湖南省醴陵二中、醴陵四中2018-2019學年高二下學期期中聯考數學（理）試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.復數在復平面內，所對應的點在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】計算復數，求出它的代數形式，看它的實部和虛部的正負，即可判定所對應的點在第幾象限【詳解】解：，因為，故所對應的點在第二象限故選：B【點睛】本題考查復數幾何意義，考查基本求解能力，是基礎題2.如圖是導函數的圖象，那么函數在下面哪個區間是減函數（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據導函數的圖象，利用函數單調性和導數之間的關系即可得到結論【詳解】解：若函數單調遞減，則， 由圖象可知，時， 故選：B【點睛】本題主要考查函數單調性的判斷，根據函數單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵3.有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導函數，如果，那么是函數的極值點，因為函數在處的導數值，所以，是函數的極值點以上推理中（）A. 大前提錯誤B. 小前提錯誤C. 推理形式錯誤D. 結論正確【答案】A【解析】【分析】使用三段論推理證明，我們分析出“對于可導函數，若，且滿足當和時導函數值異號時，此時才是函數的極值點”，得出答案.【詳解】對于可導函數，若，且滿足當和時導函數值異號時，此時才是函數的極值點，所以大前提錯誤故選A【點睛】本題主要考查了三段論以及命題的真假，屬于基礎題.4.9件產品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，現在要從中抽出4件產品來檢查，至少有兩件一等品的抽取方法是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：有兩件一等品的種數，有三件一等品的種數，有四件一等品的種數, 所以至少有兩件一等品的種數是，故選D考點：組合的應用5.的展開式中，含的項的系數（）A. B. 121C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意利用二項展開式的通項公式，求得含的項的系數【詳解】解：的展開式中，含的項的系數為，故選：A【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題6.函數在處有極值10，則點為（）A. B. C. 或D. 不存在【答案】B【解析】試題分析：，則，解得或，當時，此時在定義域上為增函數，無極值，舍去.當,為極小值點,符合,故選A.考點：1.用導數研究函數的極值；2.函數在某一點取極值的條件.【易錯點睛】本題主要考查用導數研究函數的極值問題，要求掌握可導函數取得有極值的條件，是函數取得極值的必要不充分條件.求解之后要注意檢驗，本題中，當時，此時在定義域上為增函數，無極值，不符合題意，舍去.本題容易錯選A，認為兩組解都符合，一定要注意檢驗.7.隨機變量服從二項分布，且，則等于（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，解得，選B.8.，則（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】先利用積分定理即可求出用表示的定積分，再列出等式即可求得值【詳解】解： 由題意得：， 故選：A【點睛】本小題主要考查直定積分的簡單應用、定積分、利用導數研究原函數等基礎知識，考查運算求解能力屬于基礎題9.函數，若函數在上有3個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】將函數零點，可轉化為兩個函數的圖象交點，通過求解函數的單調性與極值，結合研究出函數的圖象的特征，由圖象求出的取值范圍即可【詳解】解：函數在上有3個零點，即函數，與兩個函數的圖象有三個交點，下研究函數圖形的性質：由題意，令解得或，又，故在與上是增函數，在上是減函數，時，函數值對應為2，9，9，其圖象如圖，可得，故選：D【點睛】本題考查根的存在性及根的個數的判斷，正確解答本題，關鍵是將函數有零點的問題轉化為兩個函數有交點的問題，此轉化的好處是轉化后的兩個函數的中有一個函數是確定的，實現了由不定到定的轉化變，方便了研究問題，即求參數的范圍熟練利用導數研究函數的單調性也是解本題的關鍵，10.