1 第一章 因數和倍數第一章 因數和倍數 1 整除整除 被除數 除數和商都是自然數 并且沒有余數 整數與自然數的關系 整數包括自然數 2 因數 倍數因數 倍數 大數能被小數整除時 大數是小數的倍數倍數 小數是大數的因數因數 例 12 是 6 的倍數 6 是 12 的因數 1 1 數 數 a a 能被能被 b b 整除 那么整除 那么 a a 就是就是 b b 的倍數 的倍數 b b 就是就是 a a 的因數 的因數 因數和倍數是相互依 存的 不能單獨存在 2 2 一個數的因數的個數是有限的 其中最小的因數是 一個數的因數的個數是有限的 其中最小的因數是 1 1 最大的因數是它本身 最大的因數是它本身 一個數的因數的求法 成對地按順序找 3 3 一個數的倍數的個數是無限的 最小的倍數是它本身 一個數的倍數的個數是無限的 最小的倍數是它本身 一個數的倍數的求法 依次乘以自然數 4 4 2 2 3 3 5 5 的倍數特征的倍數特征 1 個位上是 0 2 4 6 8 的數都是 2 2 的倍數的倍數 2 2 一個數 一個數各位各位上的數的和是上的數的和是 3 3 的倍數 這個數就是的倍數 這個數就是 3 3 的倍數 的倍數 3 3 個位上是 個位上是 0 0 或或 5 5 的數 是的數 是 5 5 的倍數 的倍數 4 4 能同時被能同時被 2 2 3 3 5 5 整除 也就是整除 也就是 2 2 3 3 5 5 的倍數 的最大的兩位數是的倍數 的最大的兩位數是 9090 最小的三 最小的三 位數是位數是 120120 同時滿足同時滿足 2 2 3 3 5 5 的倍數 實際是求的倍數 實際是求 2 3 5 302 3 5 30 的倍數 的倍數 5 5 如果一個數同時是 如果一個數同時是 2 2 和和 5 5 的倍數 那它的個位上的數字一定是的倍數 那它的個位上的數字一定是 0 0 3 完全數 完全數 除了它本身以外所有的因數的和等于它本身的數叫做完全數完全數 如 6 的因數有 1 2 3 6 除外 剛好 1 2 3 6 所以 6 是完全數 小的小的 完全數有完全數有 6 6 2828 等等 4 自然數按能不能被 2 整除來分 奇數 偶數奇數 偶數 奇數 不能被 2 整除的數 叫奇數 也就是個位上是 1 3 5 7 9 的數 偶數 能被 2 整除的數叫偶數 0 0 也是偶數 也是偶數 也就是個位上是 0 2 4 6 8 的數 2 最小的奇數是 1 最小的偶數是 0 關系 關系 奇數奇數 偶數偶數 奇數奇數 奇數奇數 奇數奇數 偶數偶數 偶數偶數 偶數偶數 偶數 偶數 奇數奇數 偶數偶數 奇數奇數 奇數奇數 奇數奇數 偶數偶數 偶數偶數 偶數偶數 偶數偶數 5 自然數按因數的個數來分 質數 合數 質數 合數 1 1 0 0 四類四類 質數 或素數 質數 或素數 只有只有 1 1 和它本身兩個因數 和它本身兩個因數 合數 除了合數 除了 1 1 和它本身還有別的因數 至少有三個因數 和它本身還有別的因數 至少有三個因數 1 1 它本身 別的因數 它本身 別的因數 1 1 只有 1 個因數 1 1 既不是質數 也不是合數 既不是質數 也不是合數 0 0 最小的質數是最小的質數是 2 2 最小的合數是 最小的合數是 4 4 連續的兩個質數是連續的兩個質數是 2 2 3 3 每個合數都可以由幾個質數相乘得到 質數相乘一定得合數 質數相乘一定得合數 2020 以內的質數 有以內的質數 有 8 8 個個 2 2 3 3 5 5 7 7 1111 1313 1717 1919 100100 以內的質數有以內的質數有 2525 個個 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 100100 以內找質數 合數的技巧 以內找質數 合數的技巧 看是否是看是否是 2 2 3 3 5 5 7 7 1111 13 13 的倍數 是的就是合數 不是的就是質數 的倍數 是的就是合數 不是的就是質數 關系 奇數 奇數 奇數 質數 質數 合數 6 最大 最小最大 最小 A 的最小因數是 1 最小的奇數是 1 A A 的最大因數是 的最大因數是 A A 最小的偶數是 最小的偶數是 