1、咸陽市2019年高考模擬檢測（一）數(shù)學(xué)（文科）試題一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)a.b.c.d.【答案】c【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算和化簡，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，故選c.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，則a.b.c.d.【答案】d【解析】【分析】解指數(shù)不等式求得集合的范圍，然后求兩個(gè)集合的交集.【詳解】對(duì)于集合a，由解得，故.所以選d.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合的交集，考查指數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則a.20b.2

2、3c.24d.28【答案】d【解析】【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，故，解得，故.故選d.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本元的思想求等差數(shù)列的基本量、通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和.基本元的思想是在等差數(shù)列中有個(gè)基本量，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或前項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件列出方程組，通過解方程組即可求得數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列其它的一些量的值.4.若向量，滿足，且，則與的夾角為a.b.c.d.【答案】a【解析】【分析】根據(jù)夾角.【詳解】由于，利用兩個(gè)向量數(shù)量積為零列方程，解方程求得與兩個(gè)向量的夾角的余弦值，由此求得兩個(gè)向量的，故，解得，所以與兩個(gè)向量

3、的夾角為，故選a.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個(gè)向量垂直則數(shù)量積為零，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題如果兩個(gè)向量垂直，那么它們的數(shù)量積.如果兩個(gè)非零向量平行，則存在非零實(shí)數(shù)，使得.要計(jì)算.兩個(gè)向量所成的夾角，則先計(jì)算出兩個(gè)向量夾角的余弦值，由此求得兩個(gè)向量的夾角5.某校高三（1）班50名學(xué)生參加體能測試，其中23人成績?yōu)椋溆嗳顺煽兌际腔?從這50名學(xué)生中任抽1人，若抽得的概率是0.4，則抽得的概率是a.0.14b.0.20c.0.40d.0.60【答案】a【解析】【分析】用減去抽到a或b的概率，由此求得抽到c的概率.【詳解】由于a為人，故抽到c的概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考

4、查概率之和為，考查互斥事件概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)（，）的部分圖像如圖所示，則函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是a.b.c.d.【答案】b【解析】【分析】根據(jù)圖像所給位置，結(jié)合對(duì)稱性，求得對(duì)稱零點(diǎn)為，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，則，解得，故函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，故選b.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的圖像的對(duì)稱性，考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題7.雙曲線：與軸的一個(gè)交點(diǎn)是，則該雙曲線的漸近線方程為（）a.b.c.d.【答案】d【解析】雙曲線過點(diǎn)，則：，據(jù)此可得：，則雙曲線方程為：，雙曲線的漸近線滿足：，據(jù)此整理可得雙曲線的漸近線為：本題選擇d選項(xiàng).點(diǎn)睛：雙

5、曲線(即的漸近線方程為)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.，而雙曲線的漸近線方程為8.地鐵某換乘站設(shè)有編號(hào)為，的五個(gè)安全出口.若同時(shí)開放如下表兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客所需的時(shí)間如下：安全出口編號(hào)，疏散乘客時(shí)間（）120220160140200則疏散乘客最慢的一個(gè)安全出口的編號(hào)是a.b.c.d.【答案】c【解析】【分析】設(shè)出個(gè)出口疏散的時(shí)間，利用表格所給數(shù)據(jù)列方程組，解方程組求得每個(gè)出口所用的時(shí)間，由此確定最慢的安全出口.【詳解】設(shè)個(gè)出口的疏散時(shí)間分別為，依題意，解得，故最慢的是出口，故選c.【點(diǎn)睛】本小題主要考查實(shí)際問題的理解，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題9.能夠把圓：的“等分函數(shù)”的是的周長和面積

6、同時(shí)分為相等的兩部分的函數(shù)，稱為圓的“等分函數(shù)”，下列函數(shù)不是圓a.b.c.d.【答案】b【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性可知，選項(xiàng)中的奇函數(shù)是“等分函數(shù)”，偶函數(shù)不是“等分函數(shù)”.對(duì)選項(xiàng)逐一分析奇偶性，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故選項(xiàng)中的奇函數(shù)是“等分函數(shù)”，偶函數(shù)不是“等分函數(shù)”.對(duì)于a選項(xiàng)，數(shù)，對(duì)于c選項(xiàng)，由解得函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，對(duì)于b選項(xiàng)，且，為偶函，為奇函數(shù).對(duì)于d選項(xiàng)，為奇函數(shù).綜上所述，本小題選b.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性，考查閱讀理解能力，屬于中檔題10.我

