1、遼寧工程技術大學數學建模課程成績評定表學期08-09學年1學期姓 名張彥杰專業涉外機械班 級涉外06 1班課程名稱數學建模論文題目投入產出綜合平衡分析評疋標準評定指標分值得分知識創新性20理論正確性20內容難易性15結合實際性10知識掌握程度15書寫規范性10工作量10總成績100評語：任課教師李付舉時間08年 9月25日備注投入產出綜合平衡分析摘 要：本文主要以國民經濟各個部門之間的投入產出進行綜合分析，它們之間存在相互 依存關系，每個部門在運轉時將其它部門的成品或半成品經過加工變為自己的產品。這篇 文章主要是從投入產出資金及投入產出系數這幾個方面來研究的。文中結合題中所給的各個部門之間的投

2、入產出關系數值，進行簡單的建立模型，用模型將它們之間的關系快捷、直觀的表示出來。關鍵字：分析；模型；直觀1問題的背景與重述隨著國家的不斷發展，人口的不斷增加， 相反資源卻一點一點的減少，為了權衡各個 部門之間的利弊，減少不必要的浪費以及經濟效益最大話原則。所以計劃經濟已經越來越 受到國家與人民的重視。因此根據已有的數據，運用數學建模的方法以及軟件的優秀計算 方法，對這個實際問題進行研究，使國家更強大、人民的生活更富裕。2問題的提出設某地區國民經濟系統僅由工業、農業和服務業三個部門構成，已知某年它們之間的 投入產出關系、外部需求、初始投入等如表所示（數字表示產值，單位為億元） 。表i各個部門間的

3、關系產出 投入,工業農業服務業外部需求總產出工業20202535100農業302045115210服務業1560/70145外部需求3511075總產出100210145（1）建立投入產出系數表。（2）設有n個部門，已知投入系數，給定外部需求，建立求解各部門總產出的數學模 型。（3） 如果今年對工業、農業和服務業的外部需求分別為150，250, 170億元，問這三 個部門的總產出分別應為多少？（4）如果三個部門的外部需求分別增加 5個單位，他們的總產出應分別增加多少？（5）如果對于任意給定的、非負的外部需求，都能得到非負的總產出，模型就稱為可 行的。問為使模型可行，投入系數應滿足什么條件？3模

4、型的假設、分析與建立以及模型的求解（1）首先假定每個部門的產出和投入是成正比。根據表1用每一個部門的單項投入產出和所對應的總投入產出做商，便可得出投入產出統計表，如下：表2投入產出表產出投入 -工業農業服務業工業0.2000.0950.172農業0.3000.0950.310服務業0.1500.2860表總第一行、第二列的數字0.2表示生產1個單位產值的農業產品需求投入 0.20個單 位產值的工業產品，而這是由表 1中20億元工業產品投入農業，可以產出 210億元農業 總產值而來的（20/210=0.095）,同理得出其它的數值。（2）首先分析，根據問題：設有n個部門，已知投入系數，給定外部需

5、求，建立求解 各部門總產出的數學模型。設有n個部門，設一段時間內第i個部門的總產出為 Xi，而對于第j個部門的投入為Xij，滿足的外部需求為di，則nXi =? Xj + di (i=i，2，3,，n)(1)j=1表一的每一行滿足式(1)。記第j個部門的單位產出需要第i個部門的投入為aij (在每個 部門的產出與投入成正比的條件下)。=卷 _*丙=x=Xij = aij * Xj(l,j=1,2,3,，n)Xj即aij為投入系數。把(2)式帶入1式可得：nX = ? aij *Xj+ di(3)j=1(4)所以投入矩陣A = (aij )n*n，產出向量為X = (X1 , ，Xn )需求向量

6、d = (d“dn)，所以(3)式可以寫成(E-A) *X=d(5)當(E-A)可逆時，有-1x= (E - A) * d(6)最后給出投入系數A和外部需求d,就可以算除各部門的總產出X。用MATLAB程序進行編寫：首先建立M文件：fun.mFunction f=fun(A， d)b=eye( n,n )-Ac=inv (b)f=d*c計算時，只要鍵入投入系數矩陣 A與外部需求b,即可算出各部門的總產出。(3) 如果今年對工業、農業和服務業的外部需求分別為150，250, 170億元，問這三個部門的總產出分別應為多少？根據表2的數據，把各部門對各個部門的投入及產出系數設為矩陣a=0.200 0

