1 1問題的提出 化工設計及化工模擬計算中 有大量的物性參數及各種設備參數 實驗測量得到的常常是一組離散數據序列 xi yi 圖1 1所示為 噪聲 圖1 2所示為無法同時滿足某特定的函數 圖1 1含有噪聲的數據 圖1 2無法同時滿足某特定函數的數據序列 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 1問題的提出 在化學化工中 許多模型也要利用數據擬合技術 求出最佳的模型和模型參數 如在某一反應工程實驗中 我們測得了如表1 1所示的實驗數據 表1 1 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 1問題的提出 確定在其他條件不變的情況下 轉化率y和溫度T的具體關系 現擬用兩種模型去擬合實驗數據 兩種模型分別是 1 2 1 3 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 2擬合的標準 向量Q與Y之間的誤差或距離有以下幾種定義方法 1 用各點誤差絕對值的和表示 2 用各點誤差按絕對值的最大值表示 3 用各點誤差的平方和表示 1 4 1 5 1 6 R稱為均方誤差 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 2擬合的標準 由于計算均方誤差的最小值的原則容易實現而被廣泛采用 按均方誤差達到極小構造擬合曲線的方法稱為最小二乘法 同時還有許多種其他的方法構造擬合曲線 感興趣的讀者可參閱有關教材 本章主要講述用最小二乘法構造擬合曲線 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 2擬合的標準實例 實驗測得二甲醇 DME 的飽和蒸汽壓和溫度的關系如下表 表1 2DME飽和蒸氣壓和溫度的關系 由表1 2的數據觀測可得 DME的飽和蒸汽壓和溫度有正相關關系 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 2擬合的標準實例 如果以直線擬合p a bt 即擬合函數是一條直線 通過計算均方誤差Q a b 最小值而確定直線方程 見圖1 3 圖1 3DME飽和蒸汽壓和溫度之間的線性擬合 擬合得到得直線方程為 相關系數R為0 97296 平均絕對偏差SD為0 05065 1 8 1 7 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 2擬合的標準實例 如果采用二次擬合 通過計算下述均方誤差 擬合得二次方程為 1 9 1 10 相關系數為R為0 99972 平均絕對偏差SD為0 0056 具體擬合曲線見圖1 4 圖1 4DME飽和蒸汽壓和溫度之間的二次擬合 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 2擬合的標準實例 比較圖1 3和圖1 4以及各自的相關系數和平均絕對偏差可知 對于DME飽和蒸汽壓和溫度之間的關系 在實驗溫度范圍內用二次擬合曲線優于線性擬合 二次擬合曲線具有局限性 由圖1 4觀察可知 當溫度低于 30 時 飽和壓力有升高的趨勢 但在擬合的溫度范圍內 二次擬合的平均絕對偏差又小于一次擬合 故對物性數據進行擬合時 不僅要看在擬合條件下的擬合效果 還必須根據物性的具體性質 判斷在擬合條件之外的物性變化趨勢 以便使擬合公式在已做實驗點數據之外應用 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3單變量擬合和多變量擬合 1 3 1單變量擬合1 3 2多變量的曲線擬合 1 3 1單變量擬合線性擬合 給定一組數據 xi yi i 1 2 m 做擬合直線p x a bx 均方誤差為 1 11 Q a b 的極小值需滿足 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1單變量擬合線性擬合 整理得到擬合曲線滿足的方程 或 1 12 稱式 1 12 為擬合曲線的法方程 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1單變量擬合線性擬合 可用消元法或克萊姆方法解出方程 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1單變量擬合線性擬合實例 例1 1 下表為實驗測得的某一物性和溫度之間的關系數據 表中x為溫度數據 y為物性數據 請用線性函數擬合溫度和物性之間的關系 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1單變量擬合線性擬合實例 解 設擬合直線 并計算得下表 將數據代入法方程組 1 12 中 得到 解方程得 a 8 2084 b 0 1795 擬合直線為 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1單變量擬合二次擬合函數 給定數據序列 xi yi i 1 2 m 用二次多項式函數擬合這組數據 1 13 由數學知識可知 Q a0 a1 a2 的極小值滿足 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1單變量擬合二次擬合函數 整理上式得二次多項式函數擬合的滿足條件方程 1 14 解此方程得到在均方誤差最小意義下的擬合函數p x 方程組 1 14 稱為多項式擬合的法方程 法方程的系數矩陣是對稱的 