2.4平面的投影,第2章投影基礎,2.1投影的形成及常用的投影方法,2.2點的投影,2.3直線的投影,1,投影方法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,畫透視圖,畫斜軸測圖,畫標高圖及正軸測圖,單面投影,多面投影,畫工程圖樣,2.投影基礎2.1投影的形成與常用的投影方法,2,投影面,2.1.1中心投影法,投影面,中心投影法得到的投影一般不反映形體的真實大小。,投影特性,2.1.1中心投影法,投射中心,度量性較差，作圖復雜。,3,2.1.2平行投影法,能準確、完整地表達出形體的形狀和結構，且作圖簡便，度量性較好，故廣泛用于工程圖。,投影特性,投影面,立體感較差。,投影面,2.1.2平行投影法,4,正投影應用正軸測圖,5,斜投影應用斜軸測圖,6,多面正投影應用組合體,7,透視投影圖透視投影圖簡稱透視圖，是按中心投影繪制的,這種圖形象逼真，常用作建筑設計方案比較、展覽。其缺點是作圖復雜，度量性差。,8,標高投影圖標高投影是一種帶數字標記的單面正投影，如圖所示的小山丘的標高投影圖，這種圖的優點是能表達形狀復雜的不規則形體，常用來表達地形面，其缺點是缺乏立體感。,9,2.2正投影的基本性質,2.投影基礎2.2正投影的基本性質,2.2.1實形性,當空間直線或平面平行于投影面時，其投影反映直線的實長或平面的實形，這種投影性質稱為全等性。,10,2.2正投影的基本性質,2.投影基礎2.1投影的形成與常用的投影方法,積聚性,當直線或平面垂直于投影面時，其投影積聚為一點或一條直線，這種投影性質稱為積聚性。,11,2.2正投影的基本性質,2.投影基礎2.1投影的形成與常用的投影方法,類似性,當空間直線或平面傾斜于投影面時，其投影仍為直線或與之類似的平面圖形，其投影的長度變短或面積變小，這種投影性質稱為類似性。,12,2.3.三視圖的形成及投影規律,2.投影基礎2.1.2三視圖的形成及投影規律,2.1.2三面投影體系及三視圖的形成,一般只用一個方向的投影來表達形體是不確定的，通常須將形體向幾個方向投影，才能完整清晰地表達出形體的形狀和結構。,13,2.3.1三面投影體系及三視圖的形成,2.1.2三面投影體系及三視圖的形成,設立三個互相垂直的投影平面，構成三面投影體系。這三個平面將空間分為八個分角，(GB4458.184)規定：采用第一角投影法，,三面投影體系,14,2.3.1三面投影體系及三視圖的形成,設立三個互相垂直的投影平面，構成三面投影體系。這三個平面將空間分為八個分角，(GB4458.184)規定：采用第一角投影法，,第一分角,2.1.2三面投影體系及三視圖的形成,15,直觀圖,2.1.3三面投影體系及三視圖的形成,三視圖的形成,展開投影面,16,三視圖的形成,展開后的三視圖,三視圖的形成,三視圖,在三投影面體系中擺放形體時，應使形體的多數表面(或主要表面)平行或垂直于投影面(即形體正放)。,形體在三投影面體系中的位置一經選定，在投影過程中不能移動或變更。,17,2.1.3三視圖的對應影規律三視圖間的位置關系,俯視圖(H面)在主視圖(V面)的正下方；,左視圖(W面)在主視圖(V面)的正右方，這種位置關系，在一般情況下是不允許變動的。,直觀圖,W位置關系,18,三視圖間的對應關系,三視圖間的對應關系,V面、H面（主、俯視圖）長對正。,V面、W面（主、左視圖）高平齊。,H面、W面（俯、左視圖）寬相等。,直觀圖,總體三等,局部三等,19,形體與視圖的方位關系,形體與視圖的方位關系,V面(主視圖)反映了形體的上、下、左、右方位關系；,H面(俯視圖)反映了形體的左、右、前、后方位關系；,W面(左視圖)反映了形體的上、下、前、后位置關系。,直觀圖,三視圖的方位關系,20,例1:,21,例1:,22,例2:,23,例2:,24,例3:,25,例3:,26,例4:,27,例4:,28,例5:,29,例5:,30,點、直線、平面是構成形體的基本幾何元素,B,C,D,A,22點的投影,31,3.1.1點的三面投影,采用多面投影。,2.2.1點的三面投影,過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。,點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。,解決辦法,32,投影面與投影軸,O,V面與H面的交線OX軸,V面與W面的交線OZ軸,H面與W面的交線OY軸,2.2.1點的三面的投影,33,空間點A；a點A的水平(H)投影;a點A的正面(V)投影;a點A的側面(W)投影。,2.2.1點的三面投影,空間點的位置和直角坐標,空間點的位置，可由直角坐標值來確定，一般采用下列的書寫形式：A(x,y,z)。