第七章常微分方程 實際中 很多問題的數學模型都是微分方程 我們可以研究它們的一些性質 但是 只有極少數特殊的方程有解析解 對于絕大部分的微分方程是沒有解析解的 常微分方程作為微分方程的基本類型之一 在自然界與工程界有很廣泛的應用 很多問題的數學表述都可以歸結為常微分方程的定解問題 很多偏微分方程問題 也可以化為常微分方程問題來近似求解 本章討論常微分方程的數值解法 對于一個常微分方程 通常會有無窮個解 如 因此 我們要加入一個限定條件 通常會在端點出給出 如下面的初值問題 為了使解存在唯一 一般 要加限制條件在f上 要求f對y滿足Lipschitz條件 常微分方程的解是一個函數 但是 計算機沒有辦法對函數進行運算 因此 常微分方程的數值解并不是求函數的近似 而是求解函數在某些節點的近似值 例 我們對區間做等距分割 設解函數在節點的近似為 由數值微分公式 我們有 則 向前差商公式 可以看到 給出初值 就可以用上式求出所有的 基本步驟如下 解差分方程 求出格點函數 數值方法 主要研究步驟 即如何建立差分方程 并研究差分方程的性質 這種方法 稱為數值離散方法 求的是在一系列離散點列上 求未知函數y在這些點上的值的近似 我們的目的 就是求這個格點函數 為了考察數值方法提供的數值解 是否有實用價值 需要知道如下幾個結論 步長充分小時 所得到的數值解能否逼近問題得真解 即收斂性問題 誤差估計 產生得舍入誤差 在以后得各步計算中 是否會無限制擴大 穩定性問題 7 1Euler公式 做等距分割 利用數值微分代替導數項 建立差分方程 1 向前差商公式 所以 可以構造差分方程 稱為局部截斷誤差 顯然 這個誤差在逐步計算過程中會傳播 積累 因此還要估計這種積累 記為 2 收斂性 考察局部誤差的傳播和積累 稱為整體截斷誤差 是1階方法 3 穩定性 誤差在以后各步的計算中不會無限制擴大 是格式對舍入誤差的抑止作用 我們考慮一種簡單情況 即僅初值有誤差 而其他計算步驟無誤差 設 是初值有誤差后的計算值 則 所以 我們有 可以看出 向前差商公式關于初值是穩定的 當初始誤差充分小 以后各步的誤差也充分小 4 向后差商公式 是隱格式 要迭代求解 可以由向前差商公式求出 5 中心差商公式 是多步 2階格式 該格式不穩定 6 梯形法 基于數值積分的公式 對微分方程 做積分 則 類似 可以算出其誤差估計式 2階的方法 所以 有格式為 是個隱式的方法 要用迭代法求解 局部截斷誤差 7 2Runge Kutta法 由Taylor展開 記為 所以 可以構造格式 這種格式使用到了各階偏導數 使用不便 從另一個角度看 取 x y 及其附近的點做線性組合 表示F 問題就好辦了 當然 要求此時的展開精度相同 這種方法稱為Runge Kutta法 在 x y 處展開 比較 以2階為例 設 有 1 改進的Euler公式 2 Heun公式 一般的Runge Kutta法構造 常見的為3階 4階公式 7 3線性多步法 用若干節點處的y及y 值的線性組合來近似y xn 1 其通式可寫為 當 1 0時 為隱式公式 1 0則為顯式公式 基于數值積分的構造法 若積分 用節點 作為積分點 則有 積分系數 這是顯格式 q 1階r 1步格式 r max p q 為積分節點 可以構造r 1步q 1階隱格式 局部截斷誤差 同樣 若以 例 建立p 1 q 2的顯格式 p 1 q 2 顯格式 積分區間為 積分節點為 所以 例 建立p 2 q 2的隱格式 p 2 q 2 隱格式 積分區間為 積分節點為 所以 它的截斷誤差較顯格式小 通常也具有更好的穩定性 Adams公式 p 0時候的多步法 參見書 7 4方程組和高階方程的數值解法 寫成向量的形式 各種方法都可以直接運用過來 Euler公式 以兩個方程的方程組為例 Runge Kutta公式 1 2 確定方法 然后求解 0 202760 0881157 0 2130070 0934037 0 2237630 0988499 0 2350520 104437 0 2469020 110146 4階Runge Kutta法 h 1 高階方程 則有 令 例 考察初值問題在區間 0 0 5 上的解 分別用歐拉顯 隱式格式和改進的歐拉格式計算數值解 1 0000 2 00004 0000 8 00001 6000 101 3 2000 101 1 00002 5000 10 16 2500 10 21 5625 10 23 9063 10 39 7656 10 4 1 00002 50006 25001 5626 1013 9063 1019 7656 101 1 00004 9787 10 22 4788 10 31 2341 10 46 1442 10 63 0590 10 7 Whatiswrong 7 5差分方程的絕對穩定性 對于一般的差分方程 由初始誤差產生了差分解的誤差 實際上是同一差分方程 取不同初值所得到的2組差分解之間的差 這個差不僅于差分方程本身有關 而且與微分方程本身有關 如果微分方程本身是不穩定 那就沒理由要求這2組解充分接近 因此 差分方程的穩定性概念是建立在微分方程穩定的基礎上的 把這個典型微分方程規定為 仍然考慮最簡單的模型 即只有初值產生誤差 看看這個誤差的傳播 差分方程運用到如上的微分方程后 可以得到 對于