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1單變量擬合二次擬合函數 上面是二次擬合基本類型的求解方法 和一次擬合一樣 二次擬合也可以有多種變型 例如 套用上面的公式 我們可以得到關于求解此擬合函數的法方程 1 15 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1單變量擬合二次擬合函數 如果我們需要求解是下面的擬合函數 參照上面的方法 我們很容易得到求解該擬合函數的法方程 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1單變量擬合二次擬合實例 例1 2 請用二次多項式函數擬合下面這組數據 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1單變量擬合二次擬合實例 解 設 由計算得下表 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1單變量擬合二次擬合實例 將上面數據代入式 1 14 相應的法方程為 解方程得 a0 0 66667 a1 1 39286 a2 0 13095 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 1單變量擬合二次擬合實例 擬合曲線的均方誤差 結果見圖1 6 二次曲線的擬合程序可利用后面介紹的單變量n次擬合程序 圖1 6擬合曲線與數據序列 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 2多變量的曲線擬合 實際在化工實驗數據處理及模型參數擬合時 通常會碰到多變量的參數擬合問題 一個典型的例子是傳熱實驗中努塞爾準數和雷諾及普蘭德準數之間的擬合問題 1 16 求出方程 1 16 中參數c1 c2 c3 這是一個有兩個變量的參數擬合問題 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 2多變量的曲線擬合 為不失一般性 我們把它表達成以下形式 給定數據序列用一次多項式函數擬合這組數據 設 作出擬合函數與數據序列的均方誤差 1 17 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 2多變量的曲線擬合 由多元函數的極值原理 Q a0 a1 a2 的極小值滿足 整理得多變量一次多項式函數擬合的法方程 1 18 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 2多變量的曲線擬合 通過求解方程 1 18 就可以得到多變量函數線性擬合時的參數 我們可以通過對方程 1 16 兩邊同取對數 就可以得到以下線性方程 1 19 只要作如下變量代換 并將實驗數據代入法方程 1 18 就可以求出方程 1 16 中的系數 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 2多變量的曲線擬合實例 例1 3 根據某傳熱實驗測得如下數據 請用方程1 16的形式擬合實驗曲線 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 解 利用已給的VB程序 將數據依次輸入 就可以得到方程1 16中的三個參數 1 3 2多變量的曲線擬合實例 則1 16式就變成了常見的光滑管傳熱方程 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 如果擬合方程的形式和方程1 16不同 則需對上面提供的程序作適當修改 如對以下兩個自變量的擬合函數 其中n1和n2是已知系數 我們可以將看作 看作 得到上面擬合函數的法方程 1 3 2多變量的曲線擬合實例 1 20 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組 用最小二乘法求解線性矛盾方程的方法來構造擬合函數 并將其推廣至任意次和任意多個變量的擬合函數 給定數據序列 xi yi i 1 2 m 做擬合直線p x a0 a1x 如果要直線p x 過這些點 那么就有p xi a0 a1xi yi i 1 2 m 即 矩陣形式 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組 一般地 將含有n個未知量m個方程的線性方程組 矩陣形式 一般情況下 當方程數n多于變量數m 且m個方程之間線性不相關 則方程組無解 這時方程組稱為矛盾方程組 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組 方程組在一般意義下無解 也即無法找到n個變量同時滿足m個方程 這種情況和擬合曲線無法同時滿足所有的實驗數據點相仿 故可以通過求解均方誤差極小意義下矛盾方程的解來獲取擬合曲線 由數學的知識還將證明 方程組ATAX ATb的解就是矛盾方程組AX b在最小二乘法意義下的解 這樣我們只要通過求解ATAX ATb就可以得到矛盾方程的解 進而得到各種擬合曲線 為擬合曲線的求解提高了另一種方法 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組 例如 擬合直線p x a0 a1x的矛盾方程組ATAX ATb的形式如下 化簡得到與式 1 12 相同的法方程 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組 對于n次多項式曲線擬合 