0 0 A 的最小倍數是 A 最小的質數是 最小的質數是 2 2 最小的自然數是 最小的自然數是 0 0 最小的合數是 最小的合數是 4 4 7 分解質因數 分解質因數 把一個合數分解成多個質數相乘的形式 用短除法短除法分解質因數 一個合數寫成幾個質數相乘的形式一個合數寫成幾個質數相乘的形式 比如 30 分解質因數是 30 2 3 5 8 8 互質數 公因數只有 互質數 公因數只有 1 1 的兩個數 叫做互質數 的兩個數 叫做互質數 兩個質數的互質數 5 和 7 兩個合數的互質數 8 和 9 一質一合的互質數 7 和 8 3 兩數互質的特殊情況兩數互質的特殊情況 1 和任何自然數互質 相鄰兩個自然數互質 兩個質數一定互質 兩個質數一定互質 2 2 和所有奇數互質 和所有奇數互質 質數與比它小的合數互質 9 公因數 最大公因數公因數 最大公因數 幾個數公有的因數叫這些數的公因數 其中最大的那個就叫它們的最大公因數 幾個數公有的因數叫這些數的公因數 其中最大的那個就叫它們的最大公因數 用短除法短除法求兩個數或三個數的最大公因數 除到互質互質為止 把所有的除數連乘所有的除數連乘起來 幾個數的公因數只有 1 就說這幾個數互質 如果兩數是倍數關系時 那么較小的數就是它們的最大公因數 較大的那個數就是它如果兩數是倍數關系時 那么較小的數就是它們的最大公因數 較大的那個數就是它 的最小公倍數 的最小公倍數 如果兩數互質時 那么如果兩數互質時 那么 1 1 就是它們的最大公因數 就是它們的最大公因數 10 公倍數 最小公倍數公倍數 最小公倍數 幾個數公有的倍數叫這些數的公倍數公倍數 其中最小的那個就叫它們的最小公倍數最小公倍數 用短除法求兩個數短除法求兩個數的最小公倍數 除到互質互質為止 把所有的除數和商連乘所有的除數和商連乘起來 用短除法求三個數短除法求三個數的最小公倍數 除到兩兩互質兩兩互質為止 把所有的除數和商除數和商連乘起來 如果兩數是倍數關系時 那么較大的數就是它們的最小公倍數 如果兩數互質時 那么它們的積就是它們的最小公倍數 1111 求最大公因數和最小公倍數方法 求最大公因數和最小公倍數方法 用 12 和 16 來舉例 1 求法一 列舉求同法 最大公因數的求法 12 的因數有 1 12 2 6 3 4 16 的因數有 1 16 2 8 4 最大公因數是最大公因數是 4 4 最小公倍數的求法 12 的倍數有 12 24 36 48 16 的倍數有 16 32 48 最小公倍數是 48 2 求法二 分解質因數法 4 12 2 2 3 16 2 2 2 2 最大公因數是 2 2 4 相同乘 最小公倍數是 2 2 3 2 2 48 相同乘 不同乘 二二 分分數數的的意意義義和和性性質質 1 分數的意義分數的意義 一個物體 一物體等都可以看作一個整體 把這個整體平均分成若干份 這樣的一份或幾份都可以用分數來表示 2 單位單位 1 1 一個整體可以用自然數 1 來表示 通常把它叫做單位 1 也就是把什 么平均分什么就是單位 1 3 分數單位 分數單位 把單位 1 平均分成若干份 表示其中一份的數叫做分數單位 如的分 5 4 數單位是 5 1 4 4 分數與除法 分數與除法 A B B 0 除數不能為除數不能為 0 0 分母也不能夠為 分母也不能夠為 0 0 例如 4 5 B A 5 4 5 5 真分數和假分數 帶分數 真分數和假分數 帶分數 1 1 真分數 分子比分母小的分數叫真分數 真分數 真分數 分子比分母小的分數叫真分數 真分數 1 1 2 假分數 分子大于或等于分母的分數叫假分數 假分數假分數 1 1 3 帶分數 帶分數由整數和真分數組成的分數 帶分數 帶分數 1 1 6 6 真分數 真分數 1 1 假分數假分數 真分數 真分數 1 1 帶分數 帶分數 7 7 假分數與整數 帶分數的互化 假分數與整數 帶分數的互化 1 假分數化為整數或帶分數 用分子 分母 商作為整數 余數作為分子 如 10 5 2 21 5 4 5 10 5 21 5 1 2 整數化為假分數 用整數乘以分母得分子 如 2 2 4 8 8 作分子 4 8 3 帶分數化為假分數 用整數乘以分母加分子 得數就是假分數的分子 