1、絕密絕密啟用前啟用前 2010 年普通高等學校招生全國統一考試 理科數學理科數學( (必修必修+ +選修選修 ii)ii) 本試卷分第 i 卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。第 i 卷 1 至 2 頁。第卷 3 至 4 頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第第 i i 卷卷 注意事項： 1答題前，考生在答題卡上務必用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫 清楚，并貼好條形碼。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目。 2每小題選出答案后，用 2b 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦 干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效。 3第 i

2、 卷共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題 目要求的。參考公式：參考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面積公式a、b ()( )( )p abp ap b 2 4sr 如果事件相互獨立，那么 其中 r 表示球的半徑a、b 球的體積公式()( )( )p a bp a p b 如果事件 a 在一次試驗中發生的概率是，那么 p 3 3 4 vr 次獨立重復試驗中事件恰好發生次的概率 其中 r 表示球的半徑nak ( )(1)(0,1,2,) kkn k nn p kc ppkn 一選擇題一選擇題 (1)復數 32 23 i i (a)i (b) (

3、c)12-13 (d) 12+13iii 1a【命題意圖】本小題主要考查復數的基本運算,重點考查分母實數化的轉化技巧. 【解析 1】. 32(32 )(23 )6946 23(23 )(23 )13 iiiii i iii 【解析 2】 2 3232 2323 iii i ii (2)記,那么cos( 80 )k tan100 a. b. - c. d. - 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k 2.b 【命題意圖】本小題主要考查誘導公式、同角三角函數關系式等三角函數知識，并突出了弦切互化 這一轉化思想的應用. 【解析 1】,所以 222 sin801 cos 801 c

4、os ( 80 )1 k tan100tan80 2 sin801 . cos80 k k 【解析 2】，cos( 80 )k cos(80 )k 00 0 00 sin 18080 sin100sin80 tan100 1008018080 o oo conconcon 2 1 k k (3)若變量滿足約束條件則的最大值為, x y 1, 0, 20, y xy xy 2zxy (a)4 (b)3 (c)2 (d)1 3.b 【命題意圖】本小題主要考查線性規劃知識、作圖、識圖能力及計算能力. 【解析 1】畫出可行域（如右圖） ，由圖可知,當直線l經過點 a(1,-1)時，z 最大，且最大值為

5、 . max 1 2 ( 1)3z 【解析 2】，畫圖知過點是最大， 11 2 22 zxyyxz1, 1 1 213 max z （4）已知各項均為正數的等比數列，=5，=10，則= n a 123 a a a 789 a a a 456 a a a (a) (b) 7 (c) 6 (d) 5 24 2 4.a【命題意圖】本小題主要考查等比數列的性質、指數冪的運算、根式與指數式的互化等知識，著重考 查了轉化與化歸的數學思想. 【解析 1】由等比數列的性質知，10,所 3 1231322 ()5a a aa aaa 3 7897988 ()a a aa aaa 以, 1 3 28 50a a

6、0 xy 1 o yx y 20 xy x a 0: 20lxy l0 2 2 a a b c d a1 b1 c1 d1 o 所以 1 333 6 456465528 ()()(50 )5 2a a aa aaaa a (5)的展開式中 x 的系數是 353 (12) (1)xx (a) -4 (b) -2 (c) 2 (d) 4 【解析 2】=5；=10， 123 a a a 3 2 5a 789 a a a 3 8 10,a 6333 5284565 505 2aa aa a aa 5.c【解析】 2 124513 353 333322 (12) (1)1 61281 510105xxx

7、xxxxxxx x的系數是 -10+12=2 (6)某校開設 a 類選修課 3 門，b 類選擇課 4 門，一位同學從中共選 3 門，若要求兩 類課程中各至少選一門，則不同的選法共有 (a) 30 種 (b)35 種 (c)42 種 (d)48 種 6.a【命題意圖】本小題主要考查分類計數原理、組合知識,以及分類討論的數學思想. 【解析 1】:可分以下 2 種情況:(1)a 類選修課選 1 門,b 類選修課選 2 門,有種不同 12 34 c c 的選法;(2)a 類選修課選 2 門,b 類選修課選 1 門,有種不同的選法.所以不同的 21 34 c c 選法共有+種. 12 34 c c 21

8、 34 18 1230c c 【解析 2】 333 734 30ccc (7)正方體 abcd-中，b與平面 ac所成角的余弦值為 1111 abc d 1 b 1 d a b c d 2 3 3 3 2 3 6 3 7.d 【命題意圖】本小題主要考查正方體的性質、直線與平面所成的角、點到平面的距離的求法，利用等 體積轉化求出 d 到平面 ac的距離是解決本題的關鍵所在,這也是轉化思想的具體體現. 1 d 【解析 1】因 為 bb1/dd1,所以b與平面 ac所成角和dd1與平面 ac所成角相等,設 do平面ac， 1 b 1 d 1 d 1 d 由等體積法得,即.設 dd1=a, 11 d

