第一講正數和負數、有理數分類一、知識要點正數和負數的概念為了滿足實際需要，引入了正數和負數的概念，正數和負數表示了一些具有相反意義的量。如果把收入100元表示為100元，那么支出100元再用100元來表示就無法分清是收入還是支出了，所以我們就用100元來表示支出100元。我們把其中一種意義的量規定為正，則另一種與它相反意義的量規定為負。正數就是我們在小學學習的除零以外的所有數，負數就是在正數前面加上“”號的數。知識延伸1根據需要正數前面有時也加上“”正號。例如3、15，2負數前面的“”負號不能省略，否則就變成了正數。例如8不能寫成8；3不能誤認為帶“”號的數就是正數，帶“”號的數就是負數。例如3就不是正數，5也不是負數以后會學到；40既不是正數，也不是負數，正數比0大，負數比0小，0的意義已不僅是表示“沒有”，它是正數和負數的分界，同時也表示“有”。例如海拔0表示海平面的平均高度。2、具有相反意義的量把0以外的數分為正數和負數，起源于表示兩種相反意義的量，后來正數和負數在許多方面被廣泛地應用。比如零下80C可以表示為80C，零上80C則可以表示為80C；收入200元可以表示為200元，支出200元則可以表示為200元等。若正數表示某種意義的量，則負數就表示與其相反意義的量。常見的表示相反意義的量有零上和零下、前進和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和虧損、上升和下降等。知識延伸1用正、負數表示實際問題中具有相反意義的量時，應注意兩點它們的意義相反，如向東與向西；它們都是同類量。2具有相反意義的量的正負性是相對的，且是可以互換的。例如規定虧損3萬元記為3萬元，則5萬元就表示為盈利5萬元。3、有理數的分類12知識延伸1正整數和0稱為非負整數，負整數和0稱為非正整數；自然數指正整數和0，也就是非負整數；2當兩個數相除時，若能夠整除，則商為整數；若不能夠整除，便出現了分數，所以第一種分類是按除法的性質分的。當兩個數相減時，若夠減，則差為正數或0；若不夠減，便出現了負數。如264，所以第二種分類是按減法的性質來分的。規律方法小結有理數分類時必須按同一標準分類，不能把兩種分類方法混在一起，否則容易出錯。二、典型例題例1、下列各數哪些是正數哪些是負數503145,4，宏碩教育內部資料2例2、用正數和負數表示下列具有相反意義的量。1向東走200米和向西走300米；2進口3000箱蘋果和出口2000箱蘋果；3盈利10000元和虧損30000元；例3、小明的媽媽前年從單位下崗后，投資經營小百貨，由于不懂經商之道，到2007年底結帳時，虧損13570元。從2008年初，她調整了適銷商品，改善經營策略，到2008年底結帳時，她驚奇的發現，這一年不但補上了2007年虧損的錢，而且還凈賺24670元。請你幫助小明的媽媽把2007年和2008年的收入情況用正數和負數表示出來。例4、向東走6米，實際上就是向_走_米。練一練在一條東西方向的道路上，小亮先向東走了8米，記作“8米”，又向西走了10米，此時他的位置可記作_米。例5、對于“0”的說法正確的有_0是正數和負數的分界；00C是一個確定的溫度；0為正數；0是自然數。例6、下列說法正確的是A、正整數、正分數、0統稱為有理數B、正整數、負整數統稱為整數C、正有理數、0、負有理數統稱為有理數D、0不是整數練一練下列語句不帶“”號的數都是正數；如果A是正數，那么A一定是負數；不帶“”號的數都是負數；不存在既不是正數，也不是負數的數。其中正確的有_例7、把填入相應的集合的圈內。