1、自檢13:圓錐曲線A組高考真題集中訓練也A 橢圓1. （2016全國乙卷）直線I經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到 I的距離為1其短軸長的4則該橢圓的離心率為（）1A 3B 12C. 3D 3解析：不妨設直線1經過橢圓的一個頂點B（0 , b）和一個焦點F（c,0）,則直線l的方程為X+ y = 1，即卩bx+ cy bc= 0由題意知嚴二=1 x 2b，解得C= 即e= 故選B .c bb2+ c2 4a 22答案：B2 22. （2017全國卷川）已知橢圓C:予+治=1（ab0）的左、右頂點分別為 A1, A2，且以線3段A1A2為直徑的圓與直線 bx ay+ 2ab = 0相切，

2、則C的離心率為（C.解析：由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為（0,0），半徑為a.又直線bx ay+ 2ab= 0與圓相切，圓心到直線的距離_2ab一TTF = a，解得a = 3b, b_ 1a= .3,3 .故選A .答案：A2 23. （2017全國卷I ）設A, B是橢圓C: x + y = 1長軸的兩個端點若 C上存在點M滿3 m足/ AMB = 120貝U m的取值范圍是（）A . (0,1 U 9 ,+s )B. (0,3 U 9 ,)C. (0,1 U 4 ,)D . (0 ,3 U 4 , W )解析：方法一設焦點在x軸上，點M（x, y）.過點M作x軸的垂線，交x軸于點N

3、,則 N(x,O).故 tan/ AMB = tan(/ AMN + Z BMN)羽+ x 羽x|y| + yi又 tan/ AMB = tan 120 =書,2 2 2且由+ y = 1 可得 x2= 3 3y ,3 mm解得|y=2m3 m彳3 21my2 rm又 0|yS m, 即卩 0 m,結合 0m3 解得 0mw 1.3 m對于焦點在y軸上的情況，同理亦可得m9.則m的取值范圍是（0,1 U 9 ,+）.故選A . 方法二 當0m3時，焦點在x軸上， 要使C上存在點 M滿足/ AMB = 120 則tan 60 寸3，即孑3寸3,解得0m3時，焦點在y軸上， 要使C上存在點 M滿足

4、/ AMB = 120則atan 60 3，即%尋（3，解得m9.故m的取值范圍為（0,1 U 9，+）.故選A .答案：An*雙曲線21. （2017全國卷n ）若a1，則雙曲線x2 y2= 1的離心率的取值范圍是（）aA . （ .2，+ ）B . （ .2，2）C. （1，2）D. （1,2）解析：由題意得雙曲線的離心率e= a + 1. e2 =a2 + 112- = 1 + -2.aa/ a1 ,- 021a1 11 + 孑2, 1e0，解得m2n3m2，又由該雙曲線兩焦點間的距離為 4,得 m2 + n + 3m2 n= 4, 即卩 m2= 1，所以一1n0,b0)，則|BM|a

5、b=|AB|= 2a，/ MBx = 180 120 = 60 M點的坐標為(2a,3a).2 2T M點在雙曲線上， 42 半2 = i, a = b,a b ，c c= 2a, e= a = ,2故選 D.答案：D5. （2015全國卷I ）已知M（xo, yo）是雙曲線C:2x2 y2= 1上的一點，Fi, F2是C的兩個焦點.若mF i MF 20，則yo的取值范圍是（.3.33，3C.22 2 逅、3 ，3解析：由題意知a=%：2, b = 1, c=訂3,-Fi( .3, 0), F2(.3, 0),- MF1 =(一千3 X0, y), MF2= ( 3 X0, y).T IMF

