1、【標(biāo)題】淺談導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 【作者】楊 鵬 飛 【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)最值函數(shù)數(shù)學(xué)模型 【指導(dǎo)老師】趙 博 【專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 【正文】1引言今天，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性態(tài)的有力工具，是對(duì)學(xué)生進(jìn)行理性思維訓(xùn)練的良好素材，是我國(guó)高考命題的熱點(diǎn)，高考中主要考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、凹凸性、畫(huà)圖象等許多性質(zhì)。除此以外，導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)實(shí)中的重要性，也越來(lái)越得到人們的認(rèn)肯，如在物理運(yùn)動(dòng)學(xué)中和微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊值問(wèn)題的應(yīng)用。特別的在中學(xué)利用導(dǎo)數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。2導(dǎo)數(shù)溯源在西方，導(dǎo)數(shù)的思想最初是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(fermat

2、)為解決極大、極小問(wèn)題而引入的。但導(dǎo)數(shù)作為微分學(xué)中最主要的組成部分則是由牛頓（isac newton，16431727）與萊布尼茨（gottfried wilhelm，16461716）分別通過(guò)研究不同的問(wèn)題而創(chuàng)立的。11666年牛頓將其前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文流數(shù)簡(jiǎn)論，這也是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。在簡(jiǎn)論中，牛頓以運(yùn)動(dòng)學(xué)為背景提出了微積分的基本問(wèn)題，發(fā)明了“正流數(shù)術(shù)”（微分），從確定面積的變化率入手通過(guò)反微分計(jì)算面積，又建立了“反流數(shù)術(shù)”，并將面積計(jì)算與求切線問(wèn)題的互逆關(guān)系作為一般規(guī)律明確地揭示出來(lái)，將其作為微積分普遍算法的基礎(chǔ)論述了“微積分基本定理”。“微積分基本定理”也

3、稱為牛頓萊布尼茨定理，牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這一定理。而萊布尼茨與牛頓的切入點(diǎn)不同，他創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問(wèn)題的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年，萊布尼茨整理、概括自己1673年以來(lái)微積分研究的成果，在教師學(xué)報(bào)上發(fā)表了第一篇微分學(xué)論文一種求極大值與極小值以及求切線的新方法。在我國(guó)，導(dǎo)數(shù)作為微積分教學(xué)改革內(nèi)容有一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程。微積分內(nèi)容在我國(guó)數(shù)學(xué)中幾進(jìn)幾出,究其原因值得深思。1978年由教育部頒布的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中提了精簡(jiǎn)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)內(nèi)容,增加微積分的初步知識(shí)。1988年以后,由于高考不考察其內(nèi)容的導(dǎo)向影響,微積分實(shí)際上形同虛設(shè)。因此,關(guān)于微積分內(nèi)容是否要增加,其深度、廣度、體系安

4、排和教學(xué)規(guī)律又怎樣掌握,一直是教育界同仁努力探索的問(wèn)題。和我國(guó)形成鮮明對(duì)比的是世界上大部分發(fā)達(dá)國(guó)家受新數(shù)運(yùn)動(dòng)的影響早已將微積分等近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容,把微積分放在突出位置作為提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的關(guān)鍵來(lái)加以改革。例如,美國(guó)從1958年,日本從1951年就開(kāi)始在高中講授微積分,他們強(qiáng)調(diào)拓寬知識(shí)面,注重問(wèn)題解決,強(qiáng)調(diào)理解和使用新技術(shù)等。而我國(guó)導(dǎo)數(shù)第一次出現(xiàn)在高考題中是在2000年，經(jīng)過(guò)幾年的發(fā)展已成為各地高考的熱點(diǎn)，縱觀2007年全國(guó)各地的高考有近三分之二的試卷中都出現(xiàn)了與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的試題。3中學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)設(shè)導(dǎo)數(shù)等微積分課程的探討隨著教育改革的不斷深化,課程改革問(wèn)題擺到了教育理論界的面

5、前。在我國(guó)中學(xué)是否開(kāi)微積分初步一度成為人們討論的熱點(diǎn)問(wèn)題,在新一輪的課程改革當(dāng)中,也再一次將導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用規(guī)定為選修內(nèi)容。現(xiàn)在看來(lái),無(wú)論是從社會(huì)發(fā)展需要,還是對(duì)人的培養(yǎng)方面來(lái)看都是必要的。首先，微積分中蘊(yùn)涵著許多重要的思想,由常量到變量,由孤立到發(fā)展,由靜止到變化,由有限到無(wú)限,符合人的認(rèn)識(shí)規(guī)律。而極有價(jià)值的極限思想,以“直”代“曲”,以“局部”研究“整體”,無(wú)窮分割等思想是初等數(shù)學(xué)中未能涉及的。這些思想和方法有利于實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的飛躍,有利于學(xué)生形成辨證邏輯思維,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化。我們?cè)O(shè)想,從未接觸微積分內(nèi)容的高中生進(jìn)入社會(huì)所面臨的是所學(xué)的知識(shí)的技能與實(shí)際的具體需要還甚遠(yuǎn)的情形將會(huì)怎樣。從這一