5,4310,27,3142,056,31正數集合正整數集合非負數集合負分數集合練一練把下面各數填在相應集合的大括號里宏碩教育內部資料315，3，1，15，0，02，314135正數集合；負數集合；整數集合；正分數集合；負分數集合；分數集合例8、若一架飛機在高于海平面100米的地方飛行記作100米，那么，一艘潛水艇在海平面以下50米處航行，應記作_。練一練如果水庫的水位高于標準水位3M時，記作3M，那么低于標準水位2M時，應記作_M。例9、小王在超市買了一袋洗衣粉，包裝上標有“凈重8005G”的字樣，那么這袋洗衣粉的重量應不多于_G。例10、觀察下面一列數，探求其規律,765,43,211寫出第7、8、9項的三個數2第2012個數是什么3如果這一列數無限排列下去，與哪兩個數越來越接近三、作業1、下列說法正確的是A、3，5，05，0都是負數B、0既是正數又是負數C、0不是非負數D、6既是整數又是正數2、若規定上升為正，則水位上升05M的意義是A、水位上升了05MB、水位下降了05MC、水位沒有變化D、水位下降了5M3、一個物體沿著東西兩個方向運動，且規定向東記為正，向西記為負1向東運動2米，記作_，向西運動4米，記作_；23米表示向_運動_米；6米表示向_運動_米；3物體原地不動時，記作_米。4、一條鯊魚所在的高度是200米，鯨在鯊魚上方50米處，則鯨所在的高度是_米；若此處海底的高度為300米，那么鯊魚和鯨所在的高度各比海底高_米、_米。5、在商品的買賣過程中，利潤的計算公式是利潤銷售收入成本。王紅利用這個公式算出媽媽經營的小店某一天的利潤為20元，則20元的利潤表示的意義是_。宏碩教育內部資料46、如果節約16噸水記作16噸,那么浪費6噸水記作噸7、2005年10月9日上午10點,國務院新聞辦公室舉行新聞發布會,國家測繪局局長陳邦柱公布了珠穆朗瑪峰新高程為884443米,它表示珠穆朗瑪峰,在中國地形圖上,吐魯番盆地處標有一155米,它表示海平面的平均高度一般用數表示8、寫出1和1之間的任意一個負數1除外。9、某產品成本提高30，實際表示。10、A點海拔30米，B點比A點高10米，那么B點海拔。11、某食品包裝上標有“凈含量385克5克”，則這包食品的合格凈含量范圍是_克390克。12、小明把50C說成“零下負5攝氏度”，這種說法對嗎如果不對，應該怎樣說你認為零下負5攝氏度實際是多少13、某項科學研究以45分鐘為1個時間單位，并記每天上午10時為0，10時以前記為負，10時以后記為正，例如915記為1，1045記為1，以此類推，上午745應記為A3B3C215D74514、觀察下面的一列數，探求規律請接著寫出后面的3個數，說出第2006個數是多少11，1，1，11，1，,第2006個數是。21，2，3，4，5，6，,第2006個數是。31，,第2006個數是。41564第3小題中的數，如果無限繼續寫下去，那么會越來越接近某個數，這個數是。15、有一次同學聚會，他們的座位號是小王的座位號與下列一組數中的負數的個數相等，小李的座位號與下列一組數中的正整數的個數相等6，,0,200,522,001,67，,10,300,24317314731試問小王、小李坐的各是第幾號位置2若這次同學聚會的人數是小王的座位號的2倍與小李的座位號的4倍的和，請問這次聚會到了多少名同學16、課桌的高度比標準高度高2CM記作2CM，那么比標準高度低3CM記作什么現有5張宏碩教育內部資料5課桌，小明測量了它們的高度，記錄如下LCM，0CM，LCM，3CM，15CM，若規定課桌的高度與標準高度相差最多不能超過2CM，問上述5張課桌中有幾張合格17、黑板上有10個有理數，小明說“其中有6個正數”，小紅說“其中有6個整數”，小華說“其中正分數的個數與負分數的個數相等”，小林說“負數的個數不超過3個”請你根據四位同學的敘述判斷這10個有理數中共有幾個負整數宏碩教育內部資料6第二講數軸相反數一、知識要點1、數軸的概念規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。