AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 第3章靜定梁和靜定剛架的受力分析 本章教學的基本要求 靈活運用隔離體平衡法 截面法 計算指定截面的內力 熟練掌握靜定梁和靜定平面剛架內力圖的作法 了解空間剛架內力圖繪制的方法 本章教學內容的重點 繪制靜定梁和靜定平面剛架的內力圖 這是本課程最重要的基本功之一 本章教學內容的難點 用隔離體平衡法計算任一指定截面的內力 用區(qū)段疊加法繪彎矩圖 根據彎矩圖和所受荷載繪出剪力圖和軸力圖 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 本章內容簡介 3 1單跨靜定梁 3 2多跨靜定梁 3 3靜定平面剛架 3 4 靜定空間剛架 第3章靜定梁和靜定剛架的受力分析 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 1單跨靜定梁 單跨靜定梁的內力分析和內力圖的繪制 是多跨梁和剛架受力分析的基礎 是本課程最重要的基本功之一 常見的單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 1 1用隔離體平衡法計算指定截面內力 計算指定截面內力的基本方法是隔離體平衡法 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 切 取 力 平 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 第一 切 設想將桿件沿指定截面切開 第二 取 取截面任一側部分為隔離體 第三 力 這是該方法最關鍵的一步 一是勿忘在隔離體上保留原有的全部外力 包括支反力 二是必須在切割面上添加要求的未知內力 所求的軸力和剪力 按正方向添加 軸力以拉力為正 剪力以繞隔離體順時針方向轉動者為正 而所求的彎矩 其方向可任意假設 只需注意在計算后判斷其實際方向 并在繪彎矩圖時 繪在桿件受拉一側 第四 平 利用隔離體平衡條件 直接計算截面的內力 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 1 任意截面的軸力等于該截面一側所有外力沿桿軸切線方向的投影代數和 2 任意截面的剪力等于該截面一側所有外力沿桿軸法線方向的投影代數和 3 任意截面的彎矩等于該截面一側所有外力對某點 例如該截面形心 的力矩代數和 注意 如果截面內力計算結果為正 或負 則表示該指定截面內力的實際方向與所假設的方向相同 或相反 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 1 2內力圖的特征 1 荷載與內力之間的微分關系 以上微分關系的幾何意義是 剪力圖在某點的切線斜率等于該點的荷載集度 但兩者的正負號相反 彎矩在某點的切線斜率等于該點的剪力 彎矩在某點的曲率與該點的荷載集度成正比 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 2 內力圖的特征 1 在均布荷載區(qū)段 q 常數 FQ是x的一次式 FQ圖是斜直線 M是x的二次式 M圖是二次拋物線 且其突出方向與荷載指向相同 2 無荷載區(qū)段 q 0 1 一般情況下 CD段 M圖為斜線 FQ圖為水平線 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 2 特殊情況之一 桿端無橫向荷載 可有軸向荷載 作用 AB段 M 0 FQ 0 3 特殊情況之二 純彎曲 BC段 M圖為水平線 FQ 0 2 內力圖的特征 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 在集中荷載作用處 剪力有突變 其突變值等于該集中荷載值 彎矩圖有尖角 尖角突出方向與荷載指向相同 2 內力圖的特征 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 4 在集中力偶作用處 剪力圖無變化 彎矩圖有突變 該處左右兩邊的彎矩圖形的切線相互平行 即切線的斜率相同 突變值等于該集中力偶值 2 內力圖的特征 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 5 M圖的最大值發(fā)生在FQ圖中FQ 0點處 利用內力圖的上述特征 可不列出梁的內力方程 而只須算出一些表示內力圖特征的截面 稱為控制截面 的內力值 就能迅速地繪出梁的內力圖 2 內力圖的特征 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 1 3用區(qū)段疊加法繪直桿的彎矩圖 1 記住簡單直梁在一些單一荷載作用下的彎矩圖 要求根據材料力學課程所介紹的方法 計算 繪制并熟記常見幾個最基本的彎矩圖形 彎矩圖繪在桿件受拉一側 不標注正負號 可借用柔繩比擬的方法 定性地理解前面7個簡支梁彎矩圖的輪廓圖 即這些彎矩圖如同一根兩端繃緊的橡皮筋受圖示力作用后的形狀 當桿端有外力偶作用時 可將表示力偶的圓弧箭頭順其原指向繪于桿端外側 則箭尾一側受拉 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 簡單直梁在單一荷載作用下的彎矩圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 簡單直梁在單一荷載作用下的彎矩圖 續(xù)1 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 1單跨靜定梁 簡單直梁在單一荷載作用下的彎矩圖 續(xù)2 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 2 區(qū)段疊加法繪彎矩圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 上述作簡支梁彎矩圖的疊加法 可以推廣應用于結構中任一直桿段的彎矩圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 