第一章立體幾何初步 4空間圖形的基本關系與公理 理解教材新知 把握熱點考向 應用創新演練 知識點一 知識點二 考點一 考點二 考點三 第一課時空間圖形基本關系的認識與公理1 3 知識點三 空間幾何體各式各樣 千姿百態 如何認識和把握它們呢 一般的方法是 從構成幾何體的基本元素 點 直線和平面入手 研究它們的性質以及相互之間的位置關系 由整體到局部 由局部再到整體 逐步認識空間幾何體的性質 長方體是我們非常熟悉的幾何體 觀察長方體的8個頂點 12條棱和6個面的關系 問題1 長方體的一個頂點與12條棱和6個面有幾種位置關系 提示 頂點與棱所在直線的關系是在棱上 不在棱上 頂點和六個面的關系是在面內 在面外 問題2 12條棱中 棱與棱有幾種位置關系 提示 相交 平行 既不平行也不相交 問題3 棱所在直線與面之間有幾種位置關系 提示 棱在平面內 棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交 問題4 六個面之間有哪幾種位置關系呢 提示 平行和相交 直線上 直線外 平面內 平面外 2 空間兩條直線的位置關系 只有一個 沒有 任何 3 直線與平面的位置關系 無數個 只有一個 沒有 4 平面與平面的位置關系 沒有公共點 不重合 有公共點 在生產 生活中 人們經過長期觀察與實踐 得到一些不需證明同時也無法證明的客觀規律我們稱之為公理 問題1 一把直尺兩端放在桌面上 直尺在桌面上嗎 提示 直尺在平面上 問題2 教室的墻面與地面有公共點 這些公共點有什么規律 提示 這些公共點在同一直線上 問題3 照相機支架只有三個腳支撐 為什么 提示 不在同一直線上的三點確定一個平面 空間圖形的公理 兩點 所有的點 在平面內 不在同一直線 有且只有 有一個公共點 有且只有 問題1 把一張長方形的紙對折兩次 打開以后 這些折痕之間有什么關系呢 提示 平行 問題2 在空間中有兩條直線都與第三條直線平行 那么這兩條直線互相平行嗎 提示 平行 問題3 在平面上 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行 那么這兩個角相等或互補 那么在空間中 結論是否仍然成立呢 提示 在空間中 該結論仍成立 1 公理4 平行 a c 2 等角定理空間中 如果兩個角的兩條邊分別 那么這兩個角 對應平行 相等或互補 1 在空間中 點看作元素 直線和平面看作點的集合 點與直線 平面 直線與直線 線面及面面之間的位置關系是空間中最基本的位置關系 2 公理1 2 3 4是在生活實際中 人們對經驗和客觀實際的總結 公理1的主要作用是判斷直線是否在平面內 公理2的主要作用是論證共面問題 公理3是判斷兩平面是否相交的重要依據 公理4是論證兩直線平行的重要依據 例1 如果a b l a a l b b l 那么 與 的位置關系是 思路點撥 把簡單語言翻譯成圖形語言 作出判斷 精解詳析 如圖 l上有兩點a b在 內 根據公理1 l 又l 則 l 一點通 1 判斷空間直線 平面之間的位置關系要善于根據題意畫出示意圖 充分發揮空間想象能力 再對位置關系做出判斷 2 對于異面直線 它們 不同在任何一個平面內 也指永遠不具備確定平面的條件 分別位于兩個平面內的直線 不一定是異面直線 它們可能平行 也可能相交 1 如圖 正方體abcd a1b1c1d1的棱bb1和bc的中點分別是e f 各棱所在的直線中與直線ef異面的條數是 a 4b 6c 8d 10 解析 法一 與ef異面的直線 有ad a1d1 aa1 dd1 ab cd a1b1 d1c1 共8條 法二 正方體的12條棱中有4條bb1 bc cc1 b1c1與ef共面 其余8條都與ef異面 答案 c 2 如圖所示的長方體中 試指出 1 與平面abcd平行的平面 2 與ad平行的平面 3 與ad相交的平面 