數軸的畫法1畫一條水平的直線；2在直線上適當的選取一點為原點；3通常規定直線上從原點向右為正方向，用箭頭表示出來箭頭標在畫出部分的最右端；4根據需要選取適當的長度為單位長度，從原點向右、向左每隔一個單位長度取一點，依次標為1，2，3，；1，2，3，知識延伸畫數軸要注意以下三點1三要素缺一不可；2數軸是一條直線，不要畫成線段或射線；3單位長度要一致。規律方法小結1數軸是一條直線，可以向兩方無限延伸，畫出的部分兩端不要描點，以免畫成射線或線段；2原點、正方向、單位長度是數軸的三要素，一般取向右為正方向，箭頭標在畫出部分的最右端。2、數軸上的點與有理數之間的關系所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，但數軸上的點并不都表示有理數。如數軸上表示的點表示的數就不是有理數。正數可以用原點右邊的點表示，反過來原點右邊的點都表示正數；負數可以用原點左邊的點表示，反過來原點左邊的點都表示負數。0用原點表示，反過來原點表示0。3、相反數只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。0的相反數是0。相反數的幾何意義在數軸上位于原點兩旁并且到原點的距離相等的兩個點所表示的兩個數互為相反數。A與A互為相反數，A的相反數是A，A的相反數是A。知識延伸1相反數總是成對出現的，只能兩個數互為相反數，對一個數而言是談不上互為相反數的。例如說2是相反數是錯誤的。2“只有符號不同的兩個數”中的“只有”指的是除符號不同外，其他完全相同，并不是符號不同的兩個數就是互為相反數。例如3與2符號不同，但它們不是互為相反數。規律方法小結1當A0時，A0。以上說明A不一定是正數，A也不一定是負數；2多重符號的化簡方法一個數前面是“”號，可以把“”號去掉；一個正數前面有偶數個“”號，可以把“”號都去掉；一個正數前面有奇數個“”號，則化簡符號后只有一個“”號。二、典型例題例1、下列各圖中，符合數軸定義的是AB1011CD0112宏碩教育內部資料7101練一練下列語句數軸上的點只能表示整數；數軸是一條線段；數軸上的一個點只能表示一個數；數軸上找不到既不表示正數，又不表示負數的點；數軸上的點所表示的數都是有理數。其中正確的有_例2、在數軸上畫出表示下列各數的點5031453,4，例3、分別寫出下列各數的相反數3160542，例4、下列說法正確的是A3是相反數；B與是相反數；2174C的相反數是；D05的相反數是。53521練一練若一個數的相反數是最大的負整數，那么這個數是。的相反數是；的相反數是；是的相反數。M1M1M例5、化簡下列各數11233854526732練一練化簡下列各數的符號1。514,13,12,5例6、A，B是有理數，它們在數軸上的對應點的位置如下圖所示把A，A，B，B按照從小到大的順序排列A、BAABB、ABABC、BAABD、BBAA練一練數軸上點A和B分別表示有理數A和B，若A和B互為相反數，A、B兩點間的距離是4，且點A在B的左邊，求A和B兩個數。例7、下列說法正確的是宏碩教育內部資料8A、一個數的相反數一定是正數；B、一個數的相反數一定是負數；C、一個數的相反數可能是正數、負數或0；D數軸上原點兩旁的點表示的數互為相反數例8、數軸上表示互為相反數的兩點之間的距離是8，這兩個數是。