分母不變 如 5 5 5 1 26 5 1 5 26 5 4 1 等于任何分子和分母相同的分數 如 1 2 2 3 3 4 4 5 5 100 100 8 8 分數的基本性質 分數的基本性質 分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數 分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數 0 0 除外 除外 分數的大小不變 分數的大小不變 9 9 最簡分數 分數的分子和分母只有公因數 最簡分數 分數的分子和分母只有公因數 1 1 像這樣的分數叫做最簡分數 像這樣的分數叫做最簡分數 一個最簡分數 如果分母中除了一個最簡分數 如果分母中除了 2 2 和和 5 5 以外 不含其他的質因數 就能夠化成有限小以外 不含其他的質因數 就能夠化成有限小 數 反之則不可以 數 反之則不可以 1010 約分 約分 把一個分數化成和它相等 但分子和分母都比較小的分數 叫做約分 如 30 24 5 4 1111 通分 通分 把異分母分數分別化成和原來相等的同分母分數 叫做通分 如 和 可以化成和 5 2 4 1 20 8 20 5 1212 分數和小數的互化 分數和小數的互化 1 小數化為分數 數小數位數 一位小數 分母是 10 兩位小數 分母是 100 如 0 3 0 03 0 003 10 3 100 3 1000 3 2 分數化為小數 方法一 把分數化為分母是 10 100 1000 如 0 3 0 6 0 25 10 3 5 3 10 6 4 1 100 25 方法二 用分子 分母 如 3 4 0 75 4 3 3 帶分數化為小數 先把整數后的分數化為小數 再加上整數 如 2 2 0 3 2 3 10 3 1313 比分數的大小 比分數的大小 分母相同 分子大 分數就大 分母相同 分子大 分數就大 分子相同 分母小的 分數大 分數比較大小的一般方法一般方法 同分子比較 通分后比較 化成小數比較 1414 分數化簡包括兩步 分數化簡包括兩步 一是約分 二是把假分數化成整數或帶分數 0 5 0 25 0 75 0 2 0 4 0 6 0 8 2 1 4 1 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4 6 0 125 0 375 0 625 0 875 0 05 0 04 8 1 8 3 8 5 8 7 20 1 25 1 1515 兩個數互質的特殊判斷方法 兩個數互質的特殊判斷方法 1 和任何大于 1 的自然數互質 2 和任何奇數都是互質數 相鄰的兩個自然數是互質數 相鄰的兩個奇數互質 不相同的兩個質數互質 當一個數是合數 另一個數是質數時 除了合數是質數的倍數情況下 一般情況下這 兩個數也都是互質數 1616 求最大公因數的方法 求最大公因數的方法 倍數關系 最大公因數就是較小數 互質關系 最大公因數就是 1 一般關系 從大到小看較小數的因數是否是較大數的因數 1 17 7 分分數數知知識識小小結結 1 1 分分數數的的意意義義 把把單單位位 1 1 平平均均分分為為幾幾份份表表示示其其中中的的一一份份或或幾幾份份 如如 把把一一根根繩繩 子子平平均均分分為為 5 5 份份 其其中中的的一一份份就就是是五五分分之之一一 兩兩份份就就是是五五分分之之二二 2 2 分分數數與與除除法法 分分子子 被被除除數數 分分母母 除除數數 分分數數值值 商商 4 4 帶帶分分數數 由由整整數數和和真真分分數數組組成成 帶帶分分數數一一定定是是假假分分數數 5 5 假分數化帶分數 整數 分子除以分母 商作整數部分 余數作分子 6 6 分數的基本性質 分數的分子 分母同時擴大或縮小相同的倍數 分數的大小不變 7 最簡分數 分子分母互質的分數 最簡真分數 最簡假分數 8 通分 根據分數的基本性質 把幾個異分母分數化成與原來分數相等的 同分母的分數的過程 叫做通分 通分的方法 1 先求出原來幾個分數的分母的最簡公分母 2 根據分數的基本性質 把原來分數化成以最簡公分母為分母的分數 7 約分 是對一個分數而言的 求出分子分母的最大公約數 