1、可編輯任意四邊形、梯形與相似模型模型四 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；。所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半。相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具。在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形。【例 1】 如圖，已知

2、在平行四邊形中，那么的長(zhǎng)度是多少？【解析】 圖中有一個(gè)沙漏，也有金字塔，但我們用沙漏就能解決問(wèn)題，因?yàn)槠叫杏冢裕浴纠?2】 如圖，測(cè)量小玻璃管口徑的量具，的長(zhǎng)為厘米，被分為等份。如果小玻璃管口正好對(duì)著量具上等份處(平行)，那么小玻璃管口徑是多大？ 【解析】 有一個(gè)金字塔模型，所以，所以厘米。【例 3】 如圖，平行，若，那么_。【解析】 根據(jù)金字塔模型，設(shè)份，則份，份，所以。【例 4】 如圖， 中，互相平行，則 。【解析】 設(shè)份，根據(jù)面積比等于相似比的平方，所以，因此份，份，進(jìn)而有份，份，所以【鞏固】如圖，平行，且，求的長(zhǎng)。【解析】 由金字塔模型得，所以【鞏固】如圖， 中，互相平行，則

3、。【解析】 設(shè)份，因此份，進(jìn)而有份，同理有份，份，份所以有【總結(jié)】繼續(xù)拓展，我們得到一個(gè)規(guī)律：平行線等分線段后，所分出來(lái)的圖形的面積成等差數(shù)列。【例 5】 已知中，平行，若，且比大，求。【解析】 根據(jù)金字塔模型，設(shè)份，則份，份，比大份，恰好是，所以【例 6】 如圖：平行， ，求的長(zhǎng)度【解析】 在沙漏模型中，因?yàn)椋裕诮鹱炙Ｐ椭杏校海驗(yàn)椋浴眷柟獭咳鐖D，已知平行，那么_。【解析】 由沙漏模型得，再由金字塔模型得【例 7】 如圖，中，與平行，的面積是1平方厘米。那么的面積是 平方厘米。【解析】 因?yàn)椋c平行，根據(jù)相似模型可知，平方厘米，則平方厘米，又因?yàn)椋?平方厘米)【例 8】 在圖

4、中的正方形中，分別是所在邊的中點(diǎn)，的面積是面積的幾倍？ 【解析】 連接，易知，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知，且，所以的面積等于的面積；由可得，所以，即的面積是面積的3倍。【例 9】 如圖，線段與垂直，已知，那么圖中陰影部分面積是多少？ 【解析】 解法一：這個(gè)圖是個(gè)對(duì)稱圖形，且各邊長(zhǎng)度已經(jīng)給出，不妨連接這個(gè)圖形的對(duì)稱軸看看作輔助線，則圖形關(guān)于對(duì)稱，有，且 設(shè)的面積為2份，則的面積為3份，直角三角形的面積為8份因?yàn)椋幱安糠值拿娣e為4份，所以陰影部分的面積為解法二：連接、由于，所以，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以，即；又，所以【例 10】 (年第二屆兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精

5、英邀請(qǐng)賽)如圖，四邊形和都是平行四邊形，四邊形的面積是，則四邊形的面積_【解析】 因?yàn)闉槠叫兴倪呅危裕詾槠叫兴倪呅危敲矗杂郑裕鶕?jù)沙漏模型，所以【例 11】 已知三角形的面積為，是的中點(diǎn)，且，交于，求陰影部分的面積 【解析】 已知，且，利用相似三角形性質(zhì)可知，所以，且又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是三角形的中位線，那么，所以，可得，所以，那么【例 12】 已知正方形，過(guò)的直線分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，且，求正方形的邊長(zhǎng)【解析】 方法一：本題有兩個(gè)金字塔模型，根據(jù)這兩個(gè)模型有，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，所以有，即，解得，所以正方形的邊長(zhǎng)為方法二：或根據(jù)一個(gè)金字塔列方程即，解得【例 13】 如圖，三

