1、一元一次不等式和它的解法例1判斷下列各式是不是一元一次不等式？分析：判斷一個(gè)式子是不是一元一次不等式，看這個(gè)式子是不是只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式解：(1)是一元一次不等式；(3)是一元一次不等式；(2)和(4)不是一元一次不等式例2分析：兩題都可以按通常的三步驟解對(duì)于(1)題也可以根據(jù)兩邊都有分母為4的項(xiàng)的特點(diǎn)，可以先移項(xiàng)，合并分子的同類(lèi)項(xiàng)后，再去分母對(duì)于(2)也是可以先去中括號(hào)，得到5(x-3)5后，再兩邊除以5，得到x-31答案：說(shuō)明：去分母時(shí)分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于括號(hào)，同時(shí)不要漏乘不含分母的項(xiàng)最關(guān)鍵要處理好乘或除一個(gè)數(shù)時(shí)不等號(hào)的方向問(wèn)題例3分析：不等式中含有分母，應(yīng)先根據(jù)不等

2、式的同解原理2去掉分母，再作其他變形，在去分母時(shí)，不要漏乘沒(méi)有分母的“項(xiàng)”解：去分母，得24-2(x-1)16+3(x+1)去括號(hào)，得24-2x+216+3x+3移項(xiàng)，得-2x-3x16+3-24-2合并同類(lèi)項(xiàng)，得-5x-7把系數(shù)化為1，得這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上的表示如下圖所示：例4解答題(2)求不等式10(x+4)+x84的非負(fù)整數(shù)解分析：對(duì)(1)小題中要明白“不小于”即“大于或等于”，用符號(hào)表示即為“”；(2)小題非負(fù)整數(shù)，即指正數(shù)或零中的整數(shù)，所以此題的不等式的解必須是正整數(shù)或零在求解過(guò)程中注意正確運(yùn)用不等式性質(zhì)解：120-8x84-3(4x+1)(2)10(x+4)+x8410x+4

3、0+x8411x44x4因?yàn)椴淮笥?的非負(fù)整數(shù)有0，1，2，3，4五個(gè)，所以不等式10(x+4)+x84的非負(fù)整數(shù)解是4，3，2，1，0例5解關(guān)于x的不等式(1)ax+2bx-1(2)m(m-x)n(n-x)分析：解字母系數(shù)的不等式與解數(shù)字系數(shù)不等式的方法、步驟都是類(lèi)似的，只是在求解過(guò)程中常要對(duì)字母系數(shù)進(jìn)行討論，這就增加了題目的難度此類(lèi)問(wèn)題主要考察了對(duì)問(wèn)題的分析、分類(lèi)的能力：它不但要知道什么時(shí)候該進(jìn)行分類(lèi)討論，而且還要求能準(zhǔn)確地分出類(lèi)別來(lái)進(jìn)行討論(結(jié)合例題解法再給與說(shuō)明)解：(1)ax+2bx-1ax-bx-1-2即(a-b)x-3此時(shí)要依x字母系數(shù)的不同取值，分別求出不等式的解的形式即(n-

4、m)xn2-m2當(dāng)mn時(shí)，n-m0，xn+m；當(dāng)mn時(shí)，n-m0，xn+m；當(dāng)m=n時(shí)，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式無(wú)解這是因?yàn)榇藭r(shí)無(wú)論x取任何值時(shí)，不等式兩邊的值都為零，只能是相等的，所以不等式不成立例6解關(guān)于x的不等式3(a+1)x+3a2ax+3分析：由于x是未知數(shù)，所以把a(bǔ)看作已知數(shù)，又由于a可以是任意有理數(shù)，所以在應(yīng)用同解原理時(shí)，要區(qū)別情況，分別處理解：去括號(hào)，得3ax+3x+3a2ax+3移項(xiàng)，得3ax+3x-2ax3-3a合并同類(lèi)項(xiàng)，得(a+3)x3-3a(3)當(dāng)a+3=0，即a=-3，得0x12這個(gè)不等式無(wú)解說(shuō)明：在處理字母系數(shù)的不等式時(shí)，首先要弄清哪一個(gè)字

