橢圓及其標準方程第八章教材分析教學目的：1.使學生理解軌跡與軌跡方程的區別與聯系2.使學生掌握轉移法（也稱代換法，中間變量法，相關點法）求動點軌跡方程的方法與橢圓有關問題的解決教學重點：運用中間變量法求動點的軌跡教學難點：運用中間變量法求動點的軌跡授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程：一、復習引入：1 橢圓定義：平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 注意:橢圓定義中容易遺漏的兩處地方：（1）兩個定點-兩點間距離確定（2）繩長-軌跡上任意點到兩定點距離和確定在同樣的繩長下，兩定點間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段）兩定點間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（圓）橢圓的形狀與兩定點間距離、繩長有關(為下面離心率概念作鋪墊)2.橢圓標準方程：（1）它所表示的橢圓的焦點在軸上，焦點是，中心在坐標原點的橢圓方程 其中（2）它所表示的橢圓的焦點在軸上，焦點是,中心在坐標原點的橢圓方程 其中在與這兩個標準方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦點在哪個軸上；分清兩種形式的標準方程，可與直線截距式類比，如中，由于，所以在軸上的“截距”更大，因而焦點在軸上(即看分母的大小) 二、講解范例：例1 如圖，已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P向軸作垂線段PP，求線段PP的中點M的軌跡（若M分 PP之比為，求點M的軌跡）解：（1）當M是線段PP的中點時，設動點的坐標為，則的坐標為 因為點在圓心為坐標原點半徑為2的圓上，所以有 ，即 所以點的軌跡是橢圓，方程是 （2）當M分 PP之比為時，設動點的坐標為，則的坐標為 因為點在圓心為坐標原點半徑為2的圓上，所以有 ，即 所以點的軌跡是橢圓，方程是 例2 已知軸上的一定點A（1,0），Q為橢圓上的動點，求AQ中點M的軌跡方程解：設動點的坐標為，則的坐標為 因為點為橢圓上的點，所以有 ，即所以點的軌跡方程是 例3 長度為2的線段AB的兩個端點A、B分別在軸、軸上滑動，點M分AB的比為，求點M的軌跡方程解：設動點的坐標為，則的坐標為 的坐標為 因為，所以有 ，即所以點的軌跡方程是 例4 已知定圓，動圓M和已知圓內切且過點P(-3，0)，求圓心M的軌跡及其方程 分析：由兩圓內切，圓心距等于半徑之差的絕對值 根據圖形，用數學符號表示此結論： 上式可以變形為，又因為，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓 解 已知圓可化為：圓心Q(3，0)，所以P在定圓內 設動圓圓心為，則為半徑 又圓M和圓Q內切，所以，即 ，故M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓，且PQ中點為原點，所以，故動圓圓心M的軌跡方程是： 三、課堂練習：（1）已知橢圓上一點P到橢圓的一個焦點的距離為3，則P到另一個焦點的距離是 （ ）A.2 B.3 C.5 D.7 答案：D（2）已知橢圓方程為,那么它的焦距是 （ ）A.6 B.3 C.3 D. 答案：A（3）如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數k的取值范圍是 A.（0，+） B.(0,2)C.(1,+) D.(0,1) 答案：D(4)已知橢圓的兩個焦點坐標是F1（-2，0），F2（2，0），并且經過點P（），則橢圓標準方程是_ 答案：（5）過點A（-1，-2）且與橢圓的兩個焦點相同的橢圓標準方程是_ 答案：（6）過點P（，-2），Q（-2，1）兩點的橢圓標準方程是_答案：四、小結 ：用轉移法求軌跡方程的方法 轉移法是在動點的運動隨著另一個點的運動而運動，而另一個點又在有規律的曲線上運動，這種情況下才能應用的，運用這種方法解題的關鍵是尋求兩動點的坐標間的關系 五、課后作業：1已知圓，從這個圓上任意一點P向軸作垂線段，求線段的中點M的軌跡.選題意圖：訓練相關點法求軌跡方程的方法，考查“通過方程，研究平面曲線的性質”這一解析幾何基本思想.解：設點M的坐標為，則點P的坐標為.P在圓上，即.點M的軌跡是一個橢圓2ABC的兩個頂點坐標分別是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊AB、AC的斜率的乘積是-，求頂點A的軌跡方程.選題意圖：鞏固求曲線方程的一般方法，建立借助方程對應曲線后舍點的解題意思，訓練根據條件對一些點進行取舍.解：設頂點A的坐標為.依題意得 ，頂點A的軌跡方程為 .說明：方程對應的橢圓與軸有兩個交點，而此兩交點為（，）與(0，6)應舍去.3已知橢圓的焦點是，為橢圓上一點，且是和的等差中項.(1)求橢圓的方程；(2)若點P在第三象限，且120，求.選題意圖：綜合考查數列與橢圓標準方程的基礎知識，靈活運用等比定理進行解題.解：(1)由題設4， 2c=2， 橢圓的方程為.（）設，則60由正弦定理得：由等比定理得：整理得： 故.說明：曲線上的點與焦點連線構成的三角形稱曲線三角形，與曲線三角形有關