,點到各投影面的距離，為相應的坐標數值X，Y，Z。,34,投影面展開,X,V,A,Y,O,W,Z,a,a,a,H面向下旋轉90,H,W面向右旋轉90,V面不動,35,aaOX軸;aaOZ軸;a到OX軸的距離=a到OZ軸的距離,Aa=aax=aaz=ay0=yAA點到V面的距離,Aa=aax=aay=az0=zAA點到H面的距離,Aa=aay=aaz=ax0=xAA點到W面的距離,點的三面投影規律:,X,V,Y,O,W,Z,a,a,a,H,36,例1:已知A點的坐標值A(12，10，15)，求作A點的三面投影圖。,作投影軸；,量取：Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等點；,步驟:,過ax、az、aYH、aYW等點分別作所在軸的垂線，交點a、a、a既為所求。,37,例2：已知點的兩個投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,解法二:,通過作45線使aaz=aax,用圓規直接量取aaz=aax,38,3.1.2點的空間位置,1.在空間（X，Y，Z）,點在投影體系中有四種位置情況：,2.2.2點的空間位置,X,V,Y,O,W,Z,H,由于X，Y，Z均不為零，對三個投影面都有一定距離，所以點的三個投影都不在軸上。,39,3、特殊位置點的投影,40,2.2.3兩點的相對位置,兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。,x坐標大的在左；,y坐標大的在前；,z坐標大的在上。,判斷方法：,B點在A點的左、下、前方。,41,當空間兩點到兩個投影面的距離都分別對應相等時，該兩點處于同一投射線上，它們在該投射線所垂直的投影面上的投影重合在一起，這兩點稱為對該投影面的重影點。,兩點重影,重影點需要判斷其可見性，將不可見點的投影用括號括起來，以示區別。,兩點重影,(),H面重影，被擋住的投影加(),42,重影點的投影,43,重影點：,空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。,A、C為H面的重影點,a,a,c,被擋住的投影加(),(),ac,44,3.2直線的投影,兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的投影。,直線平行于投影面投影反映線段實長ab=AB真實性,直線垂直于投影面投影重合為一點ab=0積聚性,直線傾斜于投影面投影比空間線段短abAB類似性,2.3直線的投影,2.3.1各種位置直線的投影特征,45,直線中的投影特性,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于面）,側平線（平行于面）,水平線（平行于面）,正垂線（垂直于面）,側垂線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,一般位置直線,統稱特殊位置直線,直線在三個投影面中的投影特性,46,投影特性：,三個投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。,(1)一般位置直線,47,(2)投影面平行線,投影特性：,1.水平線的H面投影反映線段實長。即：ab=AB;水平線的V、W面投影分別平行于H面的兩根軸。即abox軸，abOYW軸；3.水平線的H面投影與OX軸夾角反映該直線對V面的傾角；與OYH軸的夾角，反映該直線對W面的傾角。,水平線的投影特征：,對正平線和側平線作分析，可得出類似的投影特征。,48,投影面平行線,1.在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角。,2.另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。,水平線,側平線,正平線,投影特性：,與H面的夾角:與V面的角:與W面的夾角:,實長,實長,實長,49,(3)投影面垂直線,投影特性：,H面投影積聚成一點；V、W面投影反映實長，即ab=ab=AB；V、W面投影，分別垂直于H面的兩面根軸，即：abox軸aboz軸。,對正垂線和側垂線作分析，可得出類似的投影特征。,鉛垂線投影特征:,50,投影面垂直線,鉛垂線,正垂線,側垂線,2.另外兩個投影面上，投影反映線段實長。且垂直于相應的投影軸。,1.在其垂直的投影面上，投影有積聚性。,投影特性:,積聚為點,積聚為點,積聚為點,51,兩直線平行,投影特性：,空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。