6、角形是一塊銳角三角形余料，邊毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在、上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？ 【解析】 觀察圖中有金字塔模型個(gè)，用與已知邊有關(guān)系的兩個(gè)金字塔模型，所以有，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為毫米，即，解得，即正方形的邊長(zhǎng)為毫米【鞏固】如圖，在中，有長(zhǎng)方形，、在上，、分別在、上，是 邊的高，交于，厘米，厘米，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬【解析】 觀察圖中有金字塔模型個(gè)，用與已知邊有關(guān)系的兩個(gè)金字塔模型，所以，所以有，設(shè)，則，所以有，解得，因此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是厘米，厘米【例 14】 圖中是邊長(zhǎng)為的正方形，從到正方形頂點(diǎn)、連成一個(gè)三角形，已知這個(gè)三角形在上截得的長(zhǎng)度

7、為，那么三角形的面積是多少？ 【解析】 根據(jù)題中條件，可以直接判斷出與平行，從而三角形與三角形相似，這樣，就可以采用相似三角形性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題做垂直于，交于因?yàn)椋匀切闻c三角形相似，且相似比為，所以，又因?yàn)椋裕匀切蔚拿娣e為【例 15】 如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形兩邊長(zhǎng)分別延長(zhǎng)和，割出圖中的陰影部分，求陰影部分的面積是多少？【解析】 根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例有：；，則， 【例 16】 (2008年101中學(xué)考題)圖中的大小正方形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)(厘米)，它們的面積之和等于52平方厘米，則陰影部分的面積是 【解析】 設(shè)大、小正方形的邊長(zhǎng)分別為厘米、厘米()，則，所以若，則，不合題意，

8、所以只能為6或7檢驗(yàn)可知只有、滿足題意，所以大、小正方形的邊長(zhǎng)分別為6厘米和4厘米根據(jù)相似三角形性質(zhì)，而，得(厘米)，所以陰影部分的面積為：(平方厘米)【例 17】 如圖，是矩形一條對(duì)角線的中點(diǎn)，圖中已經(jīng)標(biāo)出兩個(gè)三角形的面積為和，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？【解析】 連接,面積為的三角形占了矩形面積的，所以,所以,所以,由三角形相似可得陰影部分面積為【例 18】 已知長(zhǎng)方形的面積為厘米，是的中點(diǎn)，、是邊上的三等分點(diǎn)，求陰影的面積是多少厘米？ 【解析】 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，、是邊上的三等分點(diǎn)，由此可以說(shuō)明如果把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)分成份的話，那么份、份，大家能在圖形中找到沙漏和：有，所以，相當(dāng)于把

9、分成()份，同理也可以在圖中在次找到沙漏：和也是沙漏，由此可以推出：, 相當(dāng)于把分成()份，那么我們就可以把分成份(和的最小公倍數(shù))其中占份，占份，占份，連接則可知的面積為，在為底的三角形中占份，則面積為：(平方厘米).【例 19】 是平行四邊形，面積為72平方厘米，、分別為、的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為 平方厘米 【解析】 方法一：注意引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的中位線定理以及平行線的相關(guān)性質(zhì)設(shè)、分別為、的中點(diǎn)，連接、可得，對(duì)角線被、平均分成四段，又，所以，所以 (平方厘米)，(平方厘米)同理可得平方厘米，平方厘米所以 (平方厘米)，于是，陰影部分的面積為(平方厘米)方法二：尋找圖中的沙漏，因此為

10、的三等分點(diǎn)，(平方厘米)，(平方厘米)，同理(平方厘米)，所以(平方厘米)【例 20】 如圖，三角形的面積是8平方厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6厘米，寬是4厘米，是的中點(diǎn)，則三角形的面積是 平方厘米 【解析】 本題在矩形內(nèi)連接三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，而且其中一點(diǎn)是矩形某一條邊的中點(diǎn)，一般需要通過(guò)這一點(diǎn)做垂線取的中點(diǎn)，連接，設(shè)交于則三角形被分成兩個(gè)三角形，而且這兩個(gè)三角形有公共的底邊，可知三角形的面積等于(平方厘米)，所以(厘米)，那么(厘米)因?yàn)槭侨切蔚闹形痪€，所以(厘米)，所以三角形的面積為 (平方厘米)【例 21】 如圖，長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，與、分別交于、，垂直于，交于，已知，求【解析】 由于，利用相

