.,1.結構的彈塑性,普通鋼筋拉伸曲線,第12章,結構塑性分析的極限荷載,12-1概述,彈性階段I以后的的II、III兩條路經上的特性和承載能力。,兩曲線共同點，材料產生明顯變形且有殘余應變，但仍有承載能力。,殘余變形是材料不能恢復的變形。,.,彈性設計方法:結構上任一點的應力和應變都不許超過材料的屈服應力和屈服應變。,許用荷載法,.,2.理想彈塑性材料假設,線性模型,剛塑性模型,理想彈塑性模型,理想彈塑性材料假定：,(1)材料的拉壓性能相同,(2)加載時，材料曲線分彈性I和塑性II兩個階段。,(3)卸載時，卸載點在I、II兩個階段上是不同的。,總之，材料加載時呈彈塑性，卸載時呈彈性。,.,12-2極限彎矩和塑性鉸,純彎曲矩形截面梁,.,1、彈性極限彎矩Ms,在線彈性范圍內，純彎曲梁只受外力偶產生的彎矩，截面在變形后仍保持平截面，截面上的應變按截面高度線性分布，在中性軸處的應變等于零。,按結構的彈性設計方法，當截面的最外層纖維達到材料的屈服應力，即,此時達到截面的彈性極限狀態。用MMs,矩形截面,.,線彈性狀態,彈塑性及塑性流動階段,.,2、極限彎矩Mu,當截面達到彈性極限狀態外力偶繼續增大MMs以后，截面上的應變分布仍與截面高度呈線性關系，即平截面假定仍然適用，見圖14-2-1(c)。但截面上的應力分布不再與截面高度保持線性關系。,(1)截面的彈塑性階段,(2)截面的塑性流動階段,矩形截面在塑性極限狀態的極限彎矩,(d),.,(3)塑性鉸概念,當截面出現并不斷擴大塑性區進入彈塑性發展階段，直到整個截面被塑性區充滿的塑性極限狀態止，截面上應變的發展始終與截面高度成線性關系。即盡管這一階段塑性區上的應力停止在屈服應力值上，但應變仍與彈性核部分的應變分布斜直線共線發展。因此，當截面達到塑性極限狀態時，比彈性極限狀態的應變值顯著增大，由此產生的是該截面兩側無限靠近的兩個截面繞中性軸發生相對的轉動的相對角位移效應。,.,塑性鉸的以下特征：,(1)塑性鉸承受并傳遞極限彎矩Mu。(2)塑性鉸是單向鉸，只能使其兩側按與荷載增加（彎矩增大）相一致方向發生有限的轉動。(3)塑性鉸不是一個鉸點，而是具有一定的長度。,綜上所述，截面上各點應力均等于屈服應力的應力狀態、截面達到極限彎矩、截面形成塑性鉸，均表示該截面達到其塑性流動的極限狀態。,.,3.具有一個對稱軸截面的極限彎矩,(1)截面在塑性極限狀態的中性軸位置,截面上的應力應滿足：,.,在塑性極限狀態時截面上的軸力應滿足：,截面在塑性極限狀態的中性軸平分截面總面積A，即為截面的等面積軸。,上式只有在成立時才能滿足，即受拉區的面積須等于受壓區的面積。,.,(2)截面的極限彎矩Mu,已知在塑性極限狀態時截面的中性軸位置，可推導截面的極限彎矩如下。彎矩等于截面上應力對中性軸的合力矩，即：,式中積分為截面的面積凈矩，可寫成：,則極限彎矩可表示為：,.,彈性極限和塑性極限之間的彈塑性階段，中性軸界于截面的形心軸和等面積軸之間。,以上所討論的是梁在純彎受力和變形狀態下的截面的兩個階段的極限狀態和相應的極限彎矩。,對非純彎狀態梁，通常剪力對梁的承載力的影響可忽略。所以仍可利用以上概念和結果。利用以上二式計算截面極限彎矩。,.,12-2梁的極限荷載,研究梁的極限荷載，是尋找能使梁結構達到塑性極限狀態時的荷載值，也就是梁結構在喪失承載力之前所能承受的最大荷載值。,在上一節討論過的截面極限狀態（極限彎矩）的基礎上，本節討論結構的極限狀態（極限荷載）。,.,1.靜定梁的極限荷載,(a),(b),(c),.,(d),(e),.,(1).