5、母是未知數(shù)，而把其它字母看作已知數(shù)，在運(yùn)用同解原理把未知數(shù)的系數(shù)化為1時(shí)，應(yīng)作合理的分類(lèi)，逐一討論例7m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)4(5-x)的解是非正數(shù)分析：根據(jù)題意，應(yīng)先把m當(dāng)作已知數(shù)解方程，然后根據(jù)解的條件列出關(guān)于m的不等式，再解這個(gè)不等式求出m的值或范圍注意：“非正數(shù)”是小于或等于零的數(shù)解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x可解得8x=20+17m已知方程的解是非正數(shù)，所以例8若關(guān)于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非負(fù)數(shù)，(2)負(fù)數(shù)，試確定k的取值范圍分析：要確定k的范圍，應(yīng)將k作為已知數(shù)看待，按解一元一次方程的步驟求得方

6、程的解x(用k的代數(shù)式表示之)這時(shí)再根據(jù)題中已知方程的解是非負(fù)數(shù)或是負(fù)數(shù)得到關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍這里要強(qiáng)調(diào)的是本題不是直接去解不等式，而是依已知條件獲得不等式，屬于不等式的應(yīng)用解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3可解得-2x=8k-4即x=2(1-2k)(1)已知方程的解是非負(fù)數(shù)，所以(2)已知方程的解是負(fù)數(shù)，所以例9當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，代數(shù)式-3x+5的值：(1)是負(fù)數(shù)(2)大于-4(3)小于-2x+3(4)不大于4x-9分析：解題的關(guān)鍵是把“是負(fù)數(shù)”，“大于”，“小于”，“不大于”等文字語(yǔ)言準(zhǔn)確地翻譯成數(shù)字符號(hào)解：(1)根據(jù)題意，應(yīng)求不等式-3x+50的解集解這個(gè)

7、不等式，得(2)根據(jù)題意，應(yīng)求不等式-3x+5-4的解集解這個(gè)不等式，得x3所以當(dāng)x取小于3的值時(shí)，-3x+5的值大于-4(3)根據(jù)題意，應(yīng)求不等式-3x+5-2x+3的解集-3x+2x3-5-x-2x2所以當(dāng)x取大于2的值時(shí)，-3x+5的值小于-2x+3(4)根據(jù)題意，應(yīng)求不等式-3x+54x-9的解集-3x-4x-9-5-7x-14x2所以當(dāng)x取大于或等于2的值時(shí)，-3x+5的值不大于4x-9例10分析：解不等式，求出x的范圍解：說(shuō)明：應(yīng)用不等式知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要弄清題意，分析問(wèn)題中數(shù)量之間的關(guān)系，正確地表示出數(shù)學(xué)式子如“不超過(guò)”即為“小于或等于”，“至少小2”，表示不僅少2，而且還可

8、以少得比2更多例11三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和不大于17，求這三個(gè)數(shù)分析：解：設(shè)三個(gè)連續(xù)正整數(shù)為n-1，n，n+1根據(jù)題意，列不等式，得n-1+n+n+117所以有四組：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6說(shuō)明：解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)解集的完整性不容忽視如不等式x3的正整數(shù)解是1、2，它的非負(fù)整數(shù)解是0、1、2例12將18.4的冷水加入某種電熱淋浴器內(nèi)，現(xiàn)要求熱水溫度不超過(guò)40，如果淋浴器每分鐘可把水溫上升0.9，問(wèn)通電最多多少分鐘，水溫才適宜？分析：設(shè)通電最多x分鐘，水溫才適宜則通電x分鐘水溫上升了0.9x，這時(shí)水溫是(18.4+0.9x)，根據(jù)題意，應(yīng)列出不等式18.4+0.9x40，解得，x24答案：通電最多24分，水溫才適宜說(shuō)明：解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，對(duì)那些不確定的條件一定要充分考慮，并“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，以免得出失去實(shí)際意義或不全面的結(jié)論例13礦山爆破時(shí)，為了確保安全，點(diǎn)燃引火線后，人要在爆破前轉(zhuǎn)移到300米以外的安全地區(qū)引火線燃燒的速度是0.8