2015-2016學(xué)年福建省廈門市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1 =（）ABCD2已知向量=（1，2），向量=（x，2），且（），則實(shí)數(shù)x等于（）A4B4C0D93已知圓C1：x2+y2=1，圓C2：x2+y2+4x6y+4=0，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是（）A外離B相切C相交D內(nèi)含4函數(shù)y=tan（）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象大致是（）ABCD5已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OB，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為（）A4B3C3D46為了得到函數(shù)y=2cos2x的圖象，可以將函數(shù)y=1+cosx圖象上所有的點(diǎn)（）A橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變B橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變C縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變D縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變7已知直線l平面，直線m平面，下列命題中正確的是（）AlmBlmClmDlm8在ABC中，|=1，|=3，BAC=60，則|=（）A1BC3D9如圖，長(zhǎng)方體ABCDABCD中，AA=3，AB=4，AD=5，E、F分別是線段AA和AC的中點(diǎn)，則異面直線EF與CD所成的角是（）A30B45C60D9010直線l：3x+4y+4=0與圓C：（x2）2+y2=9交于A，B兩點(diǎn)，則cosACB=（）ABCD11如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，D為BC的中點(diǎn)，BE平分ABC，AD與BE交于點(diǎn)P，若=+，則等于（）AB1CD12如圖，一個(gè)無(wú)蓋圓臺(tái)形容器的上、下底面半徑分別為1和2，高為，AD，BC是圓臺(tái)的兩條母線（四邊形ABCD是經(jīng)過(guò)軸的截面）一只螞蟻從A處沿容器側(cè)面（含邊沿線）爬到C處，最短路程等于（）A2B+2C +2D +2二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13已知sin+cos=，則sin2的值為14已知斜率為2的直線l過(guò)點(diǎn)P（1，3），將直線l沿x軸向右平移m個(gè)單位得到直線l，若點(diǎn)A（2，1）在直線l上，則實(shí)數(shù)m=15已知|=1，|+|=，|=2，則在方向上的投影等于16如圖，在三棱錐ABCD中，AB底面BCD，BCCD，AB=BC=CD=2該三棱錐外接球的表面積等于三、解答題（共6小題，滿分70分）17已知O（0，0），A（2，1），B（1，2）（1）求OAB的面積；（2）若點(diǎn)C滿足直線BCAB，且ACOB，求點(diǎn)C的坐標(biāo)18長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐后的直觀圖和部分三視圖如圖所示（1）畫出這個(gè)幾何體的俯視圖，并求截面AEF的面積；（2）若M為EF的中點(diǎn)，求直線AM與平面ABCD所成角的正切值19已知函數(shù)f（x）=Asinx+cosx，A0（1）若A=1，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）函數(shù)f（x）在x=x0處取得最大值，求cosx0的值20在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，AB=1，AC=，AD=2，M、N分別為棱PA、BC的中點(diǎn)（1）求證：MN平面PCD；（2）若二面角PCDB等于30，求四棱錐PABCD的體積21如圖，已知函數(shù)f（x）=msin（x+）（m0）的圖象在y軸右側(cè)的最高點(diǎn)從左到右依次為B1、B2、B3、，與x軸正半軸的交點(diǎn)從左到右依次為C1、C2、C3、（1）若m=1，求；（2）在OB1C1，OB2C3，OB3C5，OBiC2i1，（i=1，2，3，）中，有且只有三個(gè)銳角三角形，求實(shí)數(shù)m的取值范圍22已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩點(diǎn)P1（，0），P2（2r，0）的距離之比為，r0（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的方程；（2）已知菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角為60，頂點(diǎn)A，B在直線l：y=2x+3上，頂點(diǎn)C，D在上，當(dāng)直線l與無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，求菱形ABCD的面積S的取值范圍2015-2016學(xué)年福建省廈門市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1 =（）ABCD【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可知cos=cos（+），進(jìn)而求得答案【解答】解：cos=cos（+）=cos=故選D2已知向量=（1，2），向量=（x，2），且（），則實(shí)數(shù)x等于（）A4B4C0D9【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】把轉(zhuǎn)化為用坐標(biāo)運(yùn)算公式=x1x2+y1y2【解答】解：，1+22（1x22）0，x=9故選D3已知圓C1：x2+y2=1，圓C2：x2+y2+4x6y+4=0，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系是（）A外離B相切C相交D內(nèi)含【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，根據(jù)兩圓的圓心距，大于半徑之差，而小于半徑之和，可得兩個(gè)圓關(guān)系【解答】解：圓C1：x2+y2=1，表示以C1（0，0）為圓心，半徑等于1的圓圓C2：x2+y2+4x6y+4=0，即 （x+2）2+（y3）2=9，表示以C2（2，3）為圓心，半徑等于3的圓兩圓的圓心距d=，313+1，故兩個(gè)圓相交故選：C4函數(shù)y=tan（）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象大致是（）ABCD【考點(diǎn)】正切函數(shù)的圖象【分析】根據(jù)函數(shù)y=tan（）在包含原點(diǎn)的一個(gè)周期內(nèi)是增函數(shù)，故排除C、D；令，求得x的范圍，從而得出結(jié)論【解答】解：根據(jù)函數(shù)y=tan（）在包含原點(diǎn)的一個(gè)周期內(nèi)是增函數(shù)，故排除C、D；令，求得x，結(jié)合所給的選項(xiàng)，故選：A5已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），將線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OB，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為（）A4B3C3D4【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程【分析】設(shè)B（m，n），（m，n0），由OAOB，且|OA|=|OB|，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為1，及兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到所求【解答】解：設(shè)B（m，n），（m，n0），由OAOB，且|OA|=|OB|，可得=1， =，解得m=4，n=3即B的縱坐標(biāo)為3故選：C6為了得到函數(shù)y=2cos2x的圖象，可以將函數(shù)y=1+cosx圖象上所有的點(diǎn)（）A橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變B橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變C縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變D縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換；二倍角的余弦【分析】利用二倍角公式，函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論【解答】解：由于函數(shù)y=2cos2x=2=cos2x+1，要得到得函數(shù)y=2cos2x的圖象，可以將函數(shù)y=1+cosx圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，故選：B7已知直線l平面，直線m平面，下列命題中正確的是（）AlmBlmClmDlm【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【分析】直線l平面，直線m平面，當(dāng)有l(wèi)m，當(dāng)有l(wèi)m或l與m異面或相交，當(dāng)lm有，當(dāng)lm有或，得到結(jié)論【解答】解：直線l平面，直線m平面，當(dāng)有l(wèi)，進(jìn)而可得lm，故A不正確當(dāng)有l(wèi)m或l與m異面或相交，故B不正確當(dāng)lm有直線m平面，因?yàn)橹本€m平面，故C正確，當(dāng)lm有或，故D不正確，故選：C8在ABC中，|=1，|=3，BAC=60，則|=（）A1BC3D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】可知，根據(jù)條件對(duì)上式兩邊平方進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出，從而得出的值【解答】解：=7；故選：B9如圖，長(zhǎng)方體ABCDABCD中，AA=3，AB=4，AD=5，E、F分別是線段AA和AC的中點(diǎn)，則異面直線EF與CD所成的角是（）A30B45C60D90【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角【分析】以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