1、第七章線(xiàn)性離散系統(tǒng)的分析與校正7-1離散系統(tǒng)的基本概念7-2信號(hào)的采樣與保持7-3 z變換理論7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差7-6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析7-7離散系統(tǒng)的數(shù)字校正7-8離散控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)7-1離散系統(tǒng)的基本概念a連續(xù)系統(tǒng)：系統(tǒng)中所有信號(hào)都是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。信號(hào)在全部時(shí)間上都是已知的。離散（時(shí)間）系統(tǒng)系統(tǒng)中至少一處信號(hào)是脈沖或數(shù)碼。那些信號(hào)只定義在離散時(shí)間上。采樣/脈沖控制系統(tǒng):系統(tǒng)中的離散信號(hào)是脈沖序列形式的離散系統(tǒng)。a數(shù)字/計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)系統(tǒng)中的離散信號(hào)是數(shù)字序列形式的離散系統(tǒng)。1 .采樣控制系統(tǒng)采樣系統(tǒng)是對(duì)來(lái)自傳感器的連續(xù)信息在某些規(guī)定的 時(shí)間瞬時(shí)上取

2、值，而無(wú)法獲取瞬時(shí)之間的信息。周期采樣：采樣時(shí)間間隔具有規(guī)律性。等周期采樣：采樣時(shí)間間隔兩兩相等。非周期/隨機(jī)采樣：采樣時(shí)間間隔是時(shí)變的、隨機(jī)的。假定：本章僅討論等周期采樣，如果系統(tǒng)中有幾個(gè) 采樣器，則它們是同步等周期的。給定例 71(p305)圖7t爐溫采樣 控制系統(tǒng)原理圖被檄寸象電劭機(jī) 減速器電位器放大器e,八u i 1! 5r 4/ v i u 1 li j/ 4/(a)(b)圖7-2電位器的輸出電壓7為采樣周期，了為采樣持續(xù)時(shí)間。爐溫采樣控制，當(dāng)檢流計(jì)指針與電位器接觸時(shí)，電機(jī)才在采樣信號(hào)作用下調(diào)節(jié)爐溫。這種采樣控制下，電 機(jī)時(shí)轉(zhuǎn)時(shí)停，若再采用較大開(kāi)環(huán)增益，不僅利于系統(tǒng)穩(wěn) 定，還能抑制響

3、應(yīng)超調(diào)。通常，測(cè)量元件、執(zhí)行元件、被控對(duì)象是模擬元件, 其輸入和輸出是連續(xù)信號(hào)，即時(shí)間上和幅值上都連續(xù)的 信號(hào)，稱(chēng)為模擬信號(hào)。脈沖元件的輸入和輸出是脈沖序列，即時(shí)間上離散而幅值上連續(xù)的信號(hào)，稱(chēng)為離散模擬信號(hào)。連續(xù)信號(hào)采樣器脈沖序列保持器采樣系統(tǒng)：采樣器和保持器是特殊環(huán)節(jié)。信號(hào)采樣和復(fù)現(xiàn)采樣：連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖信號(hào)。采樣器，例如采樣開(kāi)關(guān)。丁是采樣周期，s= 1/7是采樣頻率。采樣角頻率：cus=2tt/t=2trfs,單位是rad/s采樣持續(xù)時(shí)間kvt, kvmax連續(xù)部分的時(shí)間常數(shù),通常認(rèn)為潸近于0。矩形面積 等于強(qiáng)度復(fù)現(xiàn)：脈沖信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)。復(fù)現(xiàn)裝置，又稱(chēng)為保持器。采樣器輸出脈沖信號(hào)e*