6、1 MF20, ( . 3 X0)( .3 X0)+ y00, 即 x2 3 + y20.2t點 M(X0, y)在雙曲線上， yo = 1，即卩 x0= 2 + 2y2，. 2+ 2y0 3 + y()0 ,一亍*0）的一條漸近線方程為 y= x,則a =解析：2 2t雙曲線的標準方程為-2 y = 1（a0）,a 93雙曲線的漸近線方程為 y= 3x.a又雙曲線的一條漸近線方程為y= 3x,A a= 5.5答案；527. （2015全國卷I ）已知F是雙曲線 C: X2 = 1的右焦點，P是C的左支上一點,8A(0,6&).當 APF周長最小時，該三角形的面積為 .2解析：由雙曲線方程X2

7、 y = 1可知，a= 1, c= 3,故F(3,0), 3,0).當點P在雙8曲線左支上運動時，由雙曲線定義知|PF| |PF!|= 2,所以|PF|= |PFi|+ 2，從而 APF的周長=|AP|+ |PF|+ |AF|=|AP|+ |PFi|+ 2 +RF|.因為 RF|= . 32+ 6.6 2= 15 為定值，所以當(|AP|+ |PFi|)最小時， APF的周長最小，由圖象可知，此時點P在線段AFi與雙曲線的交點處(如 圖所示).由題意可知直線y= 26x+ 6 竊由彳 2 y2得 y2+ 6強y 96= 0,X = 1匕8解得y= 2 6或y= 8 6(舍去),所以 Sspf

8、= SA AF1F SA PF1F=6X 6 6 2X 6X 2 6= 12 6.答案：12 .68. (2015全國卷n )已知雙曲線過點(4, . 3)，且漸近線方程為y = gx，則該雙曲線的標準方程為.解析：法一：雙曲線的漸近線方程為y=gx,可設雙曲線的方程為x2 4y2= X苗0).雙曲線過點(4,.3) , = 16 4X (.3)2= 4,2雙曲線的標準方程為 y2= 1.4法二：漸近線y= 1x過點(4,2)，而.30, b0).由已知條件可得f 2/a = 4解得* 2b2= 12雙曲線的標準方程為 y2 = 1.42答案：7y2= i.4北點：拋物線2k1. (2016全

9、國甲卷)設F為拋物線 C: y = 4x的焦點，曲線 y = -(k 0)與C交于點P,XPF丄x軸，則k=()A . 1B. 1C. ID. 2解析： y2= 4x,. F(1,0).k又曲線y = -(k0)與C交于點P, PF丄x軸， P(1,2).X將點P(1,2)的坐標代入y = k(k 0)，得k= 2故選D .x答案：D2. (2016全國乙卷)以拋物線C的頂點為圓心的圓交 C于A, B兩點，交C的準線于D,E兩點.已知|AB|= 4.2, |DE|= 2.5，貝U C的焦點到準線的距離為()A . 2B . 4C. 6D. 8解析：設拋物線的方程為 y2= 2px(p0)，圓的

10、方程為x2+ y2= r2.4,2, |DE|= 2 ,5，拋物線的準線方程為x= p,不妨設 A 4, 2 2 , D 2, . 5 .點 A 4, 2.2 , D p,5 在圓 x2+ y2= r2上,絞 + 8 = r2,P21 + 5=r2,162 + 8=25, p= 4（負值舍去）. C的焦點到準線的距離為4.答案：B13. （2015全國卷I ）已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為,E的右焦點與拋物線 C : y2= 8x的焦點重合，A, B是C的準線與E的兩個交點，貝U |AB|=（）A . 3B . 6C. 9D. 12解析：拋物線y2= 8x的焦點為（2,0）,橢圓中 c=

11、 2，又c = -, a= 4, b2= a2 c2= 12,a 22 2 從而橢圓的方程為16+召=1.拋物線 y2= 8x 的準線為 x= 2,二 Xa= Xb= 2, 將Xa= 2代入橢圓方程可得|yA|= 3, 由圖象可知|AB|= 2|yA|= 6故選B.答案：B4. （2014全國卷I ）已知拋物線 C : y2= 8x的焦點為F,準線為I, P是I上一點，Q是 直線PF與C的一個交點，若 FP = 4FQ，則|QF|=（）C. 3解析：過點Q作QQ丄I交I于點Q,因為FP = 4FQ，所以|PQ|：|PF|= 3 : 4,又焦點F到準線I的距離為4,所以|QF |= QQ |=

