理。 有： 我們目標是選擇合適的采樣頻率，而這個采 樣頻率依賴于出現在仿真模型中的波形。 其中，G(f)是脈沖成形函數P(t)的能量譜密度， =G(f), P(f)是p(t)的付里葉變換 3.4.2 仿真采樣率 現在回到將采樣頻率和給定脈沖成形相關的 問題上來。這種關聯是通過考慮采樣過程的信噪 比來完成的，其中的噪聲功率來自于混疊。目標 是選擇一個采樣頻率，使得混疊誤差相對于所考

10、 察的系統性能的降低是可以忽賂的。我們將看到， 所需的采樣頻率依賴于出現在仿真模型中的波形。 以每個符號六個采樣的速率進行采樣的矩形脈沖序列 如上圖所示假設采樣頻率是符號頻率的六倍， 數據序列的功率譜密度為： 以每個符號m個采樣（fs=m/T）對數據序列進行采樣有 即 由于混疊的信噪比可以表示為 信號功率： 噪聲功率： 我們利用PSD是頻率的偶函數這一事實。信 號功率可以通過在仿真帶寬 內， 對 的n=0項作積分確定。混疊噪聲的 功率是落在仿真帶寬內的所有頻率平移項 (n 0)的功率總和， 因此 矩形脈沖波形的信號混疊噪聲比 注意到，對每個符號進行M10個采樣的情況，(SNR)a 的值稍稍小于17dB而且(SNR)a的值隨m的增加而增大。 然而，隨著m的增加，它對 (SNR)a的影響減小。同時注 意到，對矩形成形脈沖，采樣后信號的PSD以1f2減小。 對于三角成形脈沖，采樣信號