4、，其高頻分量相當(dāng)于連續(xù)部分的噪聲。因此，采樣器后面串聯(lián)信號(hào)復(fù)現(xiàn)濾c信號(hào)復(fù)現(xiàn)凝波器 （用寺器）圖7-3、保持器的輸入與輸出信號(hào)采樣頻率足夠高時(shí),接近于連續(xù)信號(hào)。采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖開(kāi)環(huán)采樣系統(tǒng)：采樣器位于閉合回路之外，或者系 統(tǒng)無(wú)閉合回路。閉環(huán)采樣系統(tǒng)：采樣器位于閉合回路之內(nèi)。典型結(jié)構(gòu)圖：圖7-4采樣系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖線(xiàn)性采樣系統(tǒng)：采樣開(kāi)關(guān)的輸出與輸入存在線(xiàn)性關(guān)系，且系統(tǒng)其余 部分的傳遞函數(shù)都具有線(xiàn)性特性。2 .數(shù)字控制系統(tǒng)以數(shù)字計(jì)算機(jī)為控制器。包括離散工作的計(jì)算機(jī)和連續(xù)工作的被控對(duì)象o閉環(huán)控制系統(tǒng)。圖75小口徑高炮高精度伺服系統(tǒng)計(jì)算機(jī)作為系統(tǒng)的控制器，其輸入和輸出是二進(jìn)制編碼的數(shù)字信號(hào)，即在時(shí)間上

5、和幅值上都離散的信號(hào)。被控對(duì)象和測(cè)量元件的輸入和輸出是連續(xù)信號(hào)。連續(xù)a/d離散d/a 連續(xù) analog - digitalr)測(cè)量元件圖76計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)典型原理請(qǐng)分析:采樣信號(hào)與數(shù)字信號(hào)的區(qū)別和聯(lián)系?,區(qū)別采樣：在離散時(shí)刻，采集連續(xù)的幅值。編碼：即a/d過(guò)程，將采樣值進(jìn)行0、1編碼。,聯(lián)系兩者都是離散信號(hào)，且可以相互轉(zhuǎn)化。解碼：即d/a過(guò)程，將數(shù)碼轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號(hào)。a/d轉(zhuǎn)換器將連續(xù)模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散數(shù)字信號(hào)的裝置oa/d轉(zhuǎn)換包括采樣和量化兩個(gè)過(guò)程。任何數(shù)值的離散信號(hào)必須表示成最小位二進(jìn)制的整數(shù)倍，才能成為數(shù)字信號(hào)，才能進(jìn)行運(yùn)算。數(shù)字計(jì)算機(jī)中信號(hào)在時(shí)間和幅值上都是斷續(xù)的。采樣信號(hào)，例如記作j

6、q),其數(shù)字信號(hào)記作e ye)。a/d轉(zhuǎn)換器若有足夠的字長(zhǎng)表示數(shù)碼，或者稱(chēng)為精度高，即量化單位q足夠小，則量化引起的幅值斷續(xù)性可以忽略。若采樣編碼是瞬間完成，并用理想脈沖等效代替數(shù)字信號(hào)，則數(shù)字信號(hào)可以看成脈沖信號(hào)，a/d轉(zhuǎn)換器可用每隔t秒瞬時(shí)閉合一次的理想采樣開(kāi)關(guān)s來(lái)表示。q 一打)，二o8=xest*q g孔0圖7-11理想采樣過(guò)程石群課件自動(dòng)控制原理2,采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述采樣信號(hào)的拉氏變換8eo =- n7）n - q,8- tit)1 = l 6q)e-啦=nj u8(5)= x 心7l力=0e（5）不能給出連續(xù)函數(shù)4）在采樣間隔之間的信息。求解1（5）的過(guò)程中，初始值通常規(guī)定采用“0

7、+）。若是有理函數(shù)，則e可表示成產(chǎn)的有理函數(shù)形式。例7-3設(shè)c（o = l（力，試求/g）的拉氏變換。解 eyq =82 小7）em/i=0=1 + e-tj + e-m + 這是一個(gè)無(wú)窮等比級(jí)數(shù),公比為廣巴求和后得閉合形式。）=_ e-n = 6fl 18_ ：6一k$一”）丁 月0_ 產(chǎn) 一 en -e-+叫 2紡）石群課件自動(dòng)控制原理0圖7-14采樣信號(hào)頻譜cw52g)在他23情況下.理想濾波器也無(wú)法1.0恢復(fù)原來(lái)連續(xù)信號(hào)的頻譜。2圖715理想濾波器的頻率持性石群課件自動(dòng)控制原理3 .香農(nóng)采樣定理如果采樣器的輸入信號(hào)”r）具有有限帶寬，并且有直 到g的頻率分量，則使信號(hào)武力圓滿(mǎn)地從采樣信