7、.0950.172;0.300 0.095 0.310;0.150 0.290 0.000，而將外部需求對于三種部門的資金設為矩陣 b=150 250 170.及d=三階單位矩陣-矩陣a。則所求的三產業對于外部提供的資金金額分別為x=db。然后用C表示D矩陣的逆矩陣。將表2中的投入系數及對于三個部門的外部需求輸入matlab,用以下程序：a=0.200 0.095 0.172;0.300 0.095 0.310;0.150 0.290 0.000;b=150 250 170;d=eye(3,3)-a;x=b/dc=inv (d)經過MATLAB計算后得：D=0.8000-0.0950-0.17

8、20-0.30000.9050-0.3100-0.1500-0.29001.0000X= 424.8217 442.7042 380.3076C =1.40330.24940.31870.59651.33290.51580.38350.42391.1974(4) 如果三個部門的外部需求分別增加5個單位，他們的總產出應分別增加多少？方法1.根據表2的數據，把各部門對各個部門的投入及產出系數設為矩陣f=0.2000.095 0.172 00.300 0.095 0.310 00.150 0.290 0.000 00.350 0.520 0.518 0設 e=eye(4,4)-f則e矩陣的逆矩陣為矩

9、陣g。把數據輸入MATLAB，用以下程序：f=0.200 0.095 0.172 00.300 0.095 0.310 00.150 0.290 0.000 00.350 0.520 0.518 0； e=eye(4,4)-f； g=i nv (e)得出結果為：g = 1.40330.24940.318700.59651.33290.515800.38350.42391.197401.00001.00001.0000 1.0000由此看出當d增加1個單位時，x的增量由（E- A）-1決定。所以當d為5 （單位）時,工業、農業、服務業的總產值分別增加7.0165、6.6645 5.987 （單位

10、）方法2。根據（6）式表明總產出x對于外部需求d是線性關系的，因此不管d如何增加,三個部門的外部需求增量都只和（E-A）的逆矩陣有關系，而d的增加只會成倍的增加它 們的總產出。當d增加5個單位時，x的增量由決定，而在上面的MATLAB程序上已經 算出C為1.40330.59650.38350.24940.31871.33290.51580.42391.1974其中第一列數字表明，當對工業的需求增加 1個單位時，工業、農業、服務業的總產出 分別增加1.4033, 0.5965, 0.3835個單位。所以當對工業增加 5個單位時，工業、農業、 服務業的總產出分別增加 7.0165，6.6645 5

11、.9870個單位。即C5=7.01651.24701.59352.98256.66452.57901.91752.11955.9870（5）如果對于任意給定的、非負的外部需求，都能得到非負的總產出，模型就稱為 可行的。問為使模型可行，投入系數應滿足什么條件？為了使模型可行，即對任意的外部需求d3 0,而由式（6）能夠得到總產出x3 0,顯-1然只需要(E- A)? 0因為矩陣A3 0 （由定義式（2）,(E- A)(E+ A 2A+nk+1A)= E- A所以只要Ak無限接近于0(k),就有(E - A)? Ak? 0k=0，而由矩陣范數定義可知Ak ?0與| Ak|等價，且Ak| k，故只要

12、A11 （取便于應用的1-范數），即? aij 1i=1(j=1,2, ；n)(7)這樣的模型就是可行的。當投入系數A是根據實際數據計算出來的 等價于（由表 1得到表2）時，由（2）式可知（7）n? Xiji= 1由此看出，只要是初始投入資金非負的話， 型是可靠的。4模型的評價與改進雖然通過這次對于模型的初步建立，該模型采用了數值計算，與理論分析相結合的方法,先有感性認識，再進行數值驗證和估算，可以看作計算機技術與建模方法的巧妙配合。可 取之處在于它們比較全面地達到了建模的目的，清楚的計算了當外部需求增加一定量時各個部門的總體產出量，達到了很好的預算效果。該模型采用了矩陣的逆矩陣求解，把抽象xj(j=1,2 ,n)(8)（8）式就自然成立，得到了非負產出，可知模的，不確定數量的多部門投