9.4 乘法公式一選擇題（共14小題）1如圖1，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（ab），將余下的部分剪開后拼成一個平行四邊形（如圖2），根據兩個圖形陰影部分面積的關系，可以得到一個關于a，b的恒等式為（）A（ab）2a22ab+b2B（a+b）2a2+2ab+b2Ca2b2（a+b）（ab）Da2+aba（a+b）2如果一個正整數可以表示為兩個連續奇數的平方差，那么稱該正整數為“和諧數”如（83212，165232，即8，16均為“和諧數”），在不超過2017的正整數中，所有的“和諧數”之和為（）A255054B255064C250554D2550243可以運用平方差公式運算的有（）個（1+2x）（12x）；（12x）（1+2x）；（ab2b）（ab2b）A1B2C3D04若xn81（x2+9）（x+3）（x3），則n等于（）A2B4C6D85已知a2005x+2004，b2005x+2005，c2005x+2006，則多項式a2+b2+c2abbcac的值為（）A0B1C2D36將邊長分別為a和b的兩個正方形如圖所示放置，則圖中陰影部分的面積是（）Ab2Ba2Ca2b2Dab7當a（a1）（a2b）2時，則ab的值為（）A2B2C4D88如果9x2+kx+25是一個完全平方式，那么k的值是（）A15B5C30D309若a2b2，ab，則a+b的值為（）ABCD210有三種長度分別為三個連續整數的木棒，小明利用中等長度的木棒擺成了一個正方形，小剛用其余兩種長度的木棒擺出了一個長方形，正方形和長方形每邊只有一根木棒，則他們兩人誰擺的面積大？（）A小剛B小明C同樣大D無法比較11已知x+5，那么x2+（）A10B23C25D2712圖（1）是一個長為2a，寬為2b（ab）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是（）AabB（a+b）2C（ab）2Da2b213若要使4x2mx+成為一個完全平方式，則m的值應為（）ABCD14若9x2+2（k3）x+16是完全平方式，則k的值為（）A15B15或15C39或33D15或9二填空題（共6小題）15一個正方形的邊長增加2cm，它的面積就增加24cm，這個正方形的邊長是 cm16從前，有一個狡猾的地主，把一塊邊長為a米的正方形土地租給馬老漢栽種過了一年，他對馬老漢說：“我把你這塊地的一邊減少5米，另一邊增加5米，繼續租給你，你也沒吃虧，你看如何？”馬老漢一聽，覺得好像沒吃虧，就答應了其實我們知道馬老漢吃虧了請運用本學期相關知識分析一下馬老漢租用的土地面積虧了 平方米17一個大正方形和四個全等的小正方形按圖、兩種方式擺放，則圖的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積是 （用a、b的代數式表示）18有兩個正方形A，B，現將B放在A的內部得圖甲，將A，B并列放置后構造新的正方形得圖乙若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12，則正方形A，B的面積之和為 19一個長方形的面積是2a22b2，如果它的一條邊長是ab，則它的周長是 20為了交通方便，在一塊長為am，寬為bm的長方形稻田內修兩條道路，橫向道路為矩形，縱向道路為平行四邊形，道路的寬均為1m（如圖），則余下可耕種土地的面積是 m2三解答題（共5小題）21如果a22（k1）ab+9b2是一個完全平方式，那么k 22通常情況下，用兩種不同的方法計算同一圖形的面積，可以得到一個恒等式，如圖1，根據圖中陰影部分的面積可表示為 ，還可表示為 ，可以得到的恒等式是 類似地，用兩種不同的方法計算同一各幾何體的體積，也可以得到一個恒等式，如圖2是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊用不同方法計算這個正方體的體積，就可以得到一個恒等式，這個恒等式是 23計算：4a2b（ab2）3（2ab）24先化簡，再求值：（9x3y12xy3+3xy2）（3xy）（2y+x）（2yx），其中x1，y225如圖，有一塊邊長為（3a+2）米的正方形鐵片，王師傅要制作一個工件，欲在正方形鐵片中央剪去一個小正方形鐵片，按照圖紙要求剪去小正方形后工件的寬度為2b米問剪去小正方形后工件的面積是多少？參考答案與試題解析一選擇題（共14小題）1如圖1，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（ab），將余下的部分剪開后拼成一個平行四邊形（如圖2），根據兩個圖形陰影部分面積的關系，可以得到一個關于a，b的恒等式為（）A（ab）2a22ab+b2B（a+b）2a2+2ab+b2Ca2b2（a+b）（ab）Da2+aba（a+b）【分析】分別計算這兩個圖形陰影部分面積，根據面積相等即可得到【解答】解：第一個圖形的陰影部分的面積a2b2，第二個圖形面積（a+b）（ab），則a2b2（a+b）（ab）故選：C【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確表示出兩個圖形中陰影部分的面積是關鍵2如果一個正整數可以表示為兩個連續奇數的平方差，那么稱該正整數為“和諧數”如（83212，165232