結構的極限狀態,極限荷載是相應于結構極限狀態時的荷載。,當MC,，機構I為破壞機構。,由式(b)知，,當,機構II為破壞機構。,當,=,機構I、II都是相應的破壞機構。,.,圖(d)、(f)、(h)是利用極限狀態時可能的極限彎矩圖由平衡條件進行計算的方法。由圖(h)所示極限彎矩圖的不可能將其排除。,由圖(f)分析可知，當,B截面彎矩值為：,時，,.,因此，圖(f)所示的可能極限彎矩圖成立。由平衡條件得：,當,=,由圖(f)按與上相同的過程可計算出：,.,也可將圖(f)中B處的彎矩豎標與D處的0鼠標連輔助線，由平衡條件得：,解得結果與前相同。,.,例14-3-2設圖(a)所示連續梁下側受拉（正彎矩）時，AB、BC的極限彎矩為Mu，CD跨為2Mu；上側受拉（負彎矩）時，均為相應跨下側受拉極限彎矩的1.2倍。求該梁的極限荷載。,(a),.,(b)可能破壞機構I,(c)可能破壞機構II,(d)可能破壞機構III,.,解：,可能機構I：,因為圖(a)所示連續梁的可能破壞機構可全部列出，可用窮舉法。見圖(b)、(c)、(d)。用破壞機構法計算各可能的極限荷載如下：,可能機構II：,(a),(b),式(b)可寫成：,(c),.,可能機構III：,(d),比較取最小荷載值，即機構I為連續梁極限狀態時的破壞機構，極限荷載為：,.,因為該計算結果大于前面計算的極限荷載，且該梁不可能另有截面出現塑性鉸，因其他截面的彎矩值均小于C、D兩截面的彎矩值，所以圖14-3-1(e)所示為梁的真實破壞機構，由其計算的荷載即為梁的極限荷載。,圖14-3-2,.,第4節,判定極限荷載的一般定理,.,本節給出幾個判定極限荷載的一般定理。,判定極限荷載一般定理的限定條件：,1)限定給結構加載的方式為按比例加載,2)限定僅在梁、剛架一類以彎曲變形為主的結構的范圍內。并假定：,a.材料為理想彈塑性材料。b.軸力和剪力對極限荷載的影響可以忽略不計。,.,1、極限狀態下的結構應滿足的條件,平衡條件,2)屈服條件（內力局限條件）,3)單向機構條件,在極限狀態下，結構的整體、或任一局部都滿足靜力平衡條件。,在極限狀態下，結構的任一截面上的彎矩值都不能超過截面的極限彎矩。,在極限狀態下，結構中有足夠多的截面的彎矩值達到其極限彎矩，形成塑性鉸，使結構成為機構，并可按荷載增加的方向作單向機構運動（剛體位移）。,.,下面給出兩個有意義的術語。,1)、可接受荷載,在結構的所有截面的彎矩都不超過截面極限彎矩，且結構處于任一內力可能的受力狀態下，由靜力平衡條件求得的荷載，叫可接受荷載。,2)、可破壞荷載,由結構的任一可能的單向機構，用靜力平衡條件求得的荷載，叫可破壞荷載。,注意：兩個求極限荷載的基本方法，及極限彎矩平衡法和破壞機構法，都是靜力平衡條件。,.,可接受荷載和可破壞荷載分別滿足結構極限狀態充要條件中的兩個條件。,即，,滿足1)、2)；,滿足1)、3)。,結構在極限狀態下的極限荷載,，應同時是,和,.,2、定理及證明,（1）基本定理：,可破壞荷載恒大于可接受荷載。即：,證明：先對結構的任一可能破壞機構的單向剛體虛位移，可建立虛功方程：,（a）,表示第i個塑性鉸的極限彎矩；,表示第i個塑性鉸的相對角位移或角位移。,.,再取結構的任一可接受荷載，讓該荷載在式(a)破壞機構的相同的虛位移上作虛功，虛功方程為：,（b）,為結構在可接受荷載作用下，與所取機構的第i個塑性鉸對應處的彎矩值（滿足屈服條件）。該彎矩值應以實際的受拉側與機構相應角位移的相對關系確定正負號，也就是說，式(b)右側的和式是代數和。,.,為所取機構第i個塑性鉸的角位移。