12、3故選C.答案：C5. （2017全國卷n ）過拋物線 C： y2= 4x的焦點F，且斜率為 3的直線交 C于點M（M 在x軸的上方），1為C的準線，點N在I上，且MN丄I，則M到直線NF的距離為（）A.5B. 2.2C. 2 3D. 3-3解析：拋物線y2= 4x的焦點為F（1,0），準線方程為x= 1由直線方程的點斜式可得直線MF的方程為y= .3(x 1).聯立得方程組解得1x= 3,y=2 .33x= 3,y= 2 ,3.點M在x軸的上方， M(3,2 3)./ MN 丄 I, N( 1,2 .3). I NF|=1 + 1 2+ 0 2V= 4,|MF|= |MN|= . 3 + 1

13、 2+ 2 3 2 ,3 2 = 4. MNF是邊長為4的等邊三角形.點M至煩線NF的距離為2 .3故選C.答案：CB組高考對接限時訓練(十三)(時間：35分鐘滿分70分)一、選擇題：本大題共10個小題，每小題 5分，共50分.1. (2017九江十校二模)已知拋物線C: y2= 2px(p0)的焦點為F , A(4, y)為拋物線C3上一點，滿足|AF|=尹，則p =()A . 1B. 2C. 4D. 8解析：由題意可知：拋物線 C: /= 2px(p0),焦點在x軸上，焦點坐標 F p 0 ,由 拋物線的定義可知：AF|= 4+ 2，|AF|= |p,A乎=4+ p,則p= 4,故選C.答

14、案：C2. (2017韶關一模)已知過拋物線 y2= 4x的焦點F的直線l交拋物線于 A, B兩點，且點A在第一象限，若|AF| = 3,則直線I的斜率為()A. 1B.2C.3D. 2.2解析：由題意可知焦點 F(1,0)，設 A(Xa, yA), B(xb , yB)，由 |AF|= 3 = xa+ 1，得 xa= 2, 又點A在第一象限，故 A(2,2 2),故直線I的斜率為2 2，選D .答案：D2233. 設Fi, F2是橢圓E： X2 + y2= 1(a b0)的左、右焦點，P為直線x = 上一點，ab2F2PF1是底角為30勺等腰三角形，則 E的離心率為()C.解析：由題意可得|

15、PF2|= IF1F2I,所以2 3a_ c = 2c,所以3a = 4c,所以e= 4.答案：C224. (2017東北四校聯考)已知點F1, F2為雙曲線C：予生=1(a 0, b 0)的左、右焦點，點P在雙曲線C的右支上，且滿足|PF2= |F 1F2I，/ F1F2P = 120 ,則雙曲線的離心率為.3+ 12,5 + 12C.3D. , 52 解析：如圖，在厶PF1F2中，|PF2|=|F1F2|= 2c,又/ F1F2P = 120 由余弦定理可得|PF1|=|F1F2|2+ |PF2|2 2|F1F2| |PF2| cos 120 = 12c2，所以呼|= 2.3c.由雙曲線的

16、定義可得2a= |PF1| |PF2|= 2 . 3c 2c = 2( . 3 1)c.答案：A2 25. 從橢圓字+器=1(ab0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1, A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且 AB/ OP(O是坐標原點)，則該橢圓的 離心率是()解析：由題意可設P( c, y)(c為半焦距),kOP= y, kAB = ，由于OP / AB,.一ca譽-a，y0=bc，把 p- 2c,罟代入橢圓方程得一-+ 匕2 = 1，即，二 e= a 記答案：C6.(2017銅川二模)已知拋物線y2= 2x的弦AB的中點的橫坐標為|，則|AB|的最大值為C.|