從5名志愿者中選出4人分別到、四個部門工作，其中甲、乙兩名志愿者不能到、二個部門工作，其他三人能到四個部門工作，則選派方案共有（）A. 120種B. 24種C. 18種D. 36種【答案】D【解析】【分析】根據題意，分兩種情況討論：、甲、乙中只有1人被選中，、甲、乙兩人都被選中，根據分類計數原理可得【詳解】解：根據題意，分兩種情況討論： 、甲、乙中只有1人被選中，需要從甲、乙中選出1人，到，中的一個部門，其他三人到剩余的部門，有種選派方案 、甲、乙兩人都被選中，安排到，部門，從其他三人中選出2人，到剩余的部門，有種選派方案， 綜上可得，共有24+12=36中不同的選派方案， 故選：D【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分類加法原理的應用，屬于中檔題11.曲線，和直線圍成的圖形面積是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：根據題意畫出區域，作圖如下，由解得交點為（0，1），所求面積為：考點：定積分及其應用12.已知函數在區間上是減函數，那么（）A. 有最大值B. 有最大值C. 有最小值D. 有最小值【答案】B【解析】試題分析：因為，所以，要使在區間1,2上是減函數，需要且，畫出可行域，再畫出目標函數 ，可以得出有最大值.考點：本小題主要考查導函數與單調性的關系，及由線性規劃知識求的取值范圍.點評：要解決此類問題，需要掌握函數的導數與單調性的關系，此類題目中區間1,2是減區間的子區間，而不一定是整個減區間，要看清題目.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.隨機變量服從正態分布，若，則_【答案】0.6【解析】【分析】根據隨機變量服從正態分布，知正態曲線對稱軸是，且，依據正態分布對稱性，即可求得答案【詳解】解：根據隨機變量服從正態分布，知正態曲線對稱軸是， 利用正態分布的對稱性可得， 所以 故答案為：0.6【點睛】本題主要考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義、函數圖象對稱性的應用等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題14.曲線上的點到直線的最短距離是_【答案】【解析】曲線y=ln(2x1)，y=,分析知直線2xy+8=0與曲線y=ln(2x1)相切的點到直線2xy+8=0的距離最短y=2,解得x=1,把x=1代入y=ln(2x1)，y=0,點(1,0)到直線2xy+8=0的距離最短，d=，故答案為：.15.一同學在電腦中打出如下圖形（表示空心圓，表示實心圓）若將此若干個圓依此規律繼續下去，得到一系列的圓，那么前2019個圓中有實心圓的個數為_【答案】62【解析】【分析】依次解出空心圓個數，時對應圓的總個數再根據規律求結果【詳解】解：時，圓的總個數是2； 時，圓的總個數是5，即； 時，圓的總個數是9，即； 時，圓總個數是14，即； ； 時，圓的總個數是 ， ， 在前2019個圓中，共有62個實心圓 故答案為：62【點睛】本題主要考查歸納推理，解答關鍵是從圓的個數的變化規律中尋求規律，后建立數列模型解決問題16.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球。先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是_（寫出所有正確結論的編號）。；事件與事件相互獨立；是兩兩互斥的事件；的值不能確定，因為它與中空間哪一個發生有關【答案】【解析】試題分析：；因為，所以事件B與事件A1不獨立；A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；綜上選考點：互斥事件，事件獨立三、解答題（本大題共7小題，共75.0分）17.已知數列滿足，（1）分別求，的值（2）猜想的通項公式，并用數學歸納法證明【答案】（1） ； （2）見解析.【解析】【分析】(1)通過賦值法得到相應的數值；（2）由數學歸納法猜想證明.【詳解】(1），(2）猜想當n=1時命題顯然成立 假設命題成立，即當時，時命題成立綜合，當時命題成立【點睛】這個題目考查了數學歸納法在數列通項中的應用，注意數學歸納法，是先驗證n=1成立，再假設n=k成立，推導n=k+1時，必需要用到之前的假設.18.用0，1，2，3，4這五個數字組成無重復數字的自然數（）在組成的三位數中，求所有偶數的個數；（）在組成的三位數中，如果十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都小，則稱這個數為“凹數”，如301，423等都是“凹數”，試求“凹數”的個數；（）在組成的五位數中，求恰有一個偶數數字夾在兩個奇數數字之間的自然數的個數【答案】（）共有30個符合題意的三位偶數。