8、號(hào)屋（/） 中恢復(fù)過(guò)來(lái)的采樣周期丁，滿(mǎn)足以下條件:理想濾波器頻率特性的幅值怛（汝）|必須在=3淀 處 突然截止，則在理想濾波器輸出端可準(zhǔn)確得到同汝）| 的連續(xù)頻譜，僅是幅值變?yōu)?/t倍，頻譜形狀沒(méi)有畸變。時(shí)域圖（a）為連續(xù)輸入信號(hào)及其頻譜瓦（計(jì)|kkl川川111111110 ： 2/ ：4r : 6rfo 2%：44t 3f 5/_35 一叫網(wǎng) m圖（b）為理想單位脈沖序列及其頻譜茶群課件自動(dòng)控制理鐘.”)1-4砒一2小 0 ： 2例14砧iar3%一叫 53%控制工程實(shí)踐中，總是取牡20,不取等于的情況。圖(c)為輸出采樣信號(hào)及其頻譜4 .采樣周期的選取正常趨勢(shì)：t越小、也越大，獲得控制信息

9、越多，控制 效果越好。t過(guò)小:增加計(jì)算負(fù)擔(dān)，控制規(guī)律復(fù)雜，無(wú)實(shí)際意義。t過(guò)大：控制過(guò)程大誤差，降低動(dòng)態(tài)性能，穩(wěn)定性差。根據(jù)頻域性能指標(biāo)選t控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)通常具有低通濾波特性，隨 動(dòng)系統(tǒng)輸入信號(hào)頻率高于閉環(huán)諧振頻率例時(shí)，信號(hào)通過(guò) 系統(tǒng)會(huì)很快衰減，可認(rèn)為通過(guò)系統(tǒng)的控制信號(hào)的最高頻 率是r。隨動(dòng)系統(tǒng)，認(rèn)為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的截止頻率找等于閉環(huán)系統(tǒng)的諧振頻率0。771隨動(dòng)系統(tǒng)選取：4 = 104 t=t =根據(jù)時(shí)域性能指標(biāo)選t。基于單位階躍響應(yīng)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式：t = -tt = t10 r40表7i工業(yè)過(guò)程r的選擇控制過(guò)程采樣周期t/s壓s520溫石群課件自動(dòng)控制原理5.信號(hào)保持工程實(shí)踐中，理想濾波器并

10、不存在，只能用特性接近 的低通濾波器代替，零階保持器是常用的低通濾波器之一。把數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為建續(xù)行號(hào)的裝置，稱(chēng)為保持器。 保持器的數(shù)學(xué)描述采樣時(shí)刻上，連續(xù)信號(hào)的函數(shù)值等于脈沖序列的脈沖 強(qiáng)度。保持器具有外推作用，表現(xiàn)為現(xiàn)在時(shí)刻的輸出信 號(hào)取決于過(guò)去時(shí)刻離散信號(hào)的外推。e | t=nt= c(nt) = e (nt) e(t) t=(n+1)t = e(n + 1)t) = e(n + 1)t) 多項(xiàng)式外推公式:e(nt + ，) = 4+/ + a2(ar)2 + + am (ar)w由 e (n-i)t(i = 0,1 , w)確定外推系數(shù) 4(i = 0,l,，加)m表示保持器的階數(shù)，工程

11、實(shí)踐普遍采用m=0階保持器。零階保持器階次m=0,則外推公式為： e(nt + ar)二 % 顯然，上式加=0也成立。所以，% =零階保持器按照常值外推,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:e(nt + ar) = e(nt)0 at t把琛樣值保持到(。+1)兀使采樣信號(hào)e*變成階梯 信號(hào)圖7-17零階保持器的輸出特性連接階梯信號(hào)中點(diǎn), 可得到與e形狀一 致，但時(shí)間落后172 的響應(yīng)et-(t/2)。零階保持過(guò)程是理想脈沖e(nt)3(t-nt)的結(jié)果。町) o 零階保持器 0 g*) = l(d 零階保持器傳遞函數(shù)(脈沖響應(yīng)的拉氏變換)：1 ets l-ets g/s)=s s s零階保持器頻率特性：g/j