9、acddacd vv 1 1 11 33 acdacd sdosdd 則,. 1 22 1 1133 sin60( 2 ) 2222 acd sac adaa 2 11 22 acd sad cda 所以,記 dd1與平面 ac所成角為,則,所以 1 3 1 2 3 33 acd acd sdda doa sa 1 d 1 3 sin 3 do dd . 6 cos 3 【解析 2】設上下底面的中心分別為；與平面ac所成角就是b與平面ac所成角， 1, oo 1 o o 1 d 1 b 1 d 1 11 1 36 cos1/ 32 oo ood od （8）設 a=2,b=in2,c=,則 3

10、 log 1 2 5 a abc bbca c cab d cba 8.c 【命題意圖】本小題以指數、對數為載體，主要考查指數函數與對數函數的性質、實數大小的比較、 換底公式、不等式中的倒數法則的應用. 【解析 1】 a=2=, b=in2=,而,所以 ab, 3 log 2 1 log 3 2 1 log e 22 log 3log1e c=,而,所以 ca,綜上 cab. 1 2 5 1 5 22 52log 4log 3 【解析 2】a=2=,b=ln2=, ，； c= 3 log 3 2 1 log 2 1 loge 3 22 1loglog2 e 3 22 111 1 2loglog

11、e ，cab 1 2 111 5 254 (9)已知、為雙曲線 c:的左、右焦點，點 p 在 c 上，p=，則 p 到 x 軸的距離 1 f 2 f 22 1xy 1 f 2 f 0 60 為 (a) (b) (c) (d) 3 2 6 2 36 9.b 【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的幾何性質、第二定義、余弦定理，考查轉化的數學思想，通過 本題可以有效地考查考生的綜合運用能力及運算能力. 【解析 1】不妨設點 p在雙曲線的右支,由雙曲線的第二定義得 00 (,)xy ，.由余弦定理得 2 1000 |()12 a pfe xaexx c 2 2000 |)21 a pfe xexax c

12、cosp=,即 cos, 1 f 2 f 222 1212 12 | 2| pfpfff pfpf 0 60 222 00 00 (12)( 21)(2 2) 2(12)( 21) xx xx 解得,所以，故 p 到 x 軸的距離為 2 0 5 2 x 22 00 3 1 2 yx 0 6 | 2 y 【解析 2】由焦點三角形面積公式得： 12 0 22 60116 cot1 cot322 2 22222 f pf sbc hhh （10）已知函數 f(x)=|lgx|,若 0ab,且 f(a)=f(b),則 a+2b 的取值范圍是 (a) (b) (c) (d)(2 2,)2 2,)(3,)

13、3,) 10.a 【命題意圖】本小題主要考查對數函數的性質、函數的單調性、函數的值域，考生在做本小題時極 易忽視 a 的取值范圍，而利用均值不等式求得 a+2b,從而錯選 a,這也是命題者的用苦良心 2 2 2a a 之處. 【解析 1】因為 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或，所以 a+2b= 1 b a 2 a a 又 0ab,所以 0a1f(1)=1+=3,即 a+2b 的取值范圍是(3,+). 2 1 【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得：，利用線性規劃得：，求的取值 01 1 1 a b ab 01 1 1 x y xy 2zxy 范圍

14、問題，過點時 z 最小為 3,(c) 11 2 22 zxyyxz 2 11 1yy xx 1,1 (3,) （11）已知圓 o 的半徑為 1，pa、pb 為該圓的兩條切線，a、b 為倆切點，那么的最小值為pa pb (a) (b) (c) (d)42 32 42 2 32 2 11.d【命題意圖】本小題主要考查向量的數量積運算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法判別 式法,同時也考查了考生綜合運用數學知識解題的能力及運算能力. 【解析 1】如圖所示：設 pa=pb=,apo=,則x(0)x apb=，po=，2 2 1x 2 1 sin 1x =，| |cos2pa pbpapb 22 (1

15、 2sin)x 22 2 (1) 1 xx x 42 2 1 xx x 令，則，即，由是實數，所以pa pby 42 2 1 xx y x 42 (1)0 xy xy 2 x ，解得或.故 2 (1)4 1 ()0yy 2 610yy 32 2y 32 2y .此時. min ()32 2pa pb 21x 【解析 2】法一： 設，,0apb 2 cos1/tancos 2 pa pbpapb 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 法二：換元：， 2 sin,01 2 xx 11 21 232 23 xx pa pbx xx 或建系

16、：園的方程為，設， 22 1xy 11110 ( ,), ( ,), (,0)a x yb xyp x 22 11101110110 ,001aopax yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23pa pbxx xxyxxxxx （12）已知在半徑為 2 的球面上有 a、b、c、d 四點，若 ab=cd=2,則四面體 abcd 的體積的最大值為 (a) (b) (c) (d) 2 3 3 4 3 3 2 3 8 3 3 12.b【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計算、球的性質、異面直線的距離,通過球這個載體考 查考生的空間想象能力及推理運算能力.