線EF與CD所成的角【解答】解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則E（0，0，），F(xiàn)（2，0），C（4，5，0），D（0，5，3），=（2，），=（4，0，3），cos=，異面直線EF與CD所成的角45故選：C10直線l：3x+4y+4=0與圓C：（x2）2+y2=9交于A，B兩點(diǎn)，則cosACB=（）ABCD【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定【分析】求出圓心、半徑，圓心到直線的距離，利用三角函數(shù)進(jìn)行求解【解答】解：圓C：（x2）2+y2=9的圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為3，圓心到直線的距離為=2，cosACB=，cosACB=2cos2ACB1=1=，故選：A11如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，D為BC的中點(diǎn)，BE平分ABC，AD與BE交于點(diǎn)P，若=+，則等于（）AB1CD【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義【分析】可以BC，DA所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)，從而可根據(jù)條件求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并可求出，可寫出直線BE的方程，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量的坐標(biāo)，帶入即可建立關(guān)于，的方程，解出即可【解答】解：以BC，DA所在直線為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=，則：A（0，1），B（1，0），C（1，0）；根據(jù)正切的二倍角公式：設(shè)tan22.5=x，則，且x0；解得x=；直線BE的方程為；令x=0，y=，即；，；解得故選D12如圖，一個(gè)無(wú)蓋圓臺(tái)形容器的上、下底面半徑分別為1和2，高為，AD，BC是圓臺(tái)的兩條母線（四邊形ABCD是經(jīng)過(guò)軸的截面）一只螞蟻從A處沿容器側(cè)面（含邊沿線）爬到C處，最短路程等于（）A2B+2C +2D +2【考點(diǎn)】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題【分析】由題意求出圓臺(tái)所在圓錐的母線長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式求出圓心角，把最短路程轉(zhuǎn)化為三角形的邊長(zhǎng)求解【解答】解：沿母線AD剪開并展開如圖，圓臺(tái)形容器的上、下底面半徑分別為1和2，高為，OB=4，OE=2設(shè)展開圖的圓心角為，則21=2，=，AOE=90，AE=2經(jīng)過(guò)的最短路程為2故選：A二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13已知sin+cos=，則sin2的值為【考點(diǎn)】二倍角的正弦；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系【分析】將已知的等式左右兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后即可求出sin2的值【解答】解：將sin+cos=左右兩邊平方得：（sin+cos）2=，整理得：sin2+2sincos+cos2=1+sin2=，則sin2=1=故答案為：14已知斜率為2的直線l過(guò)點(diǎn)P（1，3），將直線l沿x軸向右平移m個(gè)單位得到直線l，若點(diǎn)A（2，1）在直線l上，則實(shí)數(shù)m=2【考點(diǎn)】直線的一般式方程【分析】由已知直線l的斜率且過(guò)點(diǎn)P，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式求出其解析式，然后根據(jù)平移的性質(zhì)：左加右減，上加下減，得到直線l，再根據(jù)點(diǎn)A在直線l上，代入直線l方程計(jì)算即可得答案【解答】解：由直線l斜率為2且過(guò)點(diǎn)P（1，3），得y3=2（x1），即y=2x+1，將直線l沿x軸向右平移m個(gè)單位得到直線l，則直線l即y=2（xm）+1，又點(diǎn)A（2，1）在直線l上，2（2m）+1=1，解得m=2故答案為：215已知|=1，|+|=，|=2，則在方向上的投影等于【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】根據(jù)條件對(duì)的兩邊平方即可求出的值，這樣根據(jù)一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影的計(jì)算公式便可得出所要求的投影的值【解答】解：根據(jù)條件， =3；在方向上的投影為：=；在方向上的投影等于故答案為：16如圖，在三棱錐ABCD中，AB底面BCD，BCCD，AB=BC=CD=2該三棱錐外接球的表面積等于12【考點(diǎn)】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體【分析】由題意將三棱錐補(bǔ)全為正方體，且正方體的對(duì)角線為該三棱錐外接球的直徑，