6、點(diǎn)來(lái)講,在中學(xué)開(kāi)設(shè)微積分是必要的,也勢(shì)在必行。其次，面對(duì)21世紀(jì)這個(gè)信息時(shí)代,數(shù)學(xué)要與之相適應(yīng),就要作適當(dāng)?shù)母?要逐步滲透一些高等數(shù)學(xué)思想，從本質(zhì)上講初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)本身就是無(wú)法分割的，在中學(xué)開(kāi)設(shè)微積分可與大學(xué)形成更好的銜接,為初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)奠定了一定的基礎(chǔ)，也為進(jìn)入社會(huì)工作生活的部分學(xué)生掌握新技術(shù)和新知識(shí)奠定了良好的基礎(chǔ)。讓學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的統(tǒng)一性,應(yīng)用微積分可以解決初等數(shù)學(xué)難以解決的一些問(wèn)題。再次,從學(xué)生的心理發(fā)展來(lái)看,微分學(xué)是高度抽象思維的結(jié)果,在高中開(kāi)設(shè)部分微積分課程是完全符合學(xué)生心理發(fā)展規(guī)律的。最后,從標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施情況來(lái)看,微積分在中學(xué)開(kāi)設(shè)是完全可以的,我國(guó)大部分地區(qū)的

7、師資配備、硬件設(shè)施已明顯改善,為微積分的實(shí)施提供了物質(zhì)保障。4導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論4.1導(dǎo)數(shù)概念的理解一般高中數(shù)學(xué)教材引入導(dǎo)數(shù)有三種模式：2第一種，從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度，借助物理課中瞬時(shí)速度概念引入導(dǎo)數(shù)概念，這是從實(shí)際問(wèn)題中提煉數(shù)學(xué)模型的范例。這種模式的好處是，利用高中物理課中已經(jīng)講過(guò)的瞬時(shí)速度為基礎(chǔ)講變化率，并利用此方法定義的導(dǎo)數(shù)反回來(lái)求加速度和速度，可以跟物理學(xué)聯(lián)系比較，學(xué)生容易接受；同時(shí)，也符合微積分發(fā)展史上導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)意義，是早期中學(xué)教材引入導(dǎo)數(shù)的常效法。第二種，從純數(shù)學(xué)角度，以變量和函數(shù)極限方式定義引入導(dǎo)數(shù)概念，并結(jié)合曲線上某點(diǎn)切線的斜率代表導(dǎo)數(shù)這一幾何意義加以闡述。這是目前高等數(shù)學(xué)教

8、育中數(shù)學(xué)課本普遍采取的方法，較為抽象，需要較強(qiáng)的函數(shù)極限知識(shí)作基礎(chǔ)，被部分中學(xué)教材引入采用。第三種，從初等數(shù)學(xué)角度考察導(dǎo)數(shù)的極限定義相形式，以直觀描述為主，由具體實(shí)例引入，經(jīng)歷由平均變化、瞬時(shí)變化率刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程，間接給出導(dǎo)數(shù)概念，而不直接追求理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性。這是新近中學(xué)數(shù)學(xué)教材引入導(dǎo)數(shù)所采用的方法模式。我們認(rèn)為，以上第三種引入模式較符合高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)教學(xué)引入，其例子可來(lái)源于當(dāng)前現(xiàn)實(shí)生活普遍關(guān)注的新問(wèn)題，如利率的跌降、氣體分子的擴(kuò)散率等，符合高中生的認(rèn)知特點(diǎn)，易引發(fā)興趣；同時(shí)，弱化了概念，注重了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用。在國(guó)家高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)組2003年全日制普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)

9、）（簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）中所采用的就是第三種模式。4.2導(dǎo)數(shù)方法的運(yùn)用其一，可以利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)時(shí)，如果f/(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果 f/(x)0，則f(x)為減函數(shù)。其二，可以利用導(dǎo)數(shù)解決極大值和極小值問(wèn)題，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0)）,我們就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值（或極小值）。其三，可以利用導(dǎo)數(shù)解決最大值和最小值問(wèn)題，我們知道連續(xù)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上一定存在最大值和最小值，且最大值和最小值只可能在區(qū)間（a,b）內(nèi)的極值點(diǎn)和端點(diǎn)處得到。因此可直接求出一切可能的極值點(diǎn)