7、國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”（“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高），意思是兩個(gè)同高的幾何體，若在等高處截面的面積恒相等，則它們的體積相等.已知某幾何體與三視圖（如圖所示）所表示的幾何體滿足“冪勢(shì)既同”，則該幾何體的體積為a.b.c.d.【答案】c【解析】【分析】.根據(jù)三視圖得到原圖的結(jié)構(gòu)，由圓柱和圓錐的體積公式計(jì)算得幾何體的體積【詳解】由三視圖可知，該幾何體為圓柱挖掉一個(gè)圓錐所得，故體積為.根據(jù)“冪勢(shì)既同”可知，所求幾何體的體積為，故選c.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖，考查組合體體積的計(jì)算，考查中國古代數(shù)學(xué)文化屬于基礎(chǔ)題.11.四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，

8、則球的表面積為a.b.c.d.【答案】a【解析】【分析】通過證得三角形和三角形為有公共斜邊的直角三角形，確定球心的位置為的中點(diǎn)，由此計(jì)算得球的半徑，進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】由于平面，故，而故平面，所以，所以三角形和三角形為有公共斜邊的直角三角形，設(shè)斜邊的中點(diǎn)為，則有，即為外接球的球心，為球的直徑.，所以球的表面積為，故選a.【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的求法，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.12.設(shè)函數(shù)a.b.【答案】b【解析】【分析】，c.d.若存在兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是令，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)來研究的零點(diǎn)，由此求得的取值范圍.【詳解】令，得，畫出函數(shù)和的圖像如下圖所示，

9、由圖可知，當(dāng)直線過過時(shí)，時(shí)，當(dāng)直線，即當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像有個(gè)交點(diǎn)，即有個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)問題的求解策略，考查一次函數(shù)的圖像是直線，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué).思想方法，考查動(dòng)態(tài)分析的觀點(diǎn)，屬于中檔題對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)問題，可以令函數(shù)為零，然后轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像交點(diǎn)來研究.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.曲線【答案】【解析】【分析】在點(diǎn)處的切線方程為_利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在【詳解】，故處切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求得切線方程.，由點(diǎn)斜式得，即切線方程為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查利用曲線切線方程的求法

10、，屬于基礎(chǔ)題14.若實(shí)數(shù)，滿足【答案】1【解析】，則的最小值是_【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的陰影，再將目標(biāo)函數(shù)zxy對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x0，y1時(shí)，zxy取得最小值【詳解】作出實(shí)數(shù)x，y滿足條件得到如圖的陰影，表示的平面區(qū)域，設(shè)zxy，將直線l：zxy進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)a（0，1）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值z(mì)最小值1故答案為-1【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題15.已知點(diǎn)為拋物線：【答案】【解析】【分析】上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為_設(shè)出拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示，根據(jù)二次函數(shù)的最小值，求得的最

11、小值.【詳解】設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間的距離公式得，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最小值的求法，考查兩點(diǎn)間的距離公式，考查二次函數(shù)最小值的求法，屬于中檔題.由于拋物線上的點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，故要設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，在設(shè)坐標(biāo)的時(shí)候，利用拋物線.的方程，可以只設(shè)一個(gè)坐標(biāo)，得到另一個(gè)坐標(biāo)的表達(dá)式，減少設(shè)的未知數(shù)16.正項(xiàng)等比數(shù)列【答案】4【解析】【分析】中，存在兩項(xiàng)，使得，且，則的最小值是_根據(jù)求得的值，由求得的一個(gè)等式，利用基本不等式求得的最小值.【詳解】由于數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，由.故得，解得（負(fù)根舍去）.由，得.即最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查

12、等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查利用基本不等式求解表達(dá)式的最小值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù).學(xué)思想方法，屬于中檔題題目涉及等比數(shù)列的問題，主要根據(jù)已知條件計(jì)算出的值，然后求得的一個(gè)等式，通過這個(gè)等式，利用基本不等式來求得最小值.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.在中，角，所對(duì)的邊分別為，.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）【解析】【分析】；（2）（1）利用正弦定理化簡，求得，進(jìn)而得到.（2）利用余弦定理求得的值，利用二倍角公式求得【詳解】（1）在的值.中，由正弦定理，又，得

