1、2009研究生數值分析試題和答案-石家莊鐵道大學石家莊鐵道學院2009級碩士研究生考試試卷課程名稱數值分析任課教師王亞紅 2009年一2010年度第丄學期姓名 學號 評分時間 120分鐘題號-一-二三四五合計分值3016201618100得分一填空(30分)000 1. A= 0 21x=(1,2,3)t，貝訃劇辺二_00-2 丿2. f (x) = 4x3 3x22,則 f 2,4,6,8 丄_12 3丄3. 用Gauss列主元消去法解方程組24 5 = *1 ,第一次選的列主元-3 5 6 _8 j為.4. 設 f(x) Ca,b, P(x)是多項式，則 f(x)-P(x)： , 5. 滿

2、足P(0) = P (0)0,P(1) =1,P(2) =12的不高于3次的插值多項式為，其余項為16. 為使兩點數值求積公式：.(x)dx、f(%廠f(X2)具有最高的代數精度， 貝卩其求積節點 捲 =, x2二.7. 用G-S迭代法解方程組丿x1 +&卷=4 ，其中a為實數，G-S迭代法收2 a% + x2 = -3斂的充要條件是a滿足 8. 寫出用牛迭代法求方程 x2 =117的正根、117的迭代公式/2 1 、9.將 A =1 2 1做 Cholesky分解，L=、1 2丿1 ft10.設 U =1龐,d=d2，Ux=d1優丄14丿的求解公式為12111（16分）方程組3 12x =6

3、1.1 2 2 一15_1請用直接三角分解（LU分解）解此方程組； 2寫出解此方程組的Jacobi迭代法的分量形式（20分）已知數據X-1123Y-30481請作出差商表，求三次牛頓均差插值多項式；2.試用y =ax b擬和這組數據。四（16分）1 .設Xi為等距節點，寫出滿足L（xi） = f （Xi） （ 0,1,2）的插值多項式 L2（x）;并利用L2（x）,試推導f（x。）的插值型求導公式.2.能否用（x,Xi）, L2（x）的值作為f （x）的近似值？為什么？五（18分）1.取0為I。八2的三位有效數字1.41,計算序列譏油勺遞推公 式為：I n =10人4 -1,門=1,2/，則I

4、10的誤差多大？這個算法穩定嗎？2.設方程組Ax二b，若實際求的近似解為x ,47T 口口X X|b - Ax1證明二cond(A)X|b若|AxAx已很小，能否說明x已很近似Ax = b的精確解x嗎?石家莊鐵道學院2009級碩士研究生考試試卷參考答案及評分標準課程名稱數值分析任課教師王亞紅一.(1-6題 2分/空;7-10題 3分/空)1.3， 32. 43.-34. max f (x) - P(x)11 / 65.2x (-x 2),f(4)()4!2x2(x -1)(x -2) 6.,X27.a18.Xk 1 =Xk-Xk “17,k =0,1,2,9.2Xk,3/2,2/3Xn =dn

5、xk= dk - k xk 1-二(16 分).1.解:1 -1=3/2 1/21/21/2-32.Jacobi迭代法計算公式:初始向量x(0)12解 Ly =b,得 y = 06解Ux二y,得x-x3k)/2k =0,1,2,16.1.（10分）差商表XY一階差商二階差商三階差商-1-3103/22445/63840-5/247N3(x) = f(Xo) fXo,Xi(X -Xo)f Xo,Xi,X2(X_Xo)(X_Xi)f Xo,Xi,X2,X3(X -Xo)(X -Xj(X -X2)355-(X 1)-(X 1)(x-1) (x 1)(x-1)(2)26241o分32.(10分)根據最

6、小二乘原理l=v (axj -b)-yj2最小，一2分i T；：l c0；:b；:l 0；:a4Z Xi 丫b、七yi、運 Xi Z X2 a 丿運yi Xi即，解得 b=1.2857, a=2.8286擬合曲線 y =2.8286x 1.2857 10分L(x) =f(X。)(x -X1)(X -X2)(Xo -X1)(Xo -X2)四(16分)f(X1)(X Xo)(x-X2)(X1 -Xo)(X1 -X2)(x x0)(x X1 )+ f(X2)0計算 L (Xo) -3f Xo 4 f X1 ；f X29分2hf(Xo) : L(Xo)1= 3f x04 f x1 - f x212 分

7、2h6 分(X2 Xo)(X2 X1)2. X (Xo,Xi), f(x) ： L2(x), f(X)二 L2(x) (ni(x)(n +1)!f(n 1)()(7T nl(x),與x有關 x，(xo,xi)f(x)丄(x)無法估計.當x不是插值節點時 丄2(x)的值不能作為f (x)的近似值.16分1 2五.解 1. (8 分)|0 1.41 =0.004蘭一漢 102 分2 1 211 丨1 =1010 1 (1010 1) = 10(1。一 I)0 蘭 10 汶一X 104 分22 1 2丨2 丨2=10丨1 1 (1011 1) =10(丨1 丨1)蘭10 江一02-in1q1p2 26 分計算到丨1。時，誤差限為初始I。的誤差限的1010倍，每遞推一次誤差擴大 10倍，所以這個計算過程是不穩定的。8分2. （10分）證明因Ax =b,所以有 b = Ax 一 A x類推有 110 110 =1019 1 (1019 1) =1019 丨9 蘭 10 漢一漢 10=漢 101 .|A廠b(1)3 分x -x| 二 A(Ax - Ax)| a b- Ax|由(1),(2)得蟲 cond(A)乞b-Axb(2)6 分8分若Ax - A：已