1、有限差分法數值求解一維伯格斯方程作者：潭花林1. 引言本文利用有限差分法計算了一維伯格斯方程的初邊值問題。采用FTCS格式，并深入討論了它的相容性、收斂性與穩定。有限差分法在計算流體力學、數值傳熱學中都有眾多的應用，而且可以用于高維情形。所有問題都是采用matlab編程計算。本文只是一個簡單的一維問題的算例。關鍵詞:計算流體力學，有限差分法，一維對流方程2. 題目用計算機求對流方程的初值問題 的數值解（由于對流方程的計算結果只依賴與上游，只需要給出上有的邊界條件就可以了）。（1）分別用C格式，Lax格式，FTCS格式在 ，兩種情況下計算。（2）計算范圍為，取，計算80個時間步長。（3）寫出計算

2、報告，內容為（I）計算課題（II）計算框圖（III）計算程序（IV）計算結果，時的，圖（V）體會3. 計算原理3.1. 迎風格式內點采用如下差分格式 初值為 邊界條件為 穩定性：差分格式的穩定性：誤差方程與差分方程相同設誤差為，則 放大因子所以為使，應有對于本問題，初值和邊界條件并不影響穩定性和收斂性問題。根據Lax等價定理，對于適定的處置問題，只要差分格式相容，穩定的就是收斂的。3.2. Lax格式內點采用如下差分格式 初值為 邊界條件為 穩定性：差分格式的穩定性：誤差方程與差分方程相同設誤差為，則 放大因子所以為使，應有對于本問題，初值和邊界條件并不影響穩定性和收斂性問題。根據Lax等價定

3、理，對于適定的處置問題，只要差分格式相容，穩定的就是收斂的。3.3. FTCS格式內點采用如下差分格式 初值為 邊界條件為 穩定性：差分格式的穩定性：誤差方程與差分方程相同設誤差為，則 放大因子所以所以該格式是完全不穩定的。4. 計算結果及其討論4.1. 時，結果是收斂的4.1.1. 時刻，三種格式的處理是相同的，處理結果如圖 1所示，這是由于還沒有開始數值計算。圖 14.1.2. 時刻，計算結果如圖 2所示，Lax格式和迎風格式的結果幾乎是相同的，而FTCS格式卻出現了很大的數值震蕩。圖 24.1.3. 時刻，計算結果如圖 3所示，Lax格式和迎風格式的結果幾乎是相同的，并且結果已經接近穩態

4、。而FTCS格式卻數值震蕩更大了，在幾百的量級。圖 34.1.4. 時刻，三種格式的處理是相同的，處理結果如圖 4所示，Lax格式和迎風格式的結果幾乎是相同的，并且結果已經接近穩態。而FTCS格式卻數值震蕩更大了，在十萬的量級。圖 44.2. 時，結果是不收斂的4.2.1. 時刻，計算結果如圖 5所示，三種格式的處理是相同的，這是由于還沒有開始數值計算。圖 54.2.2. 時刻，計算結果如圖 6所示，三種格式都出現了不同程度的數值震蕩，在之前的穩定性分析中，已經指出，時，即使是迎風格式和Lax格式也是不穩定的，只有幾的量級。圖 64.2.3. 時刻，計算結果如圖 7所示，三種格式都出現了不同程

5、度的數值震蕩，在之前的穩定性分析中，已經指出，時，即使是迎風格式和Lax格式也是不穩定的，震蕩量級到了幾百。圖 74.2.4. 時刻，計算結果如圖 8所示，三種格式都出現了不同程度的數值震蕩，在之前的穩定性分析中，已經指出，時，即使是迎風格式和Lax格式也是不穩定的，震蕩量級到幾千萬。圖 85. 體會在數值計算中，由于計算量很大，不可能通過微分方程的推導就獲得解析解，編寫程序已經是不可或缺的了。使用Matlab編寫程序，雖然計算速度會比C、C+、Fortran等語言慢一些，但是卻易于調試。本文中的程序只用了兩次就調試成功。差分格式雖然看起來都差不多，但是穩定性的各自不同。FTCS格式雖然具有二階的精度，但是不收斂，精度再高也沒有用。數值震蕩在一開始或許并不大，但是隨著計算的進行，震蕩的量級就不容小覷了。對于顯示格式，都是條件穩定的，需要足夠小才可以保證穩定條件。本文中的一維方程穩定性條件還不是很苛刻。但是如果問題是二維的，甚至是三維的，需要更小，計算量就會很大。6. 致讀者文章中多處用到Mathtype輸入公式，如果下載，可能會看到亂碼，也無法復制。由于是原創性工作，下載需要財富值，敬請諒解。本文的matlab程序已經上傳到