因為該角位移是與式(a)取自同一個機構的虛位移，自然也可取其絕對值，以利與(a)式的比較。,由于,（或可接受荷載作用下的彎矩圖，即,圖）滿足屈服條件，即應有下式成立：,(c),，并同取和號，,現將式(c)等號兩側同乘以,得：,.,設結構有兩種不同的極限狀態，有與之相應的兩個不等的極限荷載,比較式(a)、(b)，上式即為：,即,成立,證畢。,2.唯一性定理（單值定理）：結構的極限荷載是唯一的。,證明：,。根據極限荷載應同時滿足既是可破壞荷載又是可接受荷載，先設,為可破壞荷載，,為可接受荷載，由基本定理知應有：,和,（a）,.,為可破壞荷載，,為可接受荷載，,再設,（b）,(a)、(b)兩式應同時成立，否則，、均為極限荷載的假設不能成立。而使該兩不等式同時成立的條件是：,（c）,即，和若為極限荷載，應是相等的。也即結構的極限荷載是唯一的。證畢。,.,3.上限定理（極小定理）：可破壞荷載是極限荷載的上限。或，極限荷載是可破壞荷載中的極小者。即：,（d）,4.下限定理（極大定理）：可接受荷載是極限荷載的下限。或，極限荷載是可接受荷載中的極大者。即：,（e）,.,證明：因為極限荷載同時是可接受荷載和可破壞荷載，當考慮為可接受荷載時，由基本,得式(D)：,上限定理證畢。,定理(A),同理，當考慮為可破壞荷載時，由基本,下限定理證畢。,得式(E)：,定理(A),.,以上四個定理，即是判定極限荷載的一般定理。其中基本定理用以證明上限和下限定理。其它三個定理則視所分析結構的實際情況選用。窮舉法依據上限（極小）定理和唯一性定理。當結構的所有可能破壞機構被找出后，可得相應的所有可能的可破壞荷載，其中極小者一定是極限荷載。當結構的可能破壞機構不能確定被全部找出，或全部找出很麻煩時，可利用上限和下限定理，由試算法確定結構的極限荷載。,.,例求圖(a)所示單跨梁的極限荷載。,已知梁截面的極限彎矩,圖(a),解法1：依據極小定理。,對圖(b)所示的破壞機構虛位移圖，建立虛功方程：,.,圖(b),均布荷載虛功：,即，荷載虛功=,極限彎矩虛功=,.,虛功方程：,整理后，得：,（a）,根據極限荷載判定定理中的極小定理，即，極限荷載是可破壞荷載中的極小值。對式(a)求一階導數應滿足,的極值條件，可求得x(C截面處塑性鉸位置)。,.,解方程：,整理得：,（b）,解方程（b），得：,舍去無意義根，得：,（c）,將式（c）代回式（a），得：,（d）,.,解法2：依據極大定理。,設梁在可接受荷載的作用下，有圖(c)所示彎矩圖形狀滿足屈服條件。梁端A彎矩峰值位置確定，令其等于極限彎矩；設跨中彎矩最大值發生在截面C處，當該最大彎矩值等于極限彎矩值時，梁上任意截面的彎矩都不會超過極限彎矩。,圖(c),.,1.根據疊加原理，可求得梁的支座反力為：,（a）,取C截面以右，C截面彎矩為：,將式(a)代入，并令,整理，得：,（b）,.,由極大定理，即極限荷載是可接受荷載的極大值，,由的極值條件求x。,（c）,解方程（c），得：,舍去不合理根，得：,（d）,.,因為式(d)所得x為可接受荷載為極大值時的塑性鉸位置，將其代入式(b)，則式(b)的可接受荷載既是結構的極限荷載。即：,結果同前。,.,例用試算法求圖示等截面連續梁的極限荷載,圖（a）,.,圖（b）,圖（c）,.,解：假定梁第一跨在可破壞荷載作用下喪失承載力，即第一跨成為可能的破壞機構，或如圖(b)所示的可能極限彎矩圖。由該可能極限彎矩圖的靜力平衡條件可得：,因荷載作用點k截面彎矩,又,所以：,.,驗算屈服條件：見圖(c)彎矩圖，可由解超靜定結構的方法的BC、CD兩跨的彎矩圖，其上無彎矩超出極限彎矩值，滿足屈服條件。