A、0和8B、0和8C、4和4D、8和8練一練畫一條數軸，并在數軸上表示下列數以及它們的相反數5,321,0例9、馬小虎在做作業時，不慎將兩滴墨水滴在數軸上，如下圖根據圖中標出的數值可判斷墨跡蓋住的整數共有_個例10、如圖，點A表示4，任何相鄰兩點之間的距離都是1個單位長度1在數軸上標出原點0，并指出B點所表示的數；2有一點C不是B點到原點的距離等于B點到原點的距離，那么點C表示什么數三、作業1、任何一個有理數都可以用_上的點表示；2、化簡下列各數125323483、檢修組乘汽車,沿公路檢修線路,約定向東為正,向西為負,某天自A地出發,到收工時,到五個檢修?？奎c，點行走記錄為單位千米6、8、4、4、2、回答下列問題1以點為原點，在數軸上畫出五次的檢修?？奎c，點2收工時在A地的哪邊距A地多少千米3若每千米耗油01升,問從A地出發到收工時,共耗油多少升4、如圖所示的圖形為四位同學畫的數軸，其中正確的是宏碩教育內部資料95、小強的媽媽和小強上街買文具和書籍，兩個人走散了，已知文具店、書店、服裝店和玩具店都依次坐落在某東西走向的商業街上，文具店在書店西20M處，服裝店位于書店東30M處，玩具店位于服裝店東100M處。媽媽說“小強，你在哪里”小強說“我在玩具店，你呢”媽媽回答說“我在文具店給你買文具呢”根據他們的對話，請你利用數軸表示小強和他媽媽的位置。6、若A5與A1互為相反數，則A是多少呢7、如圖所示，數軸上A，B兩點分別表示數3和2，點C是A，B兩點之間的中點，求點C所表示的數。8、數軸上A對應的數是一1，一只小蟲從A點出發，沿著數軸以每秒鐘4個單位長度的速度行至B點，立即沿原路返回A點，共用9秒鐘；1小蟲的爬行的路程是多少個單位長度2B點對應的數是多少9、如果是負數，那么0；如果是負數，那么BABABABA0。10、一個數在數軸上所對應的點向右移動5個單位長度后，得到它的相反數的對應點，你能求出這個數嗎11、已知數軸上點A、B分別表示數A和它的相反數；點A在B的左邊，點A與原點的距離是3個單位長度，試求若將點A沿數軸向右移5個單位長度后得到點C，則點C表示的數的相反數是多少宏碩教育內部資料1012、如圖，在數軸上有三個點A、B、C1將點B向左移動3個單位，三個點所表示的數哪個最小是多少2將點A向右移動4個單位，三個點所表示的數哪個最小是多少3將點C向左移動6個單位，這時點B表示的數比點C表示的數大多少4怎樣移動A、B、C中的兩個點，才使三個點表示的數相同有幾種移動方法宏碩教育內部資料11第三講絕對值及有理數大小比較一、知識要點1、絕對值絕對值的幾何意義一般的，數軸上表示數A的點與原點的距離叫做數A的絕對值，記作|A|。知識延伸絕對值等于它本身的數是正數和0，易漏掉0；絕對值等于它的相反數的數是負數和0，易漏掉0。規律方法小結10既可以看作是0本身，也可以看作是0的相反數。數A的絕對值0A2無論是絕對值的幾何意義，還是絕對值的代數意義，都揭示了絕對值的一個重要性質非負性，既|A|0。2、有理數的大小比較比較有理數的大小的方法有兩種1利用數軸直觀比較有理數的大小；數軸上，右邊的數總比左邊的數大。2利用絕對值的知識比較有理數的大??；正數大于0，負數小于0，正數大于負數；兩個負數，絕對值大的反而小。知識延伸在數軸上比較有理數的大小比較直觀，一目了然，但比較麻煩，而利用絕對值比較有理數的大小比較方便，一般都采用。規律方法小結1有理數在小學學過的數的基礎上多了負數；2數軸所有的有理數在數軸上都能找到表示它的點；3相反數只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。互為相反數的兩個數在數軸上位于原點兩側，并且到原點的距離相等。0的相反數還是0；4絕對值在數軸上看就是表示一個數的點到原點的距離。對于一個具體的數，則拋開它的符號，只看后面的“數”即絕對值。0的絕對值是0；5歸類法把事物按某些特性進行歸類，進行歸類時要注意兩點不重復，即同一事物不能歸到兩個類別中。如把有理數分為整數和正數兩類，其中正整數就歸到了兩個類別中，