12、)=2/網(wǎng)2(*m _g一同2)-2w/2 =t sin(o?72) e_jat/22 j o)a)t/2t = 2 兀 mgh(jo) =2乃sn兀(句)77rgm) ccos 兀(com)圖7t8零階保持器的幅頻特性和相頻特性石群課件自動(dòng)控制原理零階保持器特性: 低通特性。根據(jù)幅頻特性可知，零階保持器基本上是一個(gè)低通濾波器。但與理想濾波器特性相比，在例/2處，幅值是初值的63.7%,且截止頻率不止一個(gè)，因此主要頻譜分量和部分高頻頻譜分量都可以通過(guò)，進(jìn)而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出中存在紋波。相角滯后特性。根據(jù)相頻特性，零階保持器的相角滯后，隨著口的增大而增大。在例處滯后兀，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。

13、時(shí)間滯后特性。零階保持器的輸出為階梯信號(hào)， 平均響應(yīng)為-(t/2),說(shuō)明輸出比輸入滯后t/2 ,相當(dāng)于給系統(tǒng)增加一個(gè)延遲時(shí)間為t/2的延遲環(huán)節(jié)，是系統(tǒng)總的相角滯后增大，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性不利，且階梯輸出增加系統(tǒng)輸出中的紋波。一階保持器階次m=1,則外推公式為： e(nt + at) = % + aqat = oe(nt) = %at = -te( -1)7 = 10 aj解得外推系數(shù):旬=e(nt)e(nt)-e(n-l)t得：e(nt + ao = e(nt) +su% 0artg/t(s) = t(l + ts)(-)2tsg4j)=tjl + (任02/(。7-。7)ojt/i石群課件自動(dòng)控制

14、原理圖7-19 一階保持器的輸出特性石群課件自動(dòng)控制原理一階保持器與零階保持器相比較: 復(fù)現(xiàn)原信號(hào)的準(zhǔn)確度更高。幅頻特性普遍較大，允許通過(guò)高頻分量較多，更易造成紋波。相角滯后更嚴(yán)重，%處滯后可達(dá)-280。，對(duì)穩(wěn)定性更 加不利。/結(jié)論:數(shù)字控制系統(tǒng)中，普遍采用零階保持器，很少采用 階保持器，基本不用更高階保持器。工程實(shí)踐中，可用輸出寄存器實(shí)現(xiàn)零階保持器，還應(yīng) 附加模擬濾波器，有效去除采樣頻率及其諧波頻率附近 的高頻分量。7-3 z變換理論z變換的思想源于連續(xù)系統(tǒng)。線(xiàn)性離散系統(tǒng)的性能，可用z變換的方法獲得。z變換是采樣函數(shù)拉氏變換的變形，稱(chēng)為采樣拉氏 變換。1 .z變換定義e(s) = j。e(t

15、)estdt t 00e(t)estdt03coe* =5 e(t)b(t nt)n=0800,8e*(s)=f et)e-stclt= f ye(nt)6(t-nt)ystdtj coj 00n=0008=z e(t)j s nt)e-stdtn=0/= /(t)00“3(t-nt)e-stdt = e-snt co8s6e (s) = z e(t)u：照 - l力=z e鋁一”n=0n=0(s)各項(xiàng)均含有e”項(xiàng)，則為s的超越函數(shù)。,t為采樣周期，z是復(fù)數(shù)變量，z變換算子。z的s反解：s = nze(z) = e (5) is 二一 inzco二 e(u)z-/?-0這種寫(xiě)法只 是書(shū)寫(xiě)方便,

