.,1,14密度矩陣,14.1純態和混合態,一、定義,1.純態：,如果量子系統的態可以用Hilbert空間的一個矢量來描寫，這種態稱為純態。,兩個純態通過疊加可以得到另一個狀態,顯然也是Hilbert空間中的一個矢量，故也是純態。,.,2,注意：我們過去所討論的是某一物理量的取值概率。,2.混合態：,如果量子系統所處的狀態，由于統計物理的原因或量子力學本身的原因無法用一個態矢量來描寫，系統并不處在一個確定的態中，而是有可能處在,這種狀態沒法用態矢量來表示，稱為混合態。,.,3,比如，一個系統處在態的概率為，處于態的概率為。系統的這個態目前還無法作簡單的描寫，只能用下面的寫法來描述這個態,二、物理量A在純態和混合態中的平均值,通過研究這個問題看純態與混合態的區別。,對于純態,.,4,假設,則在上述純態中，物理量A取值的概率是,而在混合態中，若系統處在態，則A取的概率幅是。若系統處在態，則為。,系統既然以概率處于態，以概率處在態，那么A取的概率為,這與上式顯然不同。,.,5,具體到X表象，若純態的態函數為,則混合態的態函數可寫成,粒子處于點的概率在純態中為,而在混合態中為,.,6,前者是概率幅的相加而后者則是概率本身的相加。我們說微觀粒子表現波動性，正是指相干疊加而言。,由此可以看出，在純態中兩個態和發生干涉現象，而混合態則不發生干涉，各自表現出自己的位置概率。所以兩個態形成純態是相干疊加，而形成混合態是不相干疊加。,而在純態中，兩態疊加已形成一個新態，它原則上已不再原封不動具有原來兩個態的性質了。,在混合態中，系統有一定的概率處于態。當它處于此態時,它具有態所有的全部性質.對于態也是一樣。,.,7,三、兩點說明,有時會看到一種解釋，說在所表現的純態中，“是系統處于態的概率，是處于態的概率”，這種說法是不對的。,若把分別換成，這倒是對混合態的正確理解。,純態是一個全新的態，處于純態的系統，不再有可能處于態或態。,.,8,2.如果在中，都是某算符A的本征態，本征值分別為，則在純態中物理量A取值的概率確是。,但物理量取或的概率并不等于系統處于態和態的概率。系統處于態中，不見得取值。,比如算符B仍有取值的概率。對于純態來講，系統就是處于態，不存在“系統處在某態的概率”這一概念。,就看測哪一個力學量。,.,9,從統計規律性的角度看，由純態描寫的統計系綜稱為純粹系綜，而由混合態描寫的統計系綜稱為混合系綜。,下面看如何用一個單一的數學量來描述混合態。,14.2密度算符與密度矩陣,一.密度算符,1.定義,純態中的定義,設是Hilbert空間中的一個歸一化的矢量，用其來描寫狀態，則A在態中平均值可寫為,系綜（ensemble）：在一定的宏觀條件下，大量性質和結構完全相同的、處于各種運動狀態的、各自獨立的系統的集合。,.,10,密度算符與概率的關系,取一組基矢，利用其完全性關系有,這是一個新算符，稱為密度算符。它由態矢量完全確定。,注意構造密度算符時必須注意使用歸一化的態矢量。,我們再來看物理量A在態中取值的概率,這個概率是密度算符在本征態中的平均值。,定義,此時,.,11,由以上兩式可知，對于純態，凡是能用態矢給出的信息，都可以同樣用密度算符給出。因此是可以完全代替態矢量來描寫純態的另一種數學量。,混合態中的定義,取如下一般的混合態,先求物理量A在此混合態中的平均值。,.,12,在混合態中，一個物理量求平均值要通過兩次平均手續：,（2）統計物理平均求出各量子平均以不同的概率出現時的平均，即,（1）量子力學平均求出A在每一個中的平均值；,同樣利用一組基的完全性關系，有,.,13,如果令,稱為混合態的密度算符或統計算符。