11、似三角形性質(zhì)可以得到，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，那么有，所以，利用相似三角形性質(zhì)可以得到，而，所以【例 22】 右圖中正方形的面積為1， 、分別為、的中點(diǎn)，求陰影部分的面積 【解析】 題中條件給出的都是比例關(guān)系，由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過(guò)比例求解，而圖中出現(xiàn)最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性質(zhì)陰影部分為三角形，已知底邊為正方形邊長(zhǎng)的一半，只要求出高，便可求出面積 可以作垂直于，垂直于根據(jù)相似三角形性質(zhì)，又因?yàn)椋裕矗浴纠?23】 梯形的面積為12，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于，四邊形 的面積是 【解析】 延長(zhǎng)、相交于由于為的中點(diǎn)，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)，

12、而，所以，又，所以【例 24】 如圖，三角形的面積為60平方厘米，、分別為各邊的中點(diǎn)，那么陰影部分的面積是 平方厘米 【解析】 陰影部分是一個(gè)不規(guī)則的四邊形，不方便直接求面積，可以將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積之差而從圖中來(lái)看，既可以轉(zhuǎn)化為與的面積之差，又可以轉(zhuǎn)化為與的面積之差(法1)如圖，連接由于、分別為各邊的中點(diǎn)，那么為平行四邊形，且面積為三角形面積的一半，即30平方厘米；那么的面積為平行四邊形面積的一半，為15平方厘米根據(jù)幾何五大模型中的相似模型，由于為三角形的中位線，長(zhǎng)度為的一半，則，所以；，所以那么的面積占面積的，所以陰影部分面積為(平方厘米)(法2)如圖，連接根據(jù)燕尾定理，所以平方厘米

13、，而平方厘米，所以平方厘米，那么陰影部分面積為(平方厘米)【總結(jié)】求三角形的面積，一般有三種方法：利用面積公式：底高；利用整體減去部分；利用比例和模型【例 25】 如圖,是直角梯形，那么梯形的面積是多少? 【解析】 延長(zhǎng)交于點(diǎn)，分別計(jì)算的面積，再求和 ； 又 , 【例 26】 邊長(zhǎng)為厘米和厘米的兩個(gè)正方形并放在一起，那么圖中陰影三角形的面積是多少平方厘米？【解析】 給圖形標(biāo)注字母，按順時(shí)針?lè)较驑?biāo)注，大正方形為，小正方形為，分別交于兩點(diǎn)，【例 27】 如右圖，長(zhǎng)方形中，求的長(zhǎng)【解析】 因?yàn)椋鶕?jù)相似三角形性質(zhì)知， 又因?yàn)椋?所以，即，所以【例 28】 (第屆迎春杯試題)如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為，

14、是邊的中點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)，且，與相交于點(diǎn)，求【解析】 方法一：連接，延長(zhǎng)，兩條線交于點(diǎn)，構(gòu)造出兩個(gè)沙漏，所以有，因此，根據(jù)題意有，再根據(jù)另一個(gè)沙漏有，所以方法二：連接，分別求，根據(jù)蝴蝶定理，所以【例 29】 如圖所示，已知平行四邊形的面積是1，、是、的中點(diǎn)， 交于，求的面積 【解析】 解法一：由題意可得，、是、的中點(diǎn)，得，而，所以，并得、是的三等分點(diǎn)，所以，所以，所以，；又因?yàn)椋?解法二：延長(zhǎng)交于，如右圖， 可得， 從而可以確定的點(diǎn)的位置， ， ，(鳥(niǎo)頭定理)， 可得【例 30】 (清華附中入學(xué)試題)正方形的面積是120平方厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形的面積是 平方厘米 【解析】 欲求四邊形的面積須求出和的面積由題意可得到：，所以可得：將、延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可得：，而，得，而，所以 本題也可以用蝴蝶定理來(lái)做，連接，確定的位置(也就是)，同樣也能解出【例 31】 如圖，已知,點(diǎn)分別在上，且，則是多少？ 【解析】 的面積已知，若知道的面積占的幾分之幾就可以計(jì)算出的面積連接 與平行，【例 32】 如圖，長(zhǎng)方形中，、分別為、邊上的點(diǎn)，求 【解析】 如圖，過(guò)作的平行線交于由于是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)由于，所以，根據(jù)相似性，于是，所以【例 33】 如下圖，、均為各邊的三等分點(diǎn)，線段和把三角形分成四部分，如果四邊形的面積是24平方厘米，求三角形的面積 【解析】 設(shè)三角形以