16、 意義同前石(z)= ze*= ze。群課件自動(dòng)控制原理2 .z變換方法取z = e，可將s域超越函數(shù)變換為z的幕級(jí)數(shù)或者 有理分式。級(jí)數(shù)求和法oo石(z) = e(0) + e(t)z- + e(2t)z-2 + + e(nt)z-n + =z 式叫n=0例76求單位階躍函數(shù)1的z變換。(對(duì)比p313例73) 解：e(nt) = 1( = 0/,2,8)e(z)= i + zi + z2+ 2一+若n = (res)t0則可得封閉形式：石二工二91-zz-1例77設(shè)00n=0求理想脈沖序列心的z變換。68解：e* =% = nt) e，(s) = enstn=0n=0co-1 z s + j

17、coz = 1z(e-dz-e-jcot 方 j z(3+/s)+ l根據(jù)歐拉公式:e(z) =z sin cotz2 -2zcos(zt + 1注意!本課程主要研究：常用時(shí)間函數(shù)z變換后，是z的有理分式，且分母多 項(xiàng)式的次數(shù)大于或等于分子多項(xiàng)式的次數(shù)。分母z多項(xiàng)式的最高次數(shù)等于相應(yīng)傳遞函數(shù)分母s多 項(xiàng)式的最高次數(shù)。p322表72 z變換表誰(shuí)也不能全背下來(lái)！且讓我指出考試常用的變換，哈!表7-2 z變換表序 號(hào)拉氏變換($時(shí)間函數(shù)z變換eq)1nt) ，216(力131 s1(0x 41?ttn 0-1)25*1$3巴ft72立之十1 2(z-l)37屋”zz-a81s + a?z-e-at9

18、1斷tzat(s+(z-e)2序 號(hào)拉氏變換以。時(shí)間函數(shù)eg)z變換e(z)163sinsezs ins/ -2 之 cosst +117+ “cos碗nz-cos 嗎） 塞 2 2ncosw +1表72重 點(diǎn)：1、2、3、4、5、8次重點(diǎn)：7、9、16、173. z變換性質(zhì)(證明考試不考，了解即可)線(xiàn)性定理zq (0 027) = -(z) 與zae(t) = ae(z)實(shí)數(shù)位移定理ze(t-kt) = z-ke(z)k-1ze(t + 左 t) = d 石(z) z e(t)z- h=0例710計(jì)算滯后一個(gè)采樣周期的函數(shù)的z變換。-atz-e解：ze-a(t-t) =: zt j1_ c/

19、t jl z-e復(fù)數(shù)位移定理zetate(t) = e(zeat)/晨理解為e*乘以指數(shù)序列e例711計(jì)算出5的z變換。rjn dt tze(zd)2解e(z) = zt= tz ztellt = e(zel,1) = -(z-終值定理若e(t)為有限值，且極限即e(“)存在，則:ess (oo) = lim e(nt) = lim(z - l)e(z)nsz-1例712設(shè)z變換函數(shù)為e(z) =求 e(nt) o解：0.792z2(z-l)(z2-0.416z + 0.208)e“(8)= lim(z-l)0.7923(z-l)(?-0.416z + 0.208) 石群課件一卷積定理oo定義

20、離散卷積:x(t) * y(nt) = z x(kt)y(n -左)tk=0若 g（r）= x（u）*y（a）則 g（z）= x（zy（z）卷積定理是溝通時(shí)域與z域的橋梁。4.z反變換先z變換，把s超越方程或者離散系統(tǒng)差分方程轉(zhuǎn)換為z的代數(shù)方程，然后寫(xiě)出離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（z傳遞函數(shù)），再用z反變換求出離散系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)。z反變換：e（t）=zte（z）單邊性：”0 時(shí) e（w）= o部分分式法（查表法）設(shè)已知的z變換函數(shù)成z）無(wú)重極點(diǎn)，且考慮分子普遍含有z,貝！磯z)_s azz-zja為4z）在極點(diǎn)z,處的留數(shù)。或 z)=&z _ zji=l=j = l2,/z - zjco ne* =z

21、 z 6 (幾t)3 (t-nt)n=0 i=l例713已知e二渭33 求z反變換。解：e(z) _1一6-_ 11t _(z _ 1)(z _ e5) _ 力 _ z _ ee(z) =ze(nt) = l-e-ant00e*(/) = (l-e-)b(u)n=0e(0) = 1 e(t) = l-ee(2t) = l-e-2at塞級(jí)數(shù)法（綜合除法）e(z) =mn%+5億一1+42一2+-+或2一機(jī)1 + %z 1 + 4z 2 h an z co(z) = % + qz-1 + 5i +. + c/ + .=z%z-n=0如果無(wú)窮塞級(jí)數(shù)收斂，則q =。，1，8）是采樣脈沖序列e*的脈沖強(qiáng)