10、（駐點(diǎn)及個(gè)別不可導(dǎo)點(diǎn)）和端點(diǎn)處函數(shù)值，比較這些值的大小，即可得到函數(shù)的最大值和最小值。微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段。中把導(dǎo)數(shù)作為選修課程并要求通過(guò)大量實(shí)例，理解導(dǎo)數(shù)概念，了解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用。初步了解定積分的概念為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分打下基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)建模在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力等方面有著重要作用，而微積分增加了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的全新素材和解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具。所以本文從微積分在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用這一角度展開(kāi)分析。5導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用一般地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型可以描述為，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的某一特

11、定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，并運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得出一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模是討論建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程。是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，它為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了提出問(wèn)題、探索思考和實(shí)際應(yīng)用的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。5.1中學(xué)數(shù)學(xué)建模的步驟建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題是一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)它沒(méi)有統(tǒng)一的模式和固定的方法，目前數(shù)學(xué)的教學(xué)理論也尚未形成，然而它的七個(gè)步驟卻是所有建模教材的共同內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)建模者必須掌握的內(nèi)容，如圖12所示：圖1應(yīng)該指出，并不是所有的建模都要經(jīng)

12、過(guò)這些步驟，有時(shí)各步驟之間的界限也不那么明顯，建模時(shí)要不拘泥于形式上的按部就班，而應(yīng)該采取靈活多邊的表述形式。5.2中學(xué)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程根據(jù)對(duì)數(shù)學(xué)建模的一般步驟進(jìn)行分析，可以將數(shù)學(xué)建模的過(guò)程分為表述、求解、解釋、驗(yàn)證幾個(gè)階段，并且通過(guò)這些階段完成從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型，再?gòu)臄?shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實(shí)對(duì)象的循環(huán)，如圖22所示：圖25.3中學(xué)數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)學(xué)建建模活動(dòng)是討論建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程,是通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程,是一種數(shù)學(xué)思維方式。它為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了“提出問(wèn)題、探索思考和實(shí)際應(yīng)用”的空間。其特點(diǎn)為:創(chuàng)新性，由于數(shù)學(xué)建模活動(dòng)所討論的是現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題,而現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜性往往使所提出的問(wèn)題不能

13、直接套用數(shù)學(xué)定理來(lái)解決,這就需要較多的創(chuàng)新工作；應(yīng)用性，即給出的是一種現(xiàn)實(shí)的情景,一種實(shí)際的需求,讓學(xué)提出的問(wèn)題中條件可能不足,也可能冗余,問(wèn)題有較強(qiáng)的探索性,需要從迷離混沌的狀態(tài)中,運(yùn)用思維能力,找出一條主要線索。因此,我們認(rèn)為,通過(guò)數(shù)學(xué)建模活動(dòng),可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造能力,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。5.3導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用舉例從數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵、特點(diǎn)及步驟可看出,在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中,要求學(xué)生具有豐富的想象力、洞察力,數(shù)學(xué)語(yǔ)言的翻譯能力,提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力。以往我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)僅限于初等數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用,內(nèi)容比較貧乏。作為重要的工具性知識(shí)的微積分進(jìn)入中

14、學(xué)后,可以大大豐富數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的內(nèi)容,促使學(xué)生涉獵更廣泛的領(lǐng)域,喚起學(xué)生求知的欲望,既體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中的作用,又實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的目標(biāo),即培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力及分析和解決問(wèn)題的能力。運(yùn)用微積分知識(shí),人們建立了許多數(shù)學(xué)模型,并解決了許多重大問(wèn)題。例如,17世紀(jì)偉大的科學(xué)家牛頓在研究力學(xué)的過(guò)程中發(fā)明了微積分,又在開(kāi)普勒三定律的基礎(chǔ)上運(yùn)用微積分,成功地推導(dǎo)出了著名的力學(xué)定律萬(wàn)有引力定律,這一創(chuàng)造性的成就可以看作是歷史上著名的數(shù)學(xué)模型之一;最初的人口預(yù)測(cè)和控制模型馬爾薩斯（malthus）人口模型和阻滯增長(zhǎng)模型（logis2tic)模型，是應(yīng)用微積分知識(shí)建立起來(lái)的;還有描述生產(chǎn)量、勞動(dòng)

