1、專題7.24:直線與圓的相關問題的研究與拓展【探究拓展】在平面直角坐標系 xOy中，圓C的半徑為 1圓心在直線l:y=2x_4上.問題1:若圓心C也在直線y =x _1上，求圓C的方程.【答案】由八x1 得x=3,I y =2x -4 y = 2.問題2:對問題1中的圓，若過點2410【答案】X 2 .2y 42 =0 或 x+22y 4.2 =0問題3:對問題1中的圓，若過點P(0,2)作圓C的切線，切點為A,B，長求AB的【答案】AB思路:PC =3,CA =1,AP =2 2 二 AHPA AC 2212 2-PC 一 3- 3642IJ2分別交圓于A,B和M,N兩點，求四3問題4:對問

2、題1中的圓，若過點5P(5,2)作互相垂直的兩條直線2168 10 12邊形AMBN面積的最大值【答案】設C到AB、MN的距離分別為d1、d2，則-AB d； =1,2d| =1,d；=CP1 2 12 12 2AB MN2，即 AB MN =7，44411227-S四邊形ambnAB MN (AB MN )，當且僅當44廠AB =MN =上時取“=”.2竊邊形ambn的最大值為；問題5:對問題1中的圓和圓C :(x 3)2 y2 =1，若另一動圓 N同時平分圓C、圓C的周長，證明：圓 心N在一條定直線上運動.【答案】設圓心 N(x,y)，由題意，得 NC1NC,即NC 2 = NC2，2 2

3、 2 2即(X 3) y =(x 一3) (y -2)，化簡得 3x y _仁0 ,即動圓圓心 N在定直線3x y _1 =0上運動.問題6:證明問題5中的圓N過定點.【答案】圓N過定點.設圓心 N(m,_3m J)，則動圓 N 的半徑為 1 NC 2 = 1 (m 3)2 (_3m 1)210m2 11 ,動圓 N 的方程(xm)2 1 I y (3m -1) f =10m2 11.整理，得 x2 y2 -2y -10 -2m(x -3y 3) =0 .xx3y 3=0,x2 y2 -2y -10 =0,10110 + 10x =-或y =13 11010110所以定點的坐標為.、1010丿

4、I1010丿問題7:若過點P(0,2)作圓C的切線，切點為 A,B，則AABP的外接圓是否過定點？如有求出定點坐標【答案】 ABP的外接圓不過定點.設圓心C(m,2m 4) , M (x,y)ABP的外接圓上的任意一點，貝UMP MC =0,若厶ABP的外接圓過定點，貝Ux +y +6y_8=0,消去 x，得(4 _2y)2 + y2+6y_8=0，即 x 2y -4=0,即 x(x-m)( y -2)y_(2m-4)| - 0，整理，得(x2y26y -8) - m(x 2y -4) = 0 ,5y2 -10y -8=0 , A. =102 - 4 5 8 = -60 ： 0 , 此方程組無

5、解，即 ABP的外接圓不過定點問題8:若過點P(0,2)作圓C的切線，切點為 A,B，若sin ZAPB7，求圓C的方程.4【答案】設 _APC =( (0,)，則 sin2= 7，即44甲ng；,，即 =(或者先求出sin - cos -4 tan 142=),即 J7tan2 日-8tan 日 +77 =0,126 8cos2 =，得10433解之得 tan 0 =或 tan Q=7 （舍） 由 tan 日=匹得 PA=-AC=V7 , PC所求直線應該與圓心C所在的直線平行，且平行線間的距離為-) =8.7PAtan 日設 C（m,2m 一4），則 m2 （2m 4 2）若圓C上存在點M

6、，使MP =MO，求C點橫坐標的取值范圍 【答案】要使得 MP =MO , M在PO的中垂線y=1上，設圓心C(m,2m-4)，則圓C的方程為 =8，即 5m2 _ m _3. C點橫坐標的取值范圍為 2,3. 問題12：對于P(0,2)，若圓C上存在點M，使MP =2MO，求C點橫坐標的取值范圍 -24m 28 =0 , （5m _14）（m _2） =0 ,1414 8m=或2，圓心C的坐標為(一,)或(2,0) 55 5所求圓 C 的方程為（x14）2 （y_【答案】圓 C的圓心在在直線I : y =2x-4上，所以，設圓心 C(m,2m-4)）2=1 或（x_2）2 y2 =1.55問

7、題9:若過點P(0,2)作圓C的切線，切點為A, B，求四邊形PABC面積的最小值1【思路】S四邊形pabc Rpac =2 - PA AC=PA，又PA2 =PC2 -1，要求四邊形PABC面積的最小，即求PC最小，246.5PAi =竺_15315S四邊形PABC的最小值為1555問題10：是否存在直線,使其交圓 C的弦長總為 3，如有,求出直線方程，沒有，說明理由【答案】設直線的方程為y =kx b，圓心C(m,2m 一4)，因為弦長總為,3，所以圓心到直線的距離總為則_2 4_ =丄對任意的 m恒成立，即(k-2)m+4+b=丄Jk2 +1對任意的 m恒成立，2 2k2 1k -2 =

8、0,|4 +b =丄應2 +1, t 2k =2,b=-4 _i2所求直線的方程為4或 y4+，2 2(也可從幾何的角度考慮,問題11:對于P(0,2),則圓 C 的方程為：(x _m)2 ! |y _(2m _4) f =1又:MA=2M0，二設 M(x,y),貝U . x2(y-3)=2.x2y2整理得：x2(y1)2=4，設為圓 D ,點 M應該既在圓 C上又在圓D上，即：圓 C和圓D有交點.二 2 _1 _ m2 M(2m _4) _(_1) f _ 2 1 ,由 5m2 -8m 亠8 亠0 得 x 三 R ；C點橫坐標的取值范圍為:2 12由5m -12m _0得0 _m .綜上所述

9、,425問題13：若圓C被x軸劃得的弧長比為 -，求圓C的方程2【答案】設圓心 C(m,2m -4)，圓C與x軸交于A、B兩點，則1.ACB =120；， 2m -4 二，2m=9 或 7，44圓 C 的方程為(x -9)2 (y _1)2 =1 或(X7)2 (y+ 丄匸=1 4242問題14：若圓C和x軸交點的橫坐標為x,x2，求仝竺的最值.x2 x【答案】設圓心 C(m,2m -4)，則圓C的方程為(x -m)2 y -(2m -4) f =1，令y =0，則論兇 是方程x2 -2mx 5m2 -16m 75 =0的兩個不等的實根，為 X2 =2m,222-X1X2=5m-16m15,由

10、；=4m -4(5m-16m15)0得(2m 5)(2m 3) ：0，22：=4m -4(5m -16m 15)0,m (f,f)，x1x? _ xf x2 _ (x1冷)2 2為x2x2x|x| x2x1x24m225m -16m 15-2 =5-16-1 15 I2m m-2令 V i,i，u=15_16t 5，容易求得 u _；i,1， 2 十 4,詈 拓展1:在平面直角坐標系 xOy中，已知圓C ： (x _ a) (y 2a _ 1) =2(-1a1)，直線| : y = x亠b( x三R) 若動圓C總在直線I的下方且它們至多有 1個交點，則實數b的最小值是 【答案】6拓展2:在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2 y2 -4x =0 .若直線y =k(x 1)上存在一點P，使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數k的取值范圍是 . |2邁,2 2拓展3:已知直線I : 2mx (1-m2)y-4m-4 = 0，若對任意 m，R，直線I與一定圓相切，