22、度 e（nt）。00=0工程實(shí)際中，只需計(jì)算有限的幾項(xiàng)，可用塞級(jí)數(shù)法, 但是不易求得通項(xiàng)的、封閉的表達(dá)式。例715設(shè)z變換函數(shù)求工反變換。解：ev 1 + 2z 1 + z 3(z) =i5l-1.5zl+q.5z2石(z) = 1 + 3.5z7 + 4.75z + 6.375z-3 +e* =距)+ 3.5加一 t) + 4.75b - 2t) + 6.3753。一 3t) + 注意:無(wú)窮越級(jí)數(shù)只要在z平面的某個(gè)區(qū)域內(nèi)是收斂的，則用z變換法解決離散系統(tǒng)問(wèn)題時(shí)，就不需要指出 具體在什么z值上收斂。反演積分法(留數(shù)法)當(dāng)z變換函數(shù)e(z)除了有理分式外，也可能是超越函 數(shù)，此時(shí)無(wú)法用部分分式法

23、和塞級(jí)數(shù)法求z反變換，只 能采用反演積分法。當(dāng)然，反演積分法對(duì)e(z)為有理分式的情況也適用。00(z) = z e”)z、= e(0) + e(t)/ + e(2t)z2 + + e( z、+ n=0石(z)zt = e(0)zt + e(t)zn2 + + 8盯廿 + 設(shè)r為z平面上包圍/i全部極點(diǎn)的封閉曲線(xiàn)。沿逆時(shí)針?lè)较颍瑢?duì)eq1一兩端同時(shí)積分。必 e (玲* dze(0)z-dz +e(t)zn2dz + + 4 e(幾 trd? + 對(duì)于圍繞原點(diǎn)的積分閉路r：jr當(dāng)左w n 當(dāng)k = ne(nt)dz = e(nt) 2 乃 je(nt)=e(z)z 一9z根據(jù)柯西留數(shù)定理,設(shè)除有限

24、個(gè)極點(diǎn)左弓山外，在域g上是解析的。如果有閉合路徑包含了這些極點(diǎn)，則:例715設(shè)z變換函數(shù)resres(z) =z2(z-w-0.5)求z反變換。(z-lxz-0.5)4=1z2 = 0.5z+1(z lxz 0.5)z向(z - l)(z 0.5)】 r r (z-11川10if = limlj = 2z -(z l)(z-0.5) r 仁一0.5*申1 eq、”* =墨ge】=y8)e(t) = 2 (0.5)8qoe* = e(t2 t) = 2 (0.5)3 nt) n=0n=0=+1 .55 t) +1.755(/ 2t) +1 .875s 3t) + 留數(shù)計(jì)算方法:若g a=12為單

25、極點(diǎn),則:resueqkzfz.= lim(z g)石(z)zi z-4若(z)zt有n階重極點(diǎn)貝!i：resw(zk1 hmdn-l(z-ziye(z)zn-1 (n-1)! z-z,5.關(guān)于z變換的說(shuō)明z變換的非唯一性z變換只與采樣序列對(duì)應(yīng)，而與原連續(xù)時(shí)間函數(shù)并非一 一對(duì)應(yīng)。對(duì)于給定z變換e(z),由于采樣信號(hào)只在采樣瞬間和原 連續(xù)時(shí)間函數(shù)相同，所以e(z)反變換也不可能是唯一的。 對(duì)于連續(xù)時(shí)間函數(shù)，z變換和z反變換都不是唯一的。或|”啾)圖7-20具有相同z變換式的兩個(gè)時(shí)間常數(shù)z變換的收斂區(qū)間拉氏變換存在性條件：卜1力 8 雙邊z變換的定義：e=j e(nt)z-z = est s =