（）共有20個符合題意“凹數（）共有28個符合題意的五位數【解析】試題分析：在正自然數中，零不能處在最高位，（1）偶數個位數為偶數，所以只能為0，2，4，根據排列公式求出偶數個數即可；（2）由題意可知十位數可為0，1，2，分別從剩余的數字中取兩個進行排列；（3）5個數字中只有兩個奇數，所以可將1，3以及夾在中間的偶數看作整體，并與剩余的兩個偶數進行排列計算試題解析：（1）將所有的三位偶數分為兩類：（i）若個位數為，則共有（個）；（ii）若個位數為或，則共有（個），所以，共有個符合題意的三位偶數（2）將這些“凹數”分為三類：（i）若十位數字為，則共有（個）；（ii）若十位數字為，則共有（個）；（iii）若十位數字為，則共有（個），所以，共有個符合題意的“凹數”（3）將符合題意的五位數分為三類：（i）若兩個奇數數字在一、三位置，則共有（個）；（ii）若兩個奇數數字在二、四位置，則共有（個）；（iii）若兩個奇數數字在三、五位置，則共有（個），所以，共有個符合題意的五位數考點：排列的運用.19.在某校組織的高二女子排球比賽中，有、兩個球隊進入決賽，決賽采用7局4勝制假設、兩隊在每場比賽中獲勝的概率都是并記需要比賽的場數為（）求大于4的概率；（）求的分布列與數學期望【答案】（）（）見解析【解析】【分析】（）依題意可知，的可能取值最小為4當時，整個比賽只需比賽4場即結束，這意味著連勝4場，或連勝4場，于是，由對立事件的概率計算公式，可得的概率為（）的可能取值為4，5，6，7，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可【詳解】解：（）依題意可知，的可能取值最小為4當時，整個比賽只需比賽4場即結束，這意味著連勝4場，或連勝4場，于是，由互斥事件的概率計算公式，可得即的概率為 （）的可能取值為4，5，6，7，可得，的分布列為：4567的數學期望為：【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查轉化思想以及計算能力20.已知函數（1）求的單調區間；（2）求曲線在點處的切線方程；（3）求證：對任意的正數與，恒有【答案】（1）單調增區間 ，單調減區間；（2）；（3）見解析.【解析】試題分析：（1）單調增區間 ，單調減區間；（2）切線方程為 ；（3）所證不等式等價為，由（1）可知，所以成立。試題解析：（1）單調增區間 ，單調減區間（2）切線方程為 （3）所證不等式等價為而，設則，由（1）結論可得，由此，所以即，記代入得證.點睛：本題考查導數的綜合應用。在證明，等價證明，利用減元思想，記，構造函數，通過求導得到，即，得證。21.在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6（1）設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；（2）若在這塊地上連續3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率【答案】（1）的分布列為X40002000800P030502 （2）【解析】試題分析：（1）根據條件中的表格可知，作物產量與市場價的可能的組合總共有四種情況：產量，市場價元；產量，市場價元；產量，市場價元；產量，市場價元；因此作物的利潤的計算也應分四種情況進行計算：，若設表示事件“作物產量為”，表示事件“作物市場價格為元”，則取到各個值的概率為：，即可知的分布列；（2）由（1）可知，事件等價于事件或，因此，而所求事件的概率等價于季的利潤都不少于元或季當中有季利潤不少于元，根據二項分布的相關內容，可知所求概率為試題解析：（1）設表示事件“作物產量為”，表示事件“作物市場價格為元/kg”，由題設知，（注：基本事件敘述各1分）2分利潤產量市場價格成本，所有可能的取值為：， 4分，的分布列為X40002000800P030502 （2）設表示事件“第季利潤不少于元”， 8分由題意知，相互獨立，由（1）知，這季中至少有季的利潤不少于元的概率為 12分考點：1相互獨立事件的概率乘法公式；2離散型隨機變量及其分布列22.已知函數.（）討論的單調性；（）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（）見解析；（）.【解析】試題分析：（）先求得再根據1,0,2a的大小進行分類確定的單調性；（）借助第（）問的結論,通過分類討論函數的單調性,確定零點個數,從而可得a的取值范圍為.試題解析：（）（）設，則當時，；當時，.所以f（x）在單調遞減，在單調遞增.（）設，由得x=1或x=ln（-2a）.若，則，所以在單調遞增.若，則ln（-2a）1,故當時，；當時，所以在單調遞增，在單調遞減.若，則，故當時，當時，所以在單調遞增，在單調遞減.（）（）設，則由（）知，在單調遞減，在單調遞增.又，取b滿足b0