即2R=2，得到三棱錐ABCD外接球的半徑大小，即可求出三棱錐外接球的表面積【解答】解：由題意將三棱錐補(bǔ)全為正方體，且正方體的對(duì)角線為該三棱錐外接球的直徑，即2R=2，R=三棱錐外接球的表面積為4R2=12故答案為：12三、解答題（共6小題，滿分70分）17已知O（0，0），A（2，1），B（1，2）（1）求OAB的面積；（2）若點(diǎn)C滿足直線BCAB，且ACOB，求點(diǎn)C的坐標(biāo)【考點(diǎn)】正弦定理；兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用【分析】（1）由兩點(diǎn)之間的距離公式求出|OA、|OB|，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算得到=0，判斷出OAOB，由三角形的面積公式求出OAB的面積；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出、，根據(jù)條件、向量垂直和平行的坐標(biāo)條件列出方程組，求出x，y的值，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)【解答】解：（1）由題意得，|OA|=|OB|=，=（2，1），=（1，2），=0，OAOB，則OAB的面積S=；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則=（x1，y2），=（x2，y+1），且=（1，3），直線BCAB，且ACOB，=0，則，解得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3）18長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐后的直觀圖和部分三視圖如圖所示（1）畫出這個(gè)幾何體的俯視圖，并求截面AEF的面積；（2）若M為EF的中點(diǎn)，求直線AM與平面ABCD所成角的正切值【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【分析】（1）根據(jù)直觀圖，可得俯視圖，根據(jù)三角形的三條邊，即可求截面AEF的面積；（2）將幾何體補(bǔ)充為長(zhǎng)方體，則AMG為直線AM與平面ABCD所成角，即可求直線AM與平面ABCD所成角的正切值【解答】解：（1）俯視圖如圖所示，截面AEF中AF=EF=2，AE=2，面積為=6；（2）將幾何體補(bǔ)充為長(zhǎng)方體，則AMG為直線AM與平面ABCD所成角GM=，GA=2，tanAMG=19已知函數(shù)f（x）=Asinx+cosx，A0（1）若A=1，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）函數(shù)f（x）在x=x0處取得最大值，求cosx0的值【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)；正弦函數(shù)的圖象【分析】（1）由題意利用兩角和的正弦函數(shù)公式可得f（x）=sin（x+），由2kx+2k+，kZ，即可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（2）由兩角和的正弦函數(shù)公式可得f（x）=sin（x+），其中tan=，由題意可求sin（x0+）=1，其中tan=， =，進(jìn)而解得A，sin的值，解得x0=2k+，kZ，利用誘導(dǎo)公式即可解得cosx0的值【解答】解：（1）由題意可得：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），由2kx+2k+，kZ，解得：2kx2k+，kZ，可得單調(diào)遞增區(qū)間為：2k，2k+，kZ（2）f（x）=Asinx+cosx=sin（x+），其中tan=，且函數(shù)f（x）在x=x0處取得最大值，sin（x0+）=1，其中tan=， =，由A0，解得：A=2，sin=，x0+=2k+，kZ，x0=2k+，kZ，cosx0=cos（2k+）=sin=20在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，AB=1，AC=，AD=2，M、N分別為棱PA、BC的中點(diǎn)（1）求證：MN平面PCD；（2）若二面角PCDB等于30，求四棱錐PABCD的體積【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定【分析】（1）取PD中點(diǎn)E，連結(jié)NE，CE，可證MNEC為平行四邊形，由MNCE即可判定MN平面PCD；（2）證明ACCD，確定PCA是二面角PCDB的平面角，求出PA，即可求四棱錐PABCD的體積【解答】（1）證明：取PD中點(diǎn)E，連結(jié)NE，CEN為PA中點(diǎn)，NEAD，NE=AD，又M為BC中點(diǎn)，底面ABCD為平行四邊形，MCAD，MC=ADNEMC，NE=MC，即MNEC為平行四邊形，MNCEEC平面PCD，且MN平面PCD，MN平面PCD（2）解：AB=1，AC=，AD=2，AB2+AC2=AD2，ACCD，PA平面ABCD，PCCD，PCA是二面角PCDB的平面角，即PCA=30，PA=tan30=1，四棱錐PABCD的體積=21如圖，已知函數(shù)f（x）=msin（x+）（m0）的圖象在y軸右側(cè)的最高點(diǎn)從左到右依次為B1、B2、B3、，與x軸正半軸的交點(diǎn)從左到右依次為C1、C2、C3、（1）若m=1，求；（2）在OB1C1，OB2C3，OB3C5，OBiC