第一種情況 對于常見的直線圖形疊加直線圖形或直接圖形疊加曲線圖形的情況 可按以下三個步驟進行 1 一求控制彎矩 首先 是求兩桿端的彎矩 常可直接判斷 對于簡支梁兩端鉸支處 懸臂梁的懸臂端 若無集中力偶作用 其彎矩為零 若有集中力偶作用 其彎矩即等于該集中力偶 其次 是求外力不連續(xù)點處的彎矩 如集中力作用點 均布荷載的起點和終點 集中力偶作用點兩側的彎矩 用隔離體平衡法即可方便求得 區(qū)段疊加法繪彎矩圖小結 2 二引直線相連 將相鄰二控制彎矩用直線相連 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 當二控制截面間無橫向荷載作用時 用實線連接 即為該區(qū)段彎矩圖形 當二控制截面間尚有橫向荷載作用時 則用虛線連接 作為新的 基線 然后再按下面第3 步進行疊加 3 三疊簡支彎矩 在新的基線上 疊加該區(qū)段按簡支梁僅承受跨間橫向荷載作用時所求得的彎矩圖 注意 豎標垂直于原桿軸 區(qū)段疊加法繪彎矩圖小結 續(xù) 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 區(qū)段疊加法分步示意圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 區(qū)段疊加法分步示意圖 續(xù) 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 第二種情況 對于曲線彎矩圖疊加曲線彎矩圖的情況 找出一些控制截面彎矩值 至少三點 中間連以適當曲線 主要是定好彎曲方向 一般為連續(xù)光滑曲線 區(qū)段疊加法繪彎矩圖小結 續(xù) 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 1 4根據彎矩圖繪剪力圖 利用微分關系 可方便地根據彎矩圖繪剪力圖 1 當彎矩圖為直線變化時 第一 關于FQ的正負 AC段 M圖 下坡 即M為增函數 則其相應的FQ為正 M的一階導數FQ 0 CB段 M圖 上坡 M為減函數 則其相應的FQ為負 M的一階導數FQ 0 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 第二 關于FQ的大小 可由M圖形的坡度 斜率 確定 即FQ DM l 其中 l為該區(qū)段長度 M為M圖中該區(qū)段兩端點二彎矩值的高差 而且區(qū)段內M圖形 坡度 愈陡 剪力值越大 坡度 愈緩 剪力值愈小 坡度 為零 即M圖為水平線 則剪力值為零 無剪力 若相鄰兩區(qū)段M圖形 坡度 相同 即當有集中力偶作用時 則該兩區(qū)段剪力值亦相同 3 1 4根據彎矩圖繪剪力圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 現將以上關于FQ的正負和大小的規(guī)律 小結如下 當彎矩圖為直線變化時 其剪力 式中 l為區(qū)段長度 M為該區(qū)段兩端彎矩值 高差 3 1 4根據彎矩圖繪剪力圖 FQ 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 以上規(guī)律同樣適用于豎桿或斜桿 只是須注意 先假想將該桿 放平 即繞該桿下端順時針或反時針方向轉動到水平位置 再遵循 沿桿軸由左向右看 這一前提條件 3 1 4根據彎矩圖繪剪力圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 2 當M圖為二次拋物線變化時 根據M與FQ的微分關系可判定 該FQ圖為斜直線 一次式 因此 只需按照 一求兩端剪力 隔離體平衡法 二引直線相連 的步驟 即可繪出該區(qū)段的FQ圖 3 1 4根據彎矩圖繪剪力圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 例3 1 試根據圖示彎矩圖 繪出相應的剪力輪廓圖 3 1單跨靜定梁 解 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 1 5斜梁 房屋中的樓梯梁和坡屋面梁 是常見的桿軸傾斜的斜梁 1 計算特點 斜梁內力不僅有彎矩M 剪力FQ 還有軸力FN 2 荷載簡化 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 反力及內力計算 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 反力及內力計算公式小結 1 反力 2 內力 3 1單跨靜定梁 即 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 例3 2 試求作圖示斜梁的內力圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 例3 3 試求作圖示斜梁的內力圖 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 例3 4 試求作圖示三折斜梁的內力圖 a 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 1單跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 2多跨靜定梁 3 2 1組成特點 構造分析 1 三種組成形式 a 基本形式之一及其層次圖 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 2多跨靜定梁 b 基本形式之二及其層次圖 c 混合組成及其層次圖 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 2 基本部分和附屬部分基本部分 主要部分 能獨立承載的部分 附屬部分 次要部分 需依賴于基本部分的支承方能承載的部分 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 2 2力的傳遞 由附屬部分向基本部分傳遞 