要計算Q a0 a1 an 的極小問題 這與解矛盾方程組 或 與求 的極小問題是一回事 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組 在這里 故對離散數據 xi yi i 1 2 m 所作的n次擬合曲線y 可通過解下列方程組求得 1 21 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組 如果擬合函數有n個自變量并進行一次擬合 則其擬合函數為 1 22 通過m m n 次實驗 測量得到了m組 的實數據 則可得到上面n個自變量擬合函數的法方程 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組 只要對法方程 1 22 稍加修改 就可以得到有n個自變量的任意次方的擬合函數的法方程 通過法方程的求 就可以得到擬合函數中的各項系數 1 23 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組實例 例1 4 利用解矛盾方程的方法 用二次多項式函數擬合下面數據 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組實例 解 記二次擬合曲線為 形成法方程 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組實例 得到 解方程得到 a0 0 66667 a1 1 39286 a2 0 13095 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組實例 例1 5 給出一組數據 見下表 用解矛盾方程的思路將下面數據擬合成的經驗公式 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組實例 解 列出法方程 而 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 4解矛盾方程組實例 故法方程為 解方程得 a 10 675 b 0 137擬合曲線為 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 5梯度法擬合參數 前面已經提到函數擬合的目標是使擬合函數和實際測量值之間的差的平方和為最小 也就求下面函數的最小值 minQ a0 a1 an 1 24 對于最小值問題 梯度法是用負梯度方向作為優化搜索方向 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 5梯度法擬合參數 梯度是一個向量 如果們用向量變量U來表示所有的擬合系數a0 a1 an 用函數f U 來代替Q a0 a1 an 則函數下降最快的方向為 Sk f U 1 25 在梯度法中 新點由下式得到Uk 1 UK kf UK 1 26 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 5梯度法擬合參數 梯度法的計算步驟為 1 選擇初始點U0 2 用數值法 或解析法 計算偏導數 3 計算搜索方向向量 Sk 4 在Sk方向上作一維搜索 即求解單變量 優化問題f Uk Sk 由一維搜索的解k 求出新點 Uk 1 Uk kSk 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 5梯度法擬合參數 5 作停止搜索判別 若不滿足精度要求 返回步驟 2 重復進行計算 梯度法停止搜索的判據為 這個算法的優點是迭代過程簡單 要求的存貯也少 而且在遠離極小點時 函數的下降還是比較快的 因此 常和其它方法結合 在計算的前期使用此法 當接近極小點時 再改用其它的算法 如共軛梯度法 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 5梯度法擬合參數 共軛梯度法的計算步驟為 1 選擇初始點U0或其它方法計算得到的最后點 2 計算梯度g0 f U0 以負梯度方向作為初始搜索方向S0 g0 3 在S0方向上作一維搜索 得到新點U1 U1 U0 S0 4 計算U1點的梯度g1 f U1 新的搜索方向S1 即共軛方向 為S0與g1的線性組合 S1 g1 S0 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 5梯度法擬合參數 對于k 1 上式為Sk 1 gk 1 Sk可以證明 由上式得到的方向Sk 1與Sk共軛 對于多元函數 在n次搜索后 n為變量數 令U0 Uk 1 然后回到第1步 重新計算共軛方向 5 作停止搜索判據 若滿足 則停止搜索 否則回到第2步 進行重復計算 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 5梯度法擬合參數實例 例1 8利用梯度法 用Antoine公式擬合DEM飽和蒸氣壓和溫度之間的關系 解 分析Antoine公式的形式 如果采用解矛盾方程法求解 在進行函數和變量變換后 仍需要進行對C的優化求解 而采用梯法 可直接優化求解 其優化函數為 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 6吸附等溫曲線回歸 總目錄 本章目錄 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 6 1吸附等溫曲線的常見類型1 6 2幾種常用的吸附等溫曲線回歸方法1 6 3回歸