13、，得到，即.（2）由（1）知，且，所以，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用余弦定理解三角形，考查三角函數(shù)二倍角公式，屬于中檔題.18.為了調(diào)查某地區(qū)70歲以上老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣的方法從該地區(qū)調(diào)查了100位70歲以上老人，結(jié)果如下：需要不需要男1832女545（1）估計(jì)該地區(qū)70歲以上老人中，男、女需要志愿者提供幫助的比例各是多少？（2）能否有的把握認(rèn)為該地區(qū)70歲以上的老人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)70歲以上老人中，需要志愿者提供幫助的老人的比例？說明理由.附：0.1002.7060.

14、0503.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.00110.828，.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）利用題目所給表格中的數(shù)據(jù)，計(jì)算出男、女需要志愿者提供幫助的比例.（2）完成列聯(lián)表，計(jì)算,故有的把握認(rèn)為該地區(qū)70歲以上的老人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān).（3）根據(jù)（2）老人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)，故按男、女分層抽樣更好.【詳解】（1）需要志愿者提供幫助的男的比例為，女的比例為.（2）完成列聯(lián)表：男女合計(jì)需要18523不需要合計(jì)3250455077100有.的把握認(rèn)為該地區(qū)70歲以上的老人是否需要志愿者提供幫助

15、與性別有關(guān).（3）由（2）的結(jié)論知，該地區(qū)70歲以上的老人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)70歲以上男性老人與女性老人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)70歲以上老人中男、女的比例，再把老人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機(jī)抽樣辦法更好.【點(diǎn)睛】本小題主要考查19.如圖，在四棱錐列聯(lián)表分析及獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查閱讀理解能力，屬于中檔題.中，底面是菱形，.（1）求證：（2）若平面；，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)，證得，由此證得平面.（2）先計(jì)算出的長度，在三棱錐中，利用等體積法列方程，解方程

16、求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，為，的中點(diǎn)，又，所以，平面，且.、平面，（2）且，為等邊三角形，則，四邊形.為菱形，.由（1）平面，得到，.平面，設(shè)到平面的距離為，由，得，解得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線面垂直的證明，考查利用等體積法計(jì)算點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題20.已知橢圓（1）求橢圓的方程；的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線與圓相切.（2）過點(diǎn)【答案】（1）且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求證：；（2）見解析.【解析】【分析】.（1）求得直線的的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，列方程，解方程求得的值，由此求得橢圓方程（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓的方程，寫出韋

17、達(dá)定理，通過計(jì)算，證得.【詳解】（1）由題意知：，則直線方程為：，直線與圓相切，則，求得，所求橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立.，又，則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查根與系數(shù)關(guān)系，考查利用向量數(shù)量積為零證明兩直線垂直.直線和圓相切，主要的解題方法就是圓心到直線的距離等于半徑，通過這個(gè)距離，可求得一個(gè)位置的參數(shù).兩條直線垂直時(shí)，代表直線的方向向量的數(shù)量積為零.21.設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求（2）求證：當(dāng)，.的單調(diào)區(qū)間；時(shí)，.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）當(dāng).時(shí)，先求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2

18、）根據(jù)（1）的結(jié)論可知，當(dāng)造函數(shù)時(shí)，函數(shù)在處取得最大值為，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)，由此得到.將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明的單調(diào)性，由此證得.，構(gòu)【詳解】（1）當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，則.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)令時(shí)，要證，只需證，由則即可得時(shí)，恒成立，即.在上單調(diào)遞增，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用函數(shù)的最值得到不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等.式成立問題，屬于中檔題要證明不等式成立，首先可以將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)對(duì)所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究，由此證得不等式成立.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在曲線上取兩點(diǎn)，與原點(diǎn)構(gòu)成，且滿足，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）利用消掉參數(shù)，求得曲線的直角坐標(biāo)方程，在利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化的公式，求.得曲線的極坐標(biāo)（2）設(shè)出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，寫出三角形面積的表達(dá)式，并利用三角函數(shù)性質(zhì)求得面積的最大值.【詳解】（1）可知曲線的普通方程為，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，即.，（2）由（1）不妨設(shè)，所以面積的最大值為4