,同樣，在混合態中物理量A取值的概率應為量子力學的概率與統計物理的概率乘積之和，即,則,.,14,在混合態中測A的平均值,在混合態中測A得概率,上式連同式,與純態情況下的形式一樣，只不過混合態的密度算符是參與混合的那些純態的密度算符的加權平均。,.,15,來表示混合態方便多了。同時可以看到，純態是混合態的一個特殊情況。,至此，我們找到了密度算符這個量取描述混合態，是Hilbert空間中的一個算符，這比用下式,.,16,方程的推導,2.Liouville方程,在HP空間中，態矢量不含時，因此密度算符是一個不隨時間而變的算符,在SP空間中，密度算符則是一個含時算符,利用薛定諤方程,對上式進行求導，可得密度算符隨時間變化的規律,.,17,這就是密度算符的運動方程，稱為Liouville方程。,注意此式的形式與HP中描述物理量算符的運動方程,有所不同。,.,18,注意到跡的運算：,方程的應用舉例,可以利用Liouville方程計算一個不顯含時間的物理量在混合態中的平均值隨時間的變化,trA,BC=tr(ABC-BAC)=tr(BCA-BAC)=trB(CA-AC)=trBC,A,這正是初量中所學的公式力學量的平均值隨時間的變化。,則有,.,19,3.密度算符的性質,對一個一般的混合態,其中是參與構成混合態的那些態，是相應的權重。,通常是系統哈密頓的各個本征態，因此構成一組基矢。,但當哈密頓有簡并本征值時,未必是互相正交的,所以在下面混合態性質的討論和證明中，盡可能不用互相正交的條件，也不要求它們一定線性相關，只要求它們是歸一化的。,對于純態,.,20,密度算符的跡,有,證明,.,21,不重疊,因為當時,又,所以,對于,.,22,而當時，這是個純態，顯然,從另一方面講，若是個純態，并用表示，則,那么,顯然上述證明不論是否兩兩正交都是成立的。,.,23,密度算符的厄米性,若K表象的基矢為，則密度算符的矩陣元（后面還要介紹）可寫為,所以密度算符是厄米算符。,由此引出第三個性質：,.,24,厄米算符本征矢量的混合態的性質,1)若混合態是由一系列相互正交態構成，即對一切i,j成立，則密度算符的本征矢量就是參與構成此混合態的那些態，而相應的本征值就是權重，即,證明,對于不是兩兩正交的情況，這一性質不成立。但在這種情況下，密度算符仍是厄米算符，因而肯定有一系列本征矢,并設為,相應的本征值為，即,.,25,則密度算符肯定可以寫成,而作為厄米算符的本征矢，肯定彼此正交。,2)由前面的討論可知，當參與構成混合態的各態（參與態）不全正交時，我們還可以用另外一套正交的參與態構成一個相同的密度算符。,問題：這兩組混合態是否相同的態？,兩種看法：,1從實驗角度看，與兩式所表示的是分別由兩套不同的參與態構成的混合態，當然是不同的態；,.,26,從理論角度看，對于這兩個混合態，量子力學所能得到的信息又是完全一樣的。從密度算符上完全無法判別它們的不同，因此又可以認為是同一個混合態。我們采用后一種看法。,3一個密度算符為的混合態，可以用不同參與態以不同權重構成,但若要求參與態彼此正交,則只有一種構成方式，這時參與態就是本征態。,這樣很自然地產生一個問題：能否只用一組基矢作為參與態，把系統所有的混合態表現出來？,從混合態中能得到什么量子力學信息？,如某一力學量在其中取某個本征值的概率。,.,27,用完全性關系作用于的左右兩邊，有,我們試一下：,即必須滿足兩個必要條件，即,令,這樣,則,.,28,由以上三式可見，用一組正交基表現一個系統的全部混合態是可能的。,一個系統的任何混合態都可以用任何一組正交基表示成如下形式,.,29,這個形式的密度算符可以認為是形式的推廣。這時不一定是混合態的參與態。,當是參與態時,(14.27)恢復為上式。,當系統的混合態的參與態不是,而是其它正交基或是不完全正交的一組態時，系統的混合態就要用(14.27)表示。式中的可以看成是的推廣。