1.3.1函數的單調性與最大（小）一、【學習目標】（自學引導：這節課我們主要任務就是通過對單調性的研究，然后會運用函數單調性解決題目.這節課的特點是符號較多，希望同學們課下做好預習.）1、理解函數單調性的本質內容和函數單調性的幾何意義；2、掌握判斷函數單調性的判斷方法：定義法和圖象法；3、熟練的掌握用定義法證明函數單調性及其步驟.課前引導：函數圖象上任意點P(x,y)的坐標有什么意義？二、【自學內容和要求及自學過程】觀察教材第27頁圖1.3-2，閱讀教材第27-28頁“思考”上面的文字，回答下列問題（自學引導：理解“上升”、“下降”的本質內涵，歸納出增函數的定義）你能描述上面函數的圖像特征嗎？該怎樣理解“上升”、“下降”的含義？對于二次函數y=x2，列出表(1)，完成表(1)并體會圖象在y軸右側上升；x-3-2-101234f(x)=x2結論：函數y=x的圖象，從左向右看是（上升、下降）的；函數y=x2的圖象在y軸左側是的，在y軸右側是的；函數y=-x2的圖象在y軸左側是的，在y軸右側是的；按從左向右的方向看函數的圖象，意味著圖象上點的橫坐標逐漸增大即函數的自變量逐漸增大；圖象是上升的意味著圖象上點的（橫、縱）坐標逐漸變大，也就是對應的函數值隨著逐漸增大.也就是說從左向右看圖象上升，反映了函數值隨著自變量的增大而；“下降”亦然；在區間(0，+)上，任取x1、x2，且x1x2,那么就有y1y2(),也就是有f(x1) f(x2).這樣可以體會用數學符號刻畫圖象上升.閱讀教材第28頁“思考”下面的內容，然后回答下列問題（自學引導：同學們要理解增函數的定義，符號比較多，要一一的理解）數學上規定：函數y=x2在區間(0,+)上是增函數.請給出增函數定義.增函數的定義中，把“當x1x2時，都有f(x1)x2時，都有f(x1)f(x2)”，這樣行嗎?增函數的定義中，“當x1x2時，都有f(x1)f(x2)”反映了函數值有什么變化趨勢?函數圖象有何特點?增函數的幾何意義是什么？結論：一般地，設函數f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當時，都有，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數；增函數的定義：由于當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，即都是相同的不等號“”，也就是說前面是“”，后面也是“x2時，都有f(x1)f(x2)”都是相同的不等號“”，即前面是“”，后面也是“”,步調一致.因此我們可以簡稱為：步調一致增函數；增函數反映了函數值隨自變量的增大而增大；從左向右看,圖象是上升的；增函數幾何意義是從左向右看,圖象是（上升、下降）的；（自學引導：類比增函數的定義，切實理解減函數的含義.）思考：類比增函數的定義，請你給出減函數的定義； 函數y=f（x）在區間D上具有單調性，說明了函數y=f（x）在區間D上的圖象有什么變化趨勢？結論：一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當時，都有，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數.簡稱為：步調不一致減函數.減函數的幾何意義：從左向右看,圖象是的.函數值變化趨勢：函數值隨著自變量的增大而減小；函數y=f（x）在區間D上，函數值的變化趨勢是隨自變量的增大而增大（減小），幾何意義：從左向右看,圖象是（）（上升、下降）的；閱讀教材第29頁第一段，然后回答下列問題你能理解“嚴格的單調性”所包含的含義嗎？試述之.三、講授新課1.引例：觀察y=x2的圖象，回答下列問題（投影1）問題1：函數y=x2的圖象在y軸右側的部分是上升的，說明什么？隨著x的增加，y值在增加。問題2：怎樣用數學語言表示呢？設x1、x20，+，得y1=f(x1), y2=f(x2).當x1x2時，f(x1) f(x2).(學生不一定一下子答得比較完整，教師應抓住時機予以啟發)。結論：這時，說y1= x2在0，+上是增函數。（同理分析y軸左側部分）由此可有：2.定義：（投影2）一般地，設函數f(x)的定義域為I：如果對于屬于I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1x2時都有f(x1) f(x2).那么就說f(x)在這個區間上是增函數（increasing function）。如果對于屬于I內某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1f(x2).那么就是f(x)在這個區間上是減函數(decreasing function)。如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,那么就說函說y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做y=f(x)的單調區間，在單調區間上增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。注意：（1）函數的單調性也叫函數的增減性；（2）注意區間上所取兩點x1,x2的任意性；（3）函數的單調性是對某個區間而言的，它是一個局部概念。1、 說明1）。單調區間是定義域的子集；2）。若函數f(x)在區間D上是增函數，則圖象在D上的部分從左到右呈趨勢 若函數f(x)在區間D上是減函數，則圖象在D上的部分從左到右呈趨勢3）。單調區間一般不能并2、 判斷單調性的方法：定義； 導數； 復合函數單調性：同增則增，異增則減； 圖象3、 常用結論：兩個增（減）函數的和為_；一個增（減）函數與一個減（增）函數的差是_；奇函數在對稱的兩個區間上有_的單調性；偶函數在對稱的兩個區間上有_的單調性；互為反函數的兩個函數在各自定義域上有_的單調性；（III）例題分析例1.下圖是定義在閉區間上的函數y=f(x)的圖象，根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一個區間上的單調性（課本P34例1）。問題3：y=f(x)在區間，上是減函數；在區間，上是增函數，那么在兩個區間的公共端點處，如：x=-2,x=-1,x=3處是增函數還是減函數？分析：函數的單調性是對某個區間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一確定的常數，因此沒有增減變化，所以不存在單調性問題；另一方面，中學階段研究的是連續函數或分段連續函數，對于閉區間的連續函數而言，只要在開區間單調，則它在閉區間也單調。因此在考慮它的單調區間時，包括不包括端點都可以（要注意端點是否在定義域范圍內）。說明：要了解函數在某一區間上是否具有單調性，從圖上進行觀察是一種常用而又粗略的方法。嚴格地說，它需要根據單調函數的定義進行證明。例2證明函數f(x)=3x+2在R上是增函數。證明：設任意x1、x2R，且x1x2.則f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+