26、cr + jco z = e若令：tz|=” 貝！|：z = esod8(z)= e(ntv則其收斂條件：e,(仃人8滿(mǎn)足 k(u)l/?=coz變換存在。z=x(與n=0n=0 z公比為：絲7 ,當(dāng)|z =a 時(shí)，&) =，-z ci其收斂區(qū)間為：z ae(z)的零點(diǎn)是z=0, 極點(diǎn)是z=a,收斂區(qū)域 如圖721所示。大多數(shù)工程問(wèn)題中的z變換都存在，所以可不必特別指出z變換的 收斂區(qū)間。7-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線(xiàn)性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有三種:差分方程脈沖傳遞函數(shù)離散狀態(tài)空間表達(dá)式1.離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義將輸入序列廠(chǎng), = 0,l2,，變換為輸出序列。的種變換關(guān)系，稱(chēng)為離散系統(tǒng)，記作：c(h) =

27、 fr(n)r(nt) c(t)簡(jiǎn)記為： r(n) c(n)如果關(guān)系f是線(xiàn)性的，就稱(chēng)為線(xiàn)性離散系統(tǒng);如果關(guān)系f是非線(xiàn)性的，就稱(chēng)為非線(xiàn)性離散系統(tǒng)。線(xiàn)性離散系統(tǒng)g () = fr ()c2(n) = fr2 (n)c(n) = fr(n) = farx (n) br2 () = afr1 () bfr2(n) = acx (n) bc2 (n)線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)定義：輸入與輸出關(guān)系不隨時(shí)間改變的線(xiàn)性離散系統(tǒng)。r(n) - c()r(n -k)tc(n-k) k = 0, 土 1, 2,2 .線(xiàn)性常系數(shù)差分方程及其解法n階后向差分方程(nnm)c(k) + ctc(k _ 1) + a?c(k - 2

28、) + + 】c(k - +1) + ac(k _ )=br(k) + bj(k -1)4卜bm xr(k - m + 1) + bj(k - m).團(tuán)c(k) = -z i) + z b(k - j)/=iy=o石群課件自動(dòng)控制原理n階前向差分方程(nnm)c()z-n=0c(2圖7-22開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)c*(/) = ztc(z) = ztg(z)e(z)實(shí)際系統(tǒng)輸出 往往是連續(xù)信號(hào) c，則可在輸出 端虛設(shè)一個(gè)理想 采樣開(kāi)關(guān)，與其 它采樣開(kāi)關(guān)同步尸gg)圖7-23實(shí)際開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)工作，并具有相同的采樣周期。如果實(shí)際輸出比較平滑，且采樣頻率較高，可用c*虛設(shè)采樣開(kāi)關(guān)是不存在的，只表明脈沖傳遞函數(shù)

29、所能 描述的，只是輸出。在采樣時(shí)刻上的離散值。*。脈沖傳遞函數(shù)意義 對(duì)于線(xiàn)性定常離散系統(tǒng):若輸入為單位序列： r(nt) =輸出為單位脈沖響應(yīng)序列: c(nt) = k(nt)當(dāng)輸入單位脈沖序列時(shí)間移動(dòng)k個(gè)單位：譏伽-外為則 輸出單位脈沖序列時(shí)間相應(yīng)移動(dòng)k個(gè)單位: k(n-k)tk(u)和k(-口為稱(chēng)為“加權(quán)序列”，續(xù)信號(hào)采樣時(shí)，每一采樣時(shí)刻的脈沖值，就等于該時(shí) 刻的函數(shù)值。任何一個(gè)采樣序列，都可以認(rèn)為是被加了權(quán)的脈沖 序列。對(duì)于線(xiàn)性定常離散系統(tǒng):若輸入采樣信號(hào)為:o0/= r(nt)3(t -nt)n=0r(kt)6(n-k)tr(kt)k(n-k)t0000c(nt) = z k(幾-k)