然后分子分母 同除 這個最大公約數 約簡得到相等的新分數 這個新分數 這個最簡分數分子 分母必須是互質 三三 長方體和正方體長方體和正方體 1 由 6 個長方形 特殊情況有兩個相對的面是正方形 圍成的立體圖形叫做長方體長方體 兩個 面相交的邊叫做棱棱 三條棱相交的點叫做頂點頂點 相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫 做長方體的長 寬 高長方體的長 寬 高 長方體特點 長方體特點 1 有 6 個面 8 個頂點 12 條棱 相對的面的面積相等 相對的棱的長度相等 2 2 一個長方體最多有 一個長方體最多有 6 6 個面是長方形 最少有個面是長方形 最少有 4 4 個面是長方形 最多有個面是長方形 最多有 2 2 個面是正方形 個面是正方形 2 由 6 個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體 也叫做立方體 正方體 也叫做立方體 正方體特點 正方體特點 1 正方體有 12 條棱 它們的長度都相等 2 正方體有 6 個面 每個面都是正方形 每個面的面積都相等 3 正方體可以說是長 寬 高都相等的長方體 它是一種特殊的長方體特殊的長方體 不同點 相同點面棱 長方體6 個面都是長方形 有可能有兩個相對的面是正方形 相對的棱的長度都相等 正方體 都有 6 個面 12 條棱 8 個頂點 6 個面都是正方形 12 條棱都相等 2 2 長方體 正方體有關棱長計算公式 長方體 正方體有關棱長計算公式 8 a a 長 長 b b 寬 寬 c c 高高 L L 棱長總和 棱長總和 S S 表面積 表面積 V V 體積 體積 長方體的棱長總和長方體的棱長總和 長 長 寬寬 高 高 4 4 長 4 寬 4 高 4 L a b h 4 長 棱長總和 4 寬 高 a L 4 b h 寬 棱長總和 4 長 高 b L 4 a h 高 棱長總和 4 長 寬 h L 4 a b 正方體的棱長總和 棱長 12 L a 12 正方體的棱長 棱長總和 12 a L 12 4 長方體或正方體 6 個面和總面積叫做它的表面積表面積 長方體的表面積長方體的表面積 長 長 寬 長寬 長 高 寬高 寬 高 高 2 2 S 2S 2 abab ahah bhbh 無底 或無蓋 長方體表面積 長 寬 長 高 寬 高 2 S 2 ab ah bh ab S 2 ah bh ab 無底又無蓋長方體表面積 長 高 寬 高 2 S 2 ah bh 貼墻紙貼墻紙 正方體的表面積正方體的表面積 棱長棱長 棱長棱長 6 6 S a a 6S a a 6 用字母表示 S 6a2 生活實際 油箱 罐頭盒等都是油箱 罐頭盒等都是 6 6 個面個面 游泳池 魚缸等都只有游泳池 魚缸等都只有 5 5 個面個面 水管 煙囪等都只有水管 煙囪等都只有 4 4 個面 個面 注意注意 1 1 用刀分開物體時 每分一次增加兩個面 用刀分開物體時 每分一次增加兩個面 表面積相應增加 表面積相應增加 注意 2 長方體或正方體的長 寬 高同時擴大幾倍 表面積會擴大倍數的平方倍 表面積會擴大倍數的平方倍 如長 寬 高各擴大 2 倍 表面積就會擴大到原來的 4 倍 5 物體所占空間的大小叫做物體的體積體積 長方體的體積長方體的體積 長長 寬寬 高高 V abhV abh 長長 體積 寬 高 a V b ha V b h 寬寬 體積 長 高 b V a hb V a h 高高 體積 長 寬 h h V a bV a b 正方體的體積正方體的體積 棱長棱長 棱長棱長 棱長棱長 V a a aV a a a a a3 3讀作讀作 a a 的立方的立方 表示表示 3 3 個個 a a 相乘 即相乘 即 a a aa a a 長方體或正方體底面的面積叫做底面積底面積 9 長方體 或正方體 的體積長方體 或正方體 的體積 底面積底面積 高高 用字母表示 用字母表示 V SV S h h 橫截面積相當于底面積 長相當于高 注意 一個長方體和一個正方體的棱長總和相等 但體積不一定相等 注意 一個長方體和一個正方體的棱長總和相等 但體積不一定相等 6 箱子 