15、力、投資之間變化規(guī)律的道格拉斯（douglas）生產(chǎn)函數(shù)等等也要用到微積分知識(shí)。又如,有一段時(shí)間,美國(guó)原子能委員會(huì)處理濃縮放射性廢物的方式是裝入密封性很好的圓桶中,然后扔到深海里。這種做法是否造成放射性污染,引起了生態(tài)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家的關(guān)注,通過(guò)有關(guān)微積分?jǐn)?shù)學(xué)模型的建立,成功解決了放射性廢物處理問(wèn)題中的爭(zhēng)論。此外,微積分還可以解決許多中學(xué)生能夠理解的、現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題,這就為我們?cè)谥袑W(xué)開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)奠定了良好的基礎(chǔ),請(qǐng)看以下幾例:5.3.1案例:交通管理中黃燈問(wèn)題14在十字路口的交通管理中,亮紅燈之前,要亮一段時(shí)間黃燈,這是為了讓那些正行駛在十字路口上或距十字路口太近以至無(wú)法停下的車(chē)輛通過(guò)

16、路口,那么,黃燈應(yīng)該亮多長(zhǎng)時(shí)間呢?1、問(wèn)題分析：這個(gè)問(wèn)題提得籠統(tǒng)含糊,因?yàn)槭致房诘慕煌ìF(xiàn)象是很復(fù)雜的,并且通過(guò)路口的車(chē)輛的型號(hào)、行駛速度和方向等等也千差萬(wàn)別。因此,我們分析這個(gè)問(wèn)題必須通過(guò)假設(shè)、簡(jiǎn)化,明確問(wèn)題。2、模型假設(shè)：（1）十字路口的車(chē)輛秩序良好,無(wú)堵塞;（2）所有車(chē)輛長(zhǎng)度相同,行駛速度相同;（3）所有車(chē)輛都是直接穿過(guò)路口。3、模型建立：在此假設(shè)下,黃燈狀態(tài)應(yīng)該持續(xù)的時(shí)間包括駕駛員的決定時(shí)間(反應(yīng)時(shí)間)t1，他通過(guò)十字路口的時(shí)間t2和停車(chē)過(guò)程的駕駛時(shí)間 t3,則t= t1+ t2+ t3為黃燈應(yīng)亮的時(shí)間。據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)得到 t1= 1秒;下面計(jì)算 t2和 t3。設(shè)法定行駛速度為v0,

17、十字路口的長(zhǎng)度為i，典型的車(chē)身長(zhǎng)度為l，則汽車(chē)通過(guò)十字路口的時(shí)間為t2=;頂車(chē)過(guò)程是通過(guò)駕駛員踩動(dòng)剎車(chē)板產(chǎn)生一種摩擦力，使汽車(chē)減速知道停止。設(shè)m為汽車(chē)質(zhì)量f為剎車(chē)摩擦系數(shù)，x(t)為行駛距離，剎車(chē)制動(dòng)力為fmg(g為重力加速度)。由牛頓第二定律，剎車(chē)過(guò)程滿足下述方程： m=-fmg； x(0)=0,t=0= v04、模型求解：對(duì)此方程積分，并帶入條件t=0= v0得=-fgt+v0，令末速度為零，得剎車(chē)時(shí)間為t1=,再積分并帶入條件x(0)=0,得x(t)=- fgt2+ v0t,故停車(chē)距離為：x(t)=- fg()2+v0=,所以t3=，這樣黃燈應(yīng)亮的時(shí)間為：t=1+5.3.2案例：生豬的最

18、佳出售時(shí)機(jī)3一飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金用于飼料、設(shè)備、人力，估計(jì)可使80公斤重的生豬每天增加2公斤。目前生豬出售的市場(chǎng)價(jià)格為每公斤8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元，問(wèn)該飼養(yǎng)廠應(yīng)該什么時(shí)候出售這樣的生豬？1、問(wèn)題分析：投入資金可使生豬體重隨時(shí)間增長(zhǎng)，但售價(jià)（單價(jià)）隨時(shí)間減少。應(yīng)存在一個(gè)最佳的出售時(shí)機(jī)，使得利潤(rùn)最大，這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，根據(jù)黑出的條件，可做如下的簡(jiǎn)化假設(shè)。2、模型假設(shè)：每天投入4元資金可使生豬每天增加常數(shù)r（r=2公斤）；生豬出售的市場(chǎng)價(jià)格每天降低常數(shù)g（g=0.1元）3、模型建立：給出以下記號(hào)：t時(shí)間（天）；w生豬體重（公斤）；p單價(jià)（元/公斤）；r出售的收入（元）；ct天投入的資金（元）；q純利潤(rùn)（元）。按照假設(shè)，w=80+rt(r=2),p=8-gt(g=0.1),又知道r=pw,c=4t,再考慮到純利潤(rùn)應(yīng)扣掉以當(dāng)前價(jià)格（8元/公斤）出售80公斤生豬的收入，有q=r-c-8*80，得到目標(biāo)函數(shù)（純利潤(rùn)）為：q（t）=(8-gt