第四節隨機事件的概率 三年9考高考指數 了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性 了解概率的意義以及頻率與概率的區別 1 隨機事件是概率中的基礎性事件 重點考查其概念及概率 2 題型以選擇題 填空題為主 與統計知識交匯則以解答題為主 隨機事件的頻率與概率 1 隨機事件的頻率及特點 頻率是一個變化的量 但在大量重復試驗時 它又具有 在一個 常數 附近擺動 隨著試驗次數的增加 隨機事件發生的頻率擺動的幅度具有 的趨勢 穩定性 越來越小 隨機事件的頻率也可能出現偏離 常數 的情形 但是隨著試驗次數的 頻率偏離 常數 的可能性會 2 隨機事件的概率的定義在 的條件下 大量重復進行 試驗時 隨機事件a發生的 會在某個 附近擺動 即隨機事件a發生的頻率具有 這時這個 叫作隨機事件a的概率 記作 有 p a 較大 增大 減小 相同 同一 頻率 常數 穩定性 常數 p a 0 1 即時應用 1 思考 若隨機事件a在n次試驗中發生了m次 則事件a的概率一定是嗎 提示 不一定 必須當試驗次數n很大時 事件a的概率才近似地認為是 2 判斷下列事件是否是不可能事件 請在括號中填 是 或 否 三角形內角和為180 在同一個三角形中大邊對大角 銳角三角形中兩個內角的和小于90 三角形中任意兩邊的和大于第三邊 解析 由三角形的內角和定理知 任意兩個內角之和等于180 減去第三個內角 故銳角三角形中任意兩個內角之和應大于90 因此 是不可能事件 答案 否 否 是 否 3 12件瓷器中 有10件正品 2件次品 從中任意取出3件 有以下事件 3件都是正品 至少有1件是次品 3件都是次品 至少有1件是正品 其中隨機事件是 必然事件是 不可能事件是 填上相應的序號 解析 由隨機事件的定義知 是隨機事件 又共2件次品 從而可知 是不可能事件 是必然事件 答案 事件的判定 方法點睛 對事件的理解 1 事件的分類 不可能事件 必然事件和隨機事件 2 對隨機事件的理解 隨機事件是指一定條件下出現的某種結果 隨著條件的改變其結果也會不同 因此必須強調同一事件必須在相同的條件下研究 隨機事件可以重復地進行大量試驗 每次試驗前 事件是否發生無法預測 但隨著試驗的重復進行 其結果呈現規律性 例1 盒中有6個白球和6個黑球 它們的大小和形狀相同 從中任意取出一個球 1 取出的球是黃球 是什么事件 2 取出的球是白球 是什么事件 3 取出的球是白球或黑球 是什么事件 解題指南 解答本類型題的關鍵是明確試驗的條件與所有結果 從而可判定所求事件的性質 規范解答 1 由于盒子中沒有黃球 可知 取出的球是黃球 是不可能事件 2 取出一球的結果可能是白球或黑球 從而可知 取出的球是白球 是隨機事件 3 由 2 可知 取出的球是白球或黑球 是必然事件 反思 感悟 事件分為不可能事件 必然事件和隨機事件 隨著試驗條件的改變 事件的性質可能改變 因此應充分分析題目的條件 理解所有試驗結果發生的可能性 從而判定是什么事件 變式訓練 指出下列事件是必然事件 不可能事件 還是隨機事件 1 長度為3 4 5的三條線段可以構成一個三角形 2 長度為2 3 4的三條線段可以構成一個直角三角形 3 在乒乓球比賽中 某運動員獲勝 解析 1 長度為3 4 5的三條線段一定能構成三角形 是必然事件 2 是不可能事件 3 是隨機事件 隨機事件的頻率與概率 方法點睛 頻率與概率的理解 1 依據定義求一個隨機事件的概率的基本方法是通過大量的重復試驗 用事件發生的頻率近似地作為它的概率 但是 某一事件的概率是一個常數 而頻率隨著試驗次數的變化而變化 2 概率意義下的 可能性 是大量隨機事件現象的客觀規律 與我們日常所說的 可能 估計 是不同的 也就是說 單獨一次結果的不確定性與積累結果的有規律性 才是概率意義下的 可能性 事件a的概率是事件a的本質屬性 例2 2011 新課標全國卷 某種產品的質量以其質量指標值衡量 質量指標值越大表明質量越好 且質量指標值大于或等于102的產品為優質產品 現用兩種新配方 分別稱為a配方和b配方 做試驗 各生產了100件這種產品 并測量了每件產品的質量指標值 得到下面試驗結果 a配方的頻數分布表b配方的頻數分布表 1 分別估計用a配方 b配方生產的產品的優質品率 2 已知用b配方生產的一件產品的利潤y 單位 元 與其質量指標值t的關系式為估計用b配方生產的一件產品的利潤大于0的概率 并求用b配方生產的上述100件產品平均一件的利潤 