油桶 倉庫等所能容納物體的體積 通常叫做他們的容積容積 固體一般就用體積單位 計量液體的體積 如水 油等 常用的容積單位有升和毫升也可以寫成 L 和 ml 1 1 升升 1 1 立方分米立方分米 1 1 毫升毫升 1 1 立方厘米立方厘米 1 1 升升 1000 1000 毫升毫升 1 L 1 dm3 1 ml 1 cm3 長方體或正方體容器容積的計算方法 跟體積的計算方法相同 但要從容器里面里面量長 寬 高 所以 對于同一個物體 體積大于容積 對于同一個物體 體積大于容積 注意 注意 長方體或正方體的長 寬 高同時擴大幾倍 體積就會擴大倍數的立方倍 長方體或正方體的長 寬 高同時擴大幾倍 體積就會擴大倍數的立方倍 如長 寬 高各擴大 如長 寬 高各擴大 2 2 倍 體積就會擴大到原來的倍 體積就會擴大到原來的 8 8 倍 倍 形狀不規則的物體可以用排水法求體積形狀不規則的物體可以用排水法求體積 形狀規則的物體可以用公式直接求體積形狀規則的物體可以用公式直接求體積 排水法的公式 V 物體 V 現在 V 原來 也可以 V 物體 S h 現在 h 原來 V 物體 S h 升高 8 體積單位換算 立方相鄰單位進率 立方相鄰單位進率 10001000 大單位 小單位 小單位 大單位 進率 1 立方米 1000 立方分米 1000000 立方厘米 1 1 立方分米 立方分米 10001000 立方厘米 立方厘米 1 1 升 升 10001000 毫升毫升 1 立方厘米 1 毫升 1 平方米 100 平方分米 10000 平方厘米 1 1 平方千米平方千米 100 100 公頃公頃 1000000 1000000 平方米平方米 注注意意 長長方方體體與與正正方方體體關關系系 把長方體或正方體截成若干個小長方體 或正方體 后 表面積增加了 體積不變 重量單位進率 時間單位進率 長度單位進率 單位換算 大單位 小單位 進率 進率 進率 10 小單位 大單位 長度單位長度單位 1 千米 1000 米 1 分米 10 厘米 1 厘米 10 毫米 1 分米 100 毫米 1 米 10 分米 100 厘米 1000 毫米 相鄰單位進率 相鄰單位進率 1010 面積單位 面積單位 1 平方千米 100 公頃 1 平方米 100 平方分米 1 平方分米 100 平方厘米 1 公頃 10000 平方米 平方相鄰單位進率 平方相鄰單位進率 100100 質量單位 質量單位 1 噸 1000 千克 1 千克 1000 克 人人 民民 幣 幣 1 元 10 角 1 角 10 分 1 元 100 分 第第四四章章 分分數數的的加加法法和和減減法法 1 同分母分數加 減法 分母不變 分子相加減 1 1 分分數數數數的的加加法法和和減減法法 2 異分母分數加 減法 通分后再加減 3 分數加減混合運算 同整數 4 結果要是最簡分數 2 帶分數加減法 帶分數加減法 帶分數相加減 整數部分和分數部分分別相加減 再把所得的結果合并 起來 一 一 同分母分數加 減法同分母分數加 減法 1 同分母分數加 減法 同分母分數相加 減 分母不變 只把分子相加減 2 計算的結果 能約分的要約成最簡分數 二 異分母分數加 減法 二 異分母分數加 減法 1 分母不同 也就是分數單位不同 不能直接相加 減 2 異分母分數的加減法 異分母分數相加 減 要先通分 再按照同分母分數加減法的方法進行計算 三 分數加減混合運算 三 分數加減混合運算 1 分數加減混合運算的運算順序與整數加減混合運算的順序相同 在一個算式中 如果有括號 應先算括號里面的 再算括號外面的 如果只含有同一級 運算 應從左到右依次計算 2 整數加法的交換律 結合律對分數加法同樣適用 3 2 1 1 2 1 3 1 2 1 6 1 4 1 3 1 12 1 5 1 4 1 20 1 進率 11 第五章第五章 簡易方程簡易方程 1 1 在含有字母的式子里 數字和字母 字母和字母之間的乘號可以記作 在含有字母的式子里 數字和字母 字母和字母之間的乘號可以記作 也可以省略不寫 數通常寫在字母的前面 加號 減號除號以及數與數之間的也可以省略不寫 數通常寫在字母的前面 加號 減號除號以及數與數之間