17、AF|+ |BF| = xi解析：設A(xi, yi), B(x2, y2)，貝V xi + X2= 3，利用拋物線的定義可知，+ X2 + 1 = 4，由圖可知|AF|+ |BF| |AB|? |AB|W 4,當且僅當直線 AB過焦點F時，|AB|取得最大值4.B. (1, .6)D. ( .3, 3.3)解析：由題意可知，雙曲線的通徑為，因為過焦點 F1且垂直于X軸的弦為AB,若 abf/ af2b vf,所以 2C=ta匯 AF2Bv 普e=c1,a所以訂VY芬，由解得e答案：D227. (2017濮陽一模)雙曲線予一器=1(a0, b0)的左、右焦點分別為 F1, F?,過F1作Xn軸

18、的垂線交雙曲線于 A, B兩點，若/ AF2Bv-,則雙曲線離心率的取值范圍是()3A. (1,.3)C. (1,2 .3) (1 ,3).故選 A .答案：A& (2017汕頭二模)過雙曲線X2-y2 = 1(a0, b0)的左焦點F作直線I與雙曲線交于 A, a bB兩點，使得|AB|= 4b,若這樣的直線有且僅有兩條，則離心率e的取值范圍是（）B ( 5,+ )2 2解析：由題意過雙曲線a2-bh侶0，b0）的左焦點F，作直線l與雙曲線交于 A, B，-2b盲 v |AB|= 4b兩點，當A、B位于雙曲線左支時，需滿足2a 4b可得1v ev#e 12a v 4b當A、B位于雙曲線兩支時

19、，需滿足4b ，可得e .5,所以，滿足條件的ee 1的取值范圍是 1,于 U （.5 ，+ g）.故選 D 答案：D2 29. （2017清遠一模）已知橢圓 C:拿+器=1（ab0）的離心率為 q,四個頂點構成的四 邊形的面積為4,過原點的直線1（斜率不為零）與橢圓C交于A, B兩點，Fj, F2為橢圓的左、 右焦點，則四邊形 AF1BF2的周長為（）A . 4B . 4,3C. 8D. 8_3丫2 y2c 亦解析：由題意可知：橢圓C:%+右=1（ab0）焦點在x軸上，由橢圓的離心率e= C =弋, a b a 21S=x 2ax 2b= 4,即 22X + y2= 1，由橢圓的定即 4c2

20、 = 3a2,由四個頂點構成的四邊形的面積為4,根據菱形的面積公式可知 ab= 2,由a2= c2 + b2,解得：a= 2, b = 1，則橢圓的標準方程為:義可知：四邊形 AF1BF2的周長4a= 8，故選C.答案：C2 210. （2017河南六市二模）已知F2、Fl是雙曲線拿詁=l（a0, b0）的上、下焦點，點F2關于漸近線的對稱點恰好落在以Fi為圓心，lOFil為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ）A. 3B.3C. 2D. ,2a解析：由題意，Fi（0, c）, F2（0, c）, 一條漸近線方程為y= x，則F2到漸近線的距離為寸虧予=b.設F2關于漸近線的對稱點為M , F2

21、M與漸近線交于 A,. |MF2|= 2b, A為F2M的中點，又 O是FiF2的中點，二OA / FiM ,二/ F1MF2為直角，二 MF1F2為直角三 角形，由勾股定理得 4c2= c2 + 4b2,. 3c2= 4（c2 a2） c2= 4a2,. c= 2a，二 e= 2.故選C.答案：C二、填空題：本大題共4小題，每小題5分共20分.2 211. （2016北京高考）已知雙曲線 y2= 1（a 0, b 0）的一條漸近線為 2x+ y= 0, 一個a b焦點為（Q5, 0），貝U a =, b=.2 2解析：因為雙曲線 字杏=1（a0, b0）的一條漸近線為2x+ y= 0，即y= 2x,所以 b= 2.a又雙曲