,其實就是以為基的密度矩陣。,.,30,二.約化密度矩陣,1.定義,密度算符在一個具體表象中的矩陣表示稱為密度矩陣。在SP表象中，密度矩陣是含時的，而在HP表象中則是不含時的。,設K表象的基矢為，則K表象中的密度矩陣為,.,31,常常用到位置表象中的密度矩陣。這時密度矩陣是以連續編號的連續矩陣：,其跡為,如果參與構成混合態的都是物理量K的本征態，則這個混合態在K表象中的密度矩陣是對角矩陣，其對角元是相應的本征值。,.,32,2.約化密度矩陣,常常有這樣的情況，有一個大系統，而希望求平均值的那個物理量只與系統的一部分有關。例如在粒子1,2構成的系統中，希望求粒子1的某一物理量F(1)的平均值。這時上述所有的內容仍舊適用。不過可以做一些簡化。,對上述提到的雙粒子系統，設粒子1和2各有一組基矢。則在1,2兩粒子空間的直積空間中，系統態矢的一般形式為,為使歸一化，系數應滿足,.,33,處于純態時，系統的密度算符是,則密度矩陣元是,現在求粒子1的某物理量F(1)的平均值：,比較式,.,34,即,令,的意思是只對粒子2取跡，取跡后的仍是粒子1空間的算符，稱為描寫粒子1的約化密度算符；,它在粒子1的某一表象（例如以為基矢的表象）中的矩陣，稱為粒子1的約化密度矩陣。,.,35,這一表示完全與粒子2無關，是一個只在粒子1空間中的關系。,即,由上式可知，在一個雙粒子系統中，只討論一個粒子的物理量的平均值，其關系與粒子1處于一個單粒子狀態時的一樣。,這樣F(1)的平均值成為,.,36,這是一與式相同類型的密度算符。,.,37,14.3例題,關于自旋態的例子,例1設是自旋的本征態，分別對應于本征值，比較下列的純態和混合態,純態:,混合態:,解:,我們取表象，設,.,38,（1）純態:,.,39,注意：與通常方法所算出的平均值一樣。,同理可得,（2）混合態:,由此算出,.,40,（3）討論,由所得結果可明顯看出，混合態確是兩個態的不相干疊加：在混合態中保存了原有兩態的特點，如在態中，的平均值均為零，即,在這兩個態的混合態中，平均值仍保持為零，而的平均值為原兩態的加權平均，即,.,41,所以可以說，處于混合態中的粒子，以權重處于態中，以權重處于態中。,.,42,因此不能說，處于純態中的粒子“部分地處于態，部分地處于態”。,可見當討論兩個態疊加成一個純態時，僅僅用一個算符（如）的本征態為例來說明是不夠的。只有用一個算符（如）的兩個非本征態才能明顯看出純態與同權重的混合態的不同。,而純態則不相同.本例的純態有意選擇，的平均值與混合態相同。但兩個態疊加后出現了原態中都沒有的性質:疊加態中平均值不再為零。,.,43,把表象基矢稍微改變一下，給換一相因子，取,在則純態的密度矩陣發生很大變化：,由此得出,.,44,平均值也發生了很大變化，顯然已經不是原來那個純態了。此時混合態的密度矩陣為,可見并沒有發生變化。這就是說，在相干疊加構成純態時，兩個態的相因子非常重要。,嚴格來說，本例開頭問題的提法是不完全的，因為只給出了，而沒有給出其相對相位。選擇基矢時必須連同相位一起選定。,.,45,是密度算符，其本征矢量與本征值很容易算出為,解：這個態的密度矩陣是,可以算出,例2研究下列混合態,.,46,例3討論一個約化密度矩陣。設有一個雙粒子系統，第一個是電子，第二個是質子。設在二粒子自旋空間的直積空間中，4個基矢的次序及定義如下：,(14.38)式所表示的混合態，其密度矩陣是(14.37)式，與（14.36）式所表示的混合態密度矩陣相同。通常認為(14.36)式與（14.38）式是相同的混合態。前者的參與態是不正交的，而后者則是正交的。,（14.38）,.,47,現在取這個雙粒子系統的一個純態,求其中電子自旋的平均值。,首先用整個系統的密度矩陣來做，然后再用約化