,3.2.3兩直線的相對位置,空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。,52,例1：判斷圖中兩條直線是否平行。,對于一般位置直線，只要有兩個同名投影互相平行，空間兩直線就平行。,結論：AB/CD,53,b,d,c,a,對于投影面平行線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用兩個投影判斷，其中應包括反映實長的投影。,結論:AB與CD不平行,例2：判斷圖中兩條直線是否平行。,求出側面投影,如何判斷,54,2.兩直線相交,判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規律。,交點是兩直線的共有點,55,1(2),3(4),3.兩直線交叉,同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規律。,“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。,、是面的重影點，、是H面的重影點。,AB與CD兩直線相交嗎,投影特性：,結論：AB與CD兩直線不相交,56,兩直線垂直相交（或垂直交叉）,直角的投影特性：,若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。,設直角邊BC/H面因BCAB,同時BCBb所以BCABba平面,結論:直線在H面上的投影互相垂直,即abc為直角,因此bcab,故bcABba平面,又因BCbc,證明：,57,a,b,c,a,b,c,例4：過C點作直線與AB垂直相交。,AB為正平線,正面投影反映直角。,58,3.3.1平面的表示法,不在同一直線上的三個點,直線及線外一點,兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,2.4平面的投影,2.4.1平面的表示法,59,3.3.2各種位置平面的投影特性,平行,垂直,傾斜,實形性,類似性,積聚性,平面對一個投影面的投影特性,2.4.2各種位置平面的投影特性,60,平面在三投影面體系中的投影特性,平面對于三投影面的位置可分為三類：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面,平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面,與三個投影面都傾斜,61,投影面垂直面,(1)鉛垂面,62,（2）正垂面,投影特性：1)abc積聚為一條線2)abc、abc為ABC的類似形,63,（3）側垂面,投影特性1)abc積聚為一條線2)abc、abc為ABC的類似形,64,ABC為什么位置的平面,a,b,c,a,c,b,c,b,a,投影面垂直面,鉛垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,另外兩個投影面上的投影有類似性。,為什么？,積聚性,65,2.投影面的平行面：（1）水平面,投影特性：1)abc、abc積聚為一條線，具有積聚性2)水平投影abc反映ABC實形,66,（2）正平面,投影特性：1)abc、abc積聚為一條線，具有積聚性2)正平面投影abc反映ABC實形,67,（3）側平面,投影特性：1)abc、abc積聚為一條線，具有積聚性.2)側平面投影abc反映ABC實形,68,2.投影面平行面,積聚性,積聚性,實形性,結論：水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映實形。,另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。,69,3、一般位置平面,投影特性：1)abc、abc、abc均為ABC的類似形2)不反映、的真實角度,70,4.3.3平面上的直線和點,平面上取任意直線,2.4.3平面上的直線和點,71,有無數解。,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內任作一條直線。,解法一：,解法二：,根據定理一,有多少解,根據定理二,72,例2：在平面ABC內作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。,n,m,n,m,唯一解！,有多少解,73,平面上取點,先找出過此點而又在平面內的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。,