17、 【解析 1】過 cd 作平面 pcd，使 ab平面 pcd,交 ab 與 p,設點 p 到 cd 的距離為,則有h ,當直徑通過 ab 與 cd 的中點時,故. abcd 112 22 323 vhh 四面體 22 max 2 212 3h max 4 3 3 v p a b o 222 10110111001 ,2pa pbxxyxxyxx xxy 【解析 2】 絕密啟用前 2010 年普通高等學校招生全國統一考試 理科數學(必修+選修 ii) 第卷 注意事項： 1答題前，考生先在答題卡上用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考 證號填寫清楚，然后貼好條形碼。請認真核準條形碼上

18、的準考證號、姓名和科目。 2第卷共 2 頁，請用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域 內作答，在試題卷上作答無效。 3。第卷共 l0 小題，共 90 分。 二填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上 (注意：在試題卷上作答無效) 1 2 x y=1 x y a o 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa (13)不等式的解集是 . 2 211xx 13.0,2 【命題意圖】本小題主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根號是解根式不等式的基本思 路，也讓轉化與化歸的數學思想體現得淋漓盡致. 【解析 1】原不等式等價于解得 0 x2. 2

19、2 21(1) , 10 xx x 【解析 2】 ， 2 2 22 211 2112110202 11 xx xxxxxxx x (14)已知為第三象限的角，,則 . 3 cos2 5 tan(2 ) 4 14【命題意圖】本小題主要考查三角函數值符號的判斷、同角三角函數關系、和角的正切公式,同 1 7 時考查了基本運算能力及等價變換的解題技能. 【解析 1】因為為第三象限的角,所以，又0, 2(2(21) ,2(21) )()kkkz 3 cos2 5 所以,于是有,2(2(21) ,2(21) )() 2 kkkz 4 sin2 5 ,所以. sin24 tan2 cos23 tan(2 )

20、 4 4 1tantan2 1 34 4 7 1tantan21 43 【解析 2】為第三象限的角， ， 3 cos2 5 3 22 2 kk 在二象限，42243kk2 4 sin2 5 sin(2 )sincos2cossin2 cos2sin21 444 tan(2 ) 4cos2sin27 cos(2 )coscos2sinsin2 444 (15)直線與曲線有四個交點，則的取值范圍是 .1y 2 yxxaa 15.(1,【命題意圖】本小題主要考查函數的圖像與性質、不等式的解法,著 5) 4 重考查了數形結合的數學思想. 【解析 1】如圖，在同一直角坐標系內畫出直線與曲線1y ,觀圖可

21、知，a 的取值必須滿足解得. 2 yxxa 1 , 41 1 4 a a 5 1 4 a 【解析 2】由數型結合知： 15 11 44 aaa (16)已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，fcbbfcdbf2fd uu ruur 則的離心率為 .c 16. 3 3 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程與幾何性質、第 二定義、平面向量知識，考查了數形結合思想、方程思想, 本題凸顯解析幾何的特點：“數研究形，形助數” ，利用幾 何性質可尋求到簡化問題的捷徑. 【解析 1】如圖，, 22 |bfbca 作軸于點 d1,則由，得 1 ddybf2fd uu ruur ,所以

22、, 1 |2 |3 ofbf ddbd 1 33 | 22 ddofc 即,由橢圓的第二定義得 3 2 d c x 22 33 |() 22 acc fdea ca 又由,得,整理得.| 2|bffd 2 3 2 c ca a 22 320caac 兩邊都除以,得,解得. 2 a 2 320ee 1()e 舍去，或 2 3 e 【解析 2】設橢圓方程為：第一標準形式，f 分 bd 所成的比為 2， ，帶入 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy ， 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 三解答題：本大題共 6 小題，共

23、70 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 (17)(本小題滿分 10 分)(注意：在試題卷上作答無效) 已知的內角，及其對邊，滿足，求內角abcvababcotcotabaabbc 17. 【命題意圖】本小題主要考查三角恒等變形、利用正弦、余弦定理處理三角形中的邊角關系，突 出考查邊角互化的轉化思想的應用. (18)(本小題滿分 12 分)（注意：在試題卷上作答無效) 投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審若能通過兩位初審專家的評審， 則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評 審，則再由第三位專家進行復審，若能通過復審專家的評審，則予以錄用，否則不

24、予錄 用設稿件能通過各初審專家評審的概率均為 05，復審的稿件能通過評審的概率為 03 各專家獨立評審 (i)求投到該雜志的 1 篇稿件被錄用的概率； (ii)記表示投到該雜志的 4 篇稿件中被錄用的篇數，求的分布列及期望xx xo y b f 1 d d 18. 【命題意圖】本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨立事件、相互獨立試驗、分布列、數學 期望等知識,以及運用概率知識解決實際問題的能力,考查分類與整合思想、化歸與轉化思想. （19） （本小題滿分 12 分）（注意：在試題卷上作答無效）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，四棱錐 s-abcd 中，sd底面 abcd，ab/dc，addc，ab=ad=1，dc=sd=2，e 為棱 sb 上的 一點，平面 edc平面 sbc . （）證明：se=2eb； （）求二面角 a-de-c 的大小 . 【命題意圖】本小題主要考查空間直線與直線