30、tr(kt) =k(kt)r(n - k)tk=0k=0c(nt) = k(nt)*r(nt)ook(z) = zk(u)z 一n=0c(z) = k(z)k(z)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)g(z),等于系統(tǒng)加權(quán)序列k(nt)的z變換。k(z) =尺6g(z) = k(z) = k(u)z 一77=0系統(tǒng)后向差分方程nmc(k) = 4c(k ，) + z b(k j)i=lj=0后向差分方程和脈沖傳遞函數(shù)的關(guān)系：mmc（z）=工 4c（z）z- +z%r（z）ztv bzji=lj=0c（z） i=0 jg（z）-:脈沖傳遞函數(shù)求法r1 +才4/方法：,=1k= lg(s)g(s) icog(z) g

31、(z) = k(z) = zk(t)zk(nt)n=0方法：根據(jù)z變換表，直接由g(s)得到g(z)。a加權(quán)序列的采樣拉氏變換與其z變換的關(guān)系:00cg(z) = zg (s) = zg(s) (0 = k* =x- t)n=07-23實(shí)際開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)加權(quán)序列:c(nt) = k(nt)采樣拉氏變換:gog(z)= g*(s)1,s亍 inz這ksn=0g*(s) = uk*) = zk(t)e-/n=0例7-18設(shè)某環(huán)節(jié)的差分方程為c5t) = r( - a)t試求其脈沖傳遞函數(shù)g(z).解 對(duì)差分方程取z變換,并由實(shí)數(shù)位移定理得c(z) = zkr(z) g(z) = z當(dāng)為 = 1時(shí),g

32、(z)=nt,在離散系統(tǒng)中其物理意義是代表一個(gè)延遲環(huán)節(jié)。它把其輸入序列右移一個(gè)采樣周期后再輸出。sq + a)例7-19設(shè)圖7-23所示開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中的g)= 試求相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)gg)。解將g(c展成部分分式gq) =十g8 =三-查n變換表得 $十。之(1 一 e一門(mén))4 .開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) ,影響求解開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的兩個(gè)因素:組成系統(tǒng)的環(huán)節(jié) 采樣開(kāi)關(guān)的數(shù)目和位置 采樣拉氏變換的兩個(gè)性質(zhì)周期性g(s) = g*(s + jkcos)不必重復(fù)離散化g(s)(s)*=g*(s)(s)口有串聯(lián)環(huán)節(jié)時(shí)的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)。二 g(z/c(z)= g2(z)d(z)c

33、(z) = g2(z)gc)r(z)叫g(shù)(z) =c(z)rz)= g(z)g2(z)g0串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)c(s) = g、(s)g? (s)r(s) k (s) = r(nt)e-nstn=0c* (s) = g (s)g2 (s)k (s)* = q(5)g2(5)* r* (s) = gg； (s)k (s)18g0*(s) = g(s)gz(s)* = r 5(s + jrir.s + jncos) “h=oogg*(s) w g*(s)g；(s) c(z) = g(z)r(z)g(z) = gg(z) 5(z)g2(z) w gor(z)例7-20設(shè)開(kāi)環(huán)離散系統(tǒng)如圖7 -24(

34、a)及(b)所示,其中其gr) = l/s,g2($) = a/($+a),輸入信 號(hào)n)= 1q),試求系統(tǒng)(a)和(b)的脈沖傳 遞函數(shù)gs)和輸出的之變換解查z變換表，輸入ne) = 1q)的z變換為hs)=40 7g(z)=r*g2 es) =r* (s)l + hgs)r*g)c*(s) = g(s)石 *(s)7=g*(s)s(s)=1 + hg (s)現(xiàn)z)=r(z) 、 g(z) 、l + hg(z) % _ + g(z)磯z)=c(z) =r(z)l + hg(z)g r(z) 1 + hg 小 ,一、石(z)_1 e (z)r(z) l + hg(z)_c(z)_ g(z)(z)火(z) 1 + hg(z)閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程:注意：wzo(z) = l + g(z) = 0 e(z)，z,(s)只要e處沒(méi)有采樣開(kāi) 關(guān)，r*(包括虛構(gòu)的 r*)便不存在，此時(shí)不可能求出閉環(huán)離散系統(tǒng)對(duì)于輸入量的脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出c(z)。4)圖7-26閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例7-22設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-27所示，試證其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為0(n)=gcog