4 與ad異面的直線 答案 1 平面a1b1c1d1 2 平面bcc1b1與平面a1b1c1d1 3 平面abb1a1與平面dcc1d1 4 bb1 cc1 a1b1 c1d1 例2 證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內 思路點撥 先選取兩條直線確定一個平面 然后證明其他直線都在這個平面內 精解詳析 已知 如圖所示 l1 l2 a l2 l3 b l1 l3 c 求證 直線l1 l2 l3在同一平面內 證明 法一 l1 l2 a l1和l2確定一個平面 l2 l3 b b l2 又 l2 b 同理可證c 又 b l3 c l3 l3 直線l1 l2 l3在同一平面內 法二 l1 l2 a l1 l2確定一個平面 l2 l3 b l2 l3確定一個平面 a l2 l2 a a l2 l2 a 同理可證b b c c 不共線的三個點a b c既在平面 內 又在平面 內 平面 和 重合 即直線l1 l2 l3在同一平面內 一點通 證明點 線共面問題的常用方法 1 由其中某些點 線確定一個平面 再證明其余的點 線都在這個平面內 2 證明某些點 線在 內 其余點 線在 內 再證明這兩個平面重合 3 若點m在直線a上 a在平面 內 則m 間的關系為 解析 m a a m 答案 m 4 下列表述中正確的是 a 空間三點可以確定一個平面b 三角形一定是平面圖形c 若a b c d既在平面 內 又在平面 內 則平面 和平面 重合d 四條邊都相等的四邊形是平面圖形解析 a c d不正確 b正確 答案 b 5 求證 如果一條直線和兩條平行直線相交 那么這三條直線共面 已知 a c a b c b a b 求證 直線a b c共面 證明 如圖所示 a b 直線a b確定一平面 a c a a a 同理可證b 又 a c b c c 直線a b c共面 例3 已知 abc在平面 外 它的三邊所在的直線分別交平面 于p q r 如圖 求證 p q r三點共線 思路點撥 解答本題可以先選兩點確定一條直線 再證明第三點也在這條直線上 精解詳析 證明 法一 ab p p ab p 平面 又ab 平面abc p 平面abc 由公理3可知 點p在平面abc與平面 的交線上 同理可證q r也在平面abc與平面 的交線上 p q r三點共線 法二 ap ar a 直線ap與直線ar確定平面apr 又 ab p ac r 平面apr 平面 pr b 平面apr c 平面apr bc 平面apr 又 q 直線bc q 平面apr 又q q pr p q r三點共線 一點通 1 證明三線共點問題的方法主要是 先確定兩條直線交于一點 再證明該點是這兩條直線所在平面的公共點 第三條直線是這兩個平面的交線 2 證明多點共線主要采用如下兩種方法 一是首先確定兩個平面 然后證明這些點是這兩個平面的公共點 再根據公理3 這些點都在這兩個平面的交線上 二是選擇其中兩點確定一條直線 然后再證明其他的點都在這條直線上 6 如圖所示 在正方體abcd a1b1c1d1中 記b1d與平面a1bcd1交于點q 則b q d1三點必共線 為什么 解 如圖 連接b1d1 bd b1d1 bd b1d1 bd確定平面b1bdd1 交平面a1bcd1于bd1 q b1d q 平面b1bdd1 又 q 平面a1bcd1 而平面a1bcd1 平面b1bdd1 bd1 點q必在bd1上 b q d1三點必共線 7 如圖 已知空間四邊形abcd中 e f分別是ab ad的中點 g h分別是bc cd上的點 且bg gc dh hc 2 1 求證 直線eg fh ac交于同一點p 四邊形efhg是梯形 其兩腰所在直線必相交 設兩腰eg fh所在直線相交于一點p eg 平面abc fh 平面acd p 平面ab