1、2.1.2橢圓的簡單幾何性質,橢圓的簡單幾何性質,名師點撥1.橢圓的范圍決定了橢圓的大小,它位于直線x=a和y=b所圍成的矩形框里.其實質是給出了橢圓上點的橫坐標、縱坐標的取值范圍,在求解一些存在性、判斷性問題中有著重要的應用,也可用于求最值和軌跡等問題時的檢驗. 2.應用方程研究曲線對稱性的方法如下: (1)若把曲線方程中的x換成-x,方程不變,則曲線關于y軸對稱; (2)若把曲線方程中的y換成-y,方程不變,則曲線關于x軸對稱; (3)若同時把曲線方程中的x換成-x,y換成-y,方程不變,則曲線關于原點對稱. 3.橢圓的離心率,做一做1】 橢圓x2+9y2=36的短軸端點為. 解析:橢圓方

2、程化為 ,焦點在x軸上,b=2,所以短軸端點為(0,2). 答案:(0,2,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打“”. (1)橢圓的頂點坐標、長軸長、短軸長、離心率等都與橢圓焦點所在的坐標軸有關. () (2)橢圓的焦點一定在長軸上. (,答案:(1)(2)(3)(4)(5,探究一,探究二,探究三,思維辨析,根據橢圓的標準方程研究其幾何性質 【例1】 已知橢圓mx2+4y2=4m(m0)的離心率為 ,求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標及頂點坐標. 思路點撥:先根據離心率的值求出m的值,再得到其他幾何性質,但要注意對m進行分類討論,以確定焦點的位置,探究一,探究二,

3、探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟根據橢圓方程確定其幾何性質的步驟如下: (1)化標準:把橢圓方程化成標準形式; (2)定位置:根據標準方程分母的大小確定焦點的位置; (3)求參數:寫出a,b的值,并求出c的值; (4)寫性質:按要求寫出橢圓的簡單幾何性質,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,根據橢圓的幾何性質求其標準方程 【例2】 根據下列條件求橢圓的標準方程: (1)橢圓的一個頂點是(0,2),離心率e= ; (2)橢圓長軸的一個端點為(-6,0),短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形. 思路點撥:(1)焦點位置不確定,應進行分

4、類討論;(2)焦點位置確定,可根據題目條件求出a,b,c的值即得方程,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.根據橢圓的幾何性質,求其標準方程主要采用待定系數法,解題步驟為: (1)確定焦點所在的位置,以確定橢圓標準方程的形式; (2)確立關于a,b,c的方程(組),求出參數a,b,c; (3)寫出標準方程. 2.在求橢圓標準方程時,要注意根據題目條件判斷焦點所在的坐標軸,從而確定方程的形式,若不能確定焦點所在坐標軸,則應進行分類討論.一般地,已知橢圓的焦點坐標時,可以確定焦點位置,而已知離心率、長軸長、短軸長、焦距時,

5、則不能確定焦點位置,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練2根據下列條件,求橢圓的標準方程. (1)已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍,且經過點A(2,0). (2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直,且焦距為8,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,橢圓的離心率問題 【例3】(1)已知橢圓的焦距不小于短軸長,求橢圓的離心率的取值范圍; (2)橢圓 (ab0)的半焦距為c,若直線y=2x與橢圓一個交點的橫坐標恰為c,求橢圓的離心率. 思路點撥:(1)依題意建立c與b的不等式,再轉化為a,c的不等式,即可求得離心率的取值范圍;(2)根據題意,建立參數a,b,c的方程求解,注意橢圓定義的靈活運用,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,忽視對橢圓焦點位置的討論致誤 【典例】 已知橢圓x2+my2=1的離心率為 ,求它的長軸長. 易錯分析:本題常見錯誤:一是沒有將所給橢圓方程化為標準形式而求解;二是將橢圓方程化為標準形式后,不討論焦點所在的坐標軸,只就其中的一種情況求解,探究一,探