所以該連續梁的極限荷載既是：,.,說明：試算法分為兩個大的計算步驟。先計算一個或若干個（不是全部）可能的可破壞荷載；然后由其中較小可破壞荷載對應的可能極限彎矩圖驗算其屈服條件。若滿足，既是結構的極限荷載。若不滿足，則要另尋找新的可能破壞機構，重復這兩個步驟。用試算法可求的極限荷載的近似解。即用極大、極小定理逼近方法。,.,第五節,剛架的極限荷載,.,確定剛架的極限荷載是比較復雜的。但當剛架中的軸力較小，如低層剛架，可忽略軸力的影響時，使用與梁的極限荷載相同的計算方法。,.,1、剛架的可能破壞機構,分析圖14-5-1(a)所示剛架，當只考慮彎曲變形對鋼架極限荷載的影響時，可能的破壞機構的形式可分為兩大類，即基本機構和組合機構。,.,(a),.,1)基本機構：梁機構，側移機構，結點機構。,剛架中單根桿件獨立形成的破壞機構叫梁機構。如圖(c)、(d)、(e)。,(c)梁機構II,.,(d)梁機構III,(e)梁機構IV,.,剛架中的某一層中的所有柱端都形成塑性鉸時，剛架整體將發生側移。如圖(f)，稱為側移機構。,(f)側移機構V,.,(b)結點機構I,當剛架中匯交于某一個結點的所有桿端（近端）及相應的遠端都形成塑性鉸時，該結點可單獨轉動，如圖(b)所示，稱為結點機構。,.,2)組合機構,有兩個及兩個以上的基本機構組合而成的機構稱組合機構。,(a)(II、V)組合VI,(b)(II、IV、V)組合VII,.,(c)(IV、V)組合VIII,(d)(III、V)組合VIIII,.,3)剛架可能破壞機構選擇的原則和方法,剛架極限荷載的確定主要用試算法。即先選擇一部分可能的破壞機構，計算相應的各可破壞荷載，取其中最小值驗算屈服條件。,.,判定剛架可能破壞機構原則：無論是基本機構還是組合機構，機構一定要滿足是一個自由度的可變體系。即可由一個坐標參變量確定其剛體位移。,選擇可能破壞機構的方法：基本機構應全部找出，然后從中選擇組成組合機構。,.,4)剛架基本機構數目的確定方法：,見圖14-5-1(a)所示剛架上短線標注的截面均是可能出現塑性鉸的截面，設剛架上可能出現塑性鉸的截面數為h，則本例剛架的h=11。,(a),.,在尋找剛架的基本機構時，可先由式J=h-n得出剛架應有的基本機構數，然后逐一列出。再選擇基本機構組合的組合機構。,設剛架的超靜定次數為n，則本例剛架的n=6。設剛架基本機構數為J，則本例剛架的J=h-n=11-6=5，既有5個基本機構。,.,2、剛架極限荷載計算舉例（試算法）,例14-5-1圖(a)所示剛架各桿的極限彎矩相同，求剛架的極限荷載。,(a),.,解：1、選擇可能的破壞機構,根據荷載情況，可知兩個基本機構為圖(b)、(c)所示I、II。,(b)梁機構I,(c)側移機構II,.,組合機構即是這兩個基本機構的組合，見圖(d)所示III。,(d)組合機構III,返回,.,注意，機構III結點D的塑性鉸消失。觀察該機構的形成過程，如果該機構是剛架的破壞機構，圖示的機構位移趨勢符合單向機構條件。在剛架的彈塑性發展過程中該位移趨勢是，桿CE與桿CB的弦轉角和結點C的角位移方向相反，弦轉角有增大兩桿相對角位移趨勢；而桿DE、DA兩桿的弦轉角方向與結點D的角位移方向相同，弦轉角有減小兩桿相對角位移趨勢。比較這兩種情況，當剛架成為機構時，后者兩桿無相對轉角，未達到極限彎矩。,.,2、選擇計算可破壞荷載,組合機構III：圖(d),側移機構II：圖(c),.,3、驗算側移機構的屈服條件,由于側移機構中交于塑性鉸處的桿端的彎矩為極限彎矩已知，只需求出衡量中點