且當基本部分受荷載時 附屬部分無內力產生 當附屬部分受荷載時 基本部分有內力產生 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 2 3計算步驟 采用分層計算法 其關鍵是分清主次 先 附 后 基 計算反力和內力 其步驟為 1 作層次圖 2 計算反力 3 繪內力圖 4 疊加 注意鉸處彎矩為零 5 校核 利用微分關系 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 例3 5 試求作圖示多跨靜定梁的內力圖 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 例3 6 試求圖示多跨靜定梁的內力圖 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 例3 7 試求圖示多跨靜定梁鉸E和鉸F的位置 使中間跨的支座負彎矩MB和MC與跨中正彎矩M2的絕對值相等 3 2多跨靜定梁 解 在M圖中 MB M2 ql2 8 按題意 要求 MB MC M2 a AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 亦即2 MB ql2 8 于是可得 將式 b 代入式 a 解出 x 0 125l b 與三跨跨度為l的簡支梁比較可知 其跨中正彎矩將減小一些 3 2多跨靜定梁 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 3靜定平面剛架 3 3 1剛架的特點 1 構造特點 一般由若干梁 柱等直桿組成且具有剛結點的結構 稱為剛架 桿軸及荷載均在同一平面內且無多余約束的幾何不變剛架 稱為靜定平面剛架 不在同一平面內無多余約束的幾何不變剛架 稱為靜定空間剛架 2 力學特性 剛結點處夾角不可改變 且能承受和傳遞全部內力 M FQ FN 3 剛架優(yōu)點 內部空間較大 桿件彎矩較小 且制造比較方便 因此 剛架在土木工程中得到廣泛應用 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 3 2靜定平面剛架的組成形式 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 3 3靜定平面剛架內力圖的繪制 靜定平面剛架的內力圖有彎矩圖 剪力圖和軸力圖 靜定平面剛架內力圖的基本作法是桿梁法 即把剛架拆成桿件 其內力計算方法原則上與靜定梁相同 通常是先由剛架的整體或局部平衡條件 求出支座反力或某些鉸結點處的約束力 然后用截面法逐桿計算各桿的桿端內力 再利用桿端內力按照靜定梁的方法分別作出各桿的內力圖 最后將各桿內力圖合在一起 就得到剛架的內力圖 說明1 一般可按M圖 FQ圖 FN圖的順序繪制內力圖 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 1 關于M圖的繪制 對于每個桿件而言 實際上是分別應用一次區(qū)段疊加法 一求控制彎矩 二引直線相連 三疊簡支彎矩 2 關于FQ圖的繪制 當M圖為直線變化時 可根據微分關系 由M圖 下坡 或 上坡 的走向 沿桿軸由左向右看 及其 坡度 的大小 直接確定FQ的正負和大小 如前所述 當M圖為二次拋物線變化時 可取該桿段為隔離體 化為等效的簡支梁 根據桿端的已知M及跨間荷載 利用力矩方程 求桿端剪力值 3 關于FN圖的繪制 對于比較復雜的情況 可取結點為隔離體 根據已知FQ 利用投影方程 求桿件軸力值 3 3 3靜定平面剛架內力圖的繪制 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 說明2 剛架的M圖約定繪在桿件受拉一側 不標注正負號 FQ圖和FN圖可繪在桿件的任一側 但必須標注正負號 其符號規(guī)定與梁相同 說明3 關于簡單剛結點的概念 兩桿剛結點 稱為簡單剛結點 當無外力偶作用時 匯交于該處兩桿的桿端彎矩坐標應繪在結點的同一側 內側或外側 且數值相等 作M圖時 可充分利用這一特性 3 3 3靜定平面剛架內力圖的繪制 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 例3 8 試求作圖示剛架的內力圖 解 1 求支反力 2 求作M圖 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 3靜定平面剛架 3 求作FQ圖 4 求作FN圖 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 例3 9 試求作圖示簡支剛架的內力圖 桿AE MAE MEA 0 解 1 求支反力 2 求作M圖 1 一求控制彎矩 桿EC MEC 0 MCE 4 2 8kN m 左側受拉 桿BD MBD 0 MDB 4 4 16kN m 右側受拉 桿DF MFD 0 MDF 2 2 1 2 10 22 24kN m 上側受拉 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 3靜定平面剛架 a b c AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 2 二引直線相連 3 三疊簡支彎矩 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 求作FQ圖 4 求作FN圖 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 例3 10 試求作圖3 25所示懸臂剛架的內力圖 解 1 求支反力 2 求作M圖 1 CD段 MDC MCE 2qa2 左側受拉 二引直線相連 2 DB段 MBD 6qa 2a 2qa2 10qa2 上側受拉 MDB 2qa2 下側受拉 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 3靜定平面剛架 AllRightsReserved 重慶大學土木工程學院 3 求作FQ圖 參照M圖繪FQ圖 3 3靜定平面剛架 AllR