解題指南 第 1 問分別用a配方 b配方生產的產品中優質品的頻率來估計概率 第 2 問 用b配方生產的一件產品的利潤大于0時即質量指標t 94時的頻率作為概率 生產的100件產品的平均利潤為 2 頻率 t 94 2 頻率 94 t 102 4 頻率 t 102 規范解答 1 由試驗結果知 用a配方生產的產品中優質品的頻率為所以用a配方生產的產品中優質品率的估計值為0 3 由試驗結果知 用b配方生產的產品中優質品的頻率為所以用b配方生產的產品中優質品率的估計值為0 42 2 由條件知 用b配方生產的一件產品的利潤大于0的概率即為t 94的概率 由試驗結果知 t 94的頻率為0 96 所以用b配方生產的一件產品的利潤大于0的概率估計值為0 96 用b配方生產的上述100件產品平均一件的利潤為 反思 感悟 概率可看作頻率在理論上的期望值 它從數量上反映了隨機事件發生的可能性大小 它是頻率的科學抽象 當試驗次數越來越多時頻率向概率靠近 只要次數足夠多 所得頻率就近似地當作隨機事件的概率 變式訓練 某射擊運動員在同一條件下進行練習 結果如表所示 1 計算表中擊中10環的頻率 2 根據表中數據 估計該運動員射擊一次命中10環的概率 解析 1 擊中10環的頻率依次為0 8 0 95 0 88 0 93 0 89 0 906 2 隨著試驗次數的增加 頻率在常數0 9附近擺動 所以估計該運動員射擊一次命中10環的概率約是0 9 易錯誤區 頻率分布與概率相結合問題中的易錯點 典例 2012 宿州模擬 某班50名學生在一次數學測試中 成績全部介于50與100之間 將測試結果按如下方式分成五組 第一組 50 60 第二組 60 70 第五組 90 100 如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖 1 若成績大于或等于60且小于80 認為合格 求該班在這次數學測試中成績合格的人數 2 從測試成績在 50 60 90 100 內的所有學生中隨機抽取兩名同學 設其測試成績分別為m n 求事件 m n 10 的概率 解題指南 對于第 1 問應明確總體容量為50 對于第 2 問 各成績段內的頻率可求出 故可采取列舉法 規范解答 1 由直方圖知 成績在 60 80 內的人數為 50 10 0 018 0 040 29 所以該班在這次數學測試中成績合格的有29人 2 由直方圖知 成績在 50 60 的人數為50 10 0 004 2 設為x y 成績在 90 100 的人數為50 10 0 006 3 設為a b c 若m n 50 60 時 只有xy1種情況 若m n 90 100 時 有ab bc ac3種情況 若m n分別在 50 60 和 90 100 內時 有共有6種情況 所以試驗結果總數為10種 事件 m n 10 所包含的試驗結果有6種 閱卷人點撥 通過閱卷數據分析與總結 我們得到以下誤區警示和備考建議 1 2012 徐州模擬 一個容量為100的樣本 其數據的分組與各組的頻數如表 則樣本數據落在 10 40 上的頻率為 a 0 13 b 0 39 c 0 52 d 0 64 解析 選c 由題意可知樣本數據落在 10 40 上的頻數為 13 24 15 52 由頻率 頻數 總數 可得 2 2012 寶雞模擬 下列事件 一個口袋內裝有5個紅球 從中任取一球是紅球 拋擲兩枚骰子 所得點數之和為9 x2 0 x r 方程x2 3x 5 0有兩個不相等的實數根 巴西足球隊會在下屆世界杯足球賽中奪得冠軍 其中 隨機事件的個數為 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 選b 只有 是隨機事件 可知答案是b項 3 2011 湖南高考 某河流上的一座水力發電站 每年六月份的發電量y 單位 萬千瓦時 與該河上游在六月份的降雨量x 單位 毫米 有關 據統計 當x 70時 y 460 x每增加10 y增加5 已知近20年x的值為 140 110 160 70 200 160 140 160 220 200 110 160 160 200 140 110 160 220 140 160 1 完成如下的頻率分布表 近20年六月份降雨量頻率分布表 2 假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規律相同 并將頻率視為概率 求今年六月份該水力發電站的發電量低于490 萬千瓦時 或超過