1、第十一節 變化率與導數、導數的計算,主干知識梳理 一、導數的概念 1函數yf(x)在xx0處的導數 (1)定義： 稱函數yf(x)在xx0處的瞬時變化率,(2)幾何意義： 函數f(x)在點x0處的導數f(x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點 處的 (瞬時速度就是位移函數s(t)對時間t的導數)相應地，切線方程為 ,(x0，f(x0),切線的斜率,yf(x0)f(x0)(xx0),二、基本初等函數的導數公式,0,nxn1,cos x,sin x,axln a,4復合函數的導數 復合函數yf(g(x)的導數和函數yf(u)，ug(x)的導數間的關系為yx ，即y對x的導數等于 的 與 的導數的乘

2、積,yuux,y對u,導數,u對x,4函數yxcos xsin x的導數為_ 解析y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x) cos x cos xxsin xcos x xsin x. 答案xsin x,5(2014湖北黃岡一模)已知函數f(x)x(x1)(x2)(x3) (x4)(x5)，則f(0)_ 解析f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)x(x1) (x2)(x3)(x4)(x5)， f(0)(1)(2)(3)(4)(5)120. 答案120,關鍵要點點撥 1函數求導的原則 對于函數求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用

3、，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤,2曲線yf(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，y0)的切線”的區別與聯系 (1)曲線yf(x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，切線斜率為kf(x0)的切線，是唯一的一條切線 (2)曲線yf(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經過P點點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條,利用導數的定義求函數的導數,導數的運算,規律方法 求導時應注意： (1)求導之前利用代數或三角恒等變換對函數進行化簡可減少運算量 (2)對于商式的函數若在求導之前變形，則

4、可以避免使用商的導數法則，減少失誤 (3)復合函數求導的關鍵是分清函數的復合形式，其導數為兩層導數的積，必要時可換元處理,典題導入 (2014濟南模擬)已知函數f(x)mx32nx212x的減區間是(2，2) (1)試求m、n的值； (2)過點A(1，t)是否存在與曲線yf(x)相切的3條切線，若存在，求實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由,導數的幾何意義,互動探究 在本例條件下，求過點A(1，11)且與曲線yf(x)相切的切線方程 解析由例3知m1，n0. f(x)x312x. f(x)3x212，f(1)1312111， 當A為切點時，kf(1)9. 切線方程為9xy20. 當A不為切點

5、時，設切點P(x0，f(x0)， kf(x0)3x12.,跟蹤訓練 3(1)(2012新課標全國卷)曲線yx(3ln x1)在點(1，1)處的切線方程為_ 解析y3ln x13，所以曲線在點(1，1)處的切線斜率為4，所以切線方程為y14(x1)，即y4x3. 答案y4x3,(2014上海徐匯摸底)已知函數f(x)x33x，過點P(2，2)作曲線yf(x)的切線，則切線的方程為_ 【錯解】由f(x)x33x知f(x)3x23， kf(2)3439. 切線方程為y29(x2)， y9x16.,【創新探究】忽視判斷點是否為切點而致誤,【錯因】上述解法中易認為P(2，2)是曲線切線的切點，從而導致解答中缺少一種解的可能性 【解析】當P(2，2)為切點時， 切線方程為y9x16； 當P(2，2)不是切點時， 設切點為(a，b)，則ba33a，由于y3x23， 所以切線的斜率k3