，即8，16均為“和諧數”），在不超過2017的正整數中，所有的“和諧數”之和為（）A255054B255064C250554D255024【分析】由（2n+1）2（2n1）28n2017，解得n252，可得在不超過2017的正整數中，“和諧數”共有252個，依此列式計算即可求解【解答】解：由（2n+1）2（2n1）28n2017，解得n252，則在不超過2017的正整數中，所有的“和諧數”之和為3212+5232+50525032505212255024故選：D【點評】此題考查了平方差公式，弄清題中“和諧數”的定義是解本題的關鍵3可以運用平方差公式運算的有（）個（1+2x）（12x）；（12x）（1+2x）；（ab2b）（ab2b）A1B2C3D0【分析】根據平方差公式的結構：（1）兩個二項式相乘，（2）有一項相同，另一項互為相反數，對各項分析后利用排除法求解【解答】解：中1同號，2x異號，符合平方差公式；中兩項均異號，不符合平方差公式；中2b同號，ab異號，符合平方差公式所以有兩個可以運用平方差公式運算故選：B【點評】此題考查了平方差公式的結構解題的關鍵是準確認識公式，正確應用公式4若xn81（x2+9）（x+3）（x3），則n等于（）A2B4C6D8【分析】（x2+9）（x+3）（x3）根據平方差公式可以求出結果，然后根據已知等式即可求出n的值【解答】解：（x2+9）（x+3）（x3），（x2+9）（x29），x481，xn81x481，n4故選：B【點評】本題考查了平方差公式，首先利用平方差公式化簡等式的右邊，然后根據多項式的項的指數相等來確定n的值5已知a2005x+2004，b2005x+2005，c2005x+2006，則多項式a2+b2+c2abbcac的值為（）A0B1C2D3【分析】觀察知可先把多項式轉化為完全平方形式，再代入值求解【解答】解：由題意可知ab1，bc1，ac2，所求式（2a2+2b2+2c22ab2bc2ca），（a22ab+b2）+（b22bc+c2）+（a22ac+c2），（ab）2+（bc）2+（ac）2，（1）2+（1）2+（2）2，3故選：D【點評】本題考查了完全平方公式，屬于基礎題，關鍵在于靈活思維，對多項式擴大2倍是利用完全平方公式的關鍵6將邊長分別為a和b的兩個正方形如圖所示放置，則圖中陰影部分的面積是（）Ab2Ba2Ca2b2Dab【分析】由陰影部分面積等于兩個正方形面積的和減去三個三角形面積【解答】解：S陰影a2+b2b2（a+b）a（ab）aS陰影b2故選：A【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，關鍵是利用面積法解決問題7當a（a1）（a2b）2時，則ab的值為（）A2B2C4D8【分析】先把條件化簡得到ab的值，再把代數式通分后利用完全平方式整理，然后整體代入計算【解答】解：a（a1）（a2b）2，去括號并整理，得ab2，ab，ab2故選：B【點評】本題考查了完全平方公式，通分后構成完全平方公式是解本題的關鍵，整體代入思想的利用也比較關鍵8如果9x2+kx+25是一個完全平方式，那么k的值是（）A15B5C30D30【分析】本題考查的是完全平方公式的理解應用，式中首尾兩項分別是3x和5的平方，所以中間項應為加上或減去3x和5的乘積的2倍，所以kx23x530x，故k30【解答】解：（3x5）29x230x+25，在9x2+kx+25中，k30故選：D【點評】對于完全平方公式的應用，要掌握其結構特征，兩數的平方和，加上或減去乘積的2倍，因此要注意積的2倍的符號，有正負兩種，本題易錯點在于只寫一種情況，出現漏解情形9若a2b2，ab，則a+b的值為（）ABCD2【分析】已知第一個等式利用平方差公式化簡，將第二個等式代入計算即可求出a+b的值【解答】解：a2b2（a+b）（ab），ab，a+b，故選：B【點評】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵10有三種長度分別為三個連續整數的木棒，小明利用中等長度的木棒擺成了一個正方形，小剛用其余兩種長度的木棒擺出了一個長方形，正方形和長方形每邊只有一根木棒，則他們兩人誰擺的面積大？（）A小剛B小明C同樣大D無法比較【分析】可設三個木棒的長度分別為x1、x、x+1，分別表示出兩個圖形的面積，再用作差法進行比較大小即可【解答】解：設三個木棒的長度分別為x1、x和x+1，則小明所擺正方形的面積為x2，小剛所擺長方形的面積為（x+1）（x1），x2（x+1）（x1）x2（x21）x2x2+110，x2（x+1）（x1），小明所擺的正方形的面積大于小剛所擺長方形的面積，故選：B【點評】本題主要考查平方差公式的應用，掌握平方差公式是解題的關鍵，注意作差法比較大小的應用11已知x+5，那么x2+（）A10B23C25D27【分析】根據完全平方公式，即可解答【解答】解：x+5，故選：B【點評】本題考查了完全平分公式，解決本題的關鍵是熟記完全平分公式12圖（1）是一個長為2a，寬為2b（ab）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是（）AabB（a+b）2C（ab）2Da2b2【分析】中間部分的四邊形是正方形，表示出邊長，則面積可以求得【解答】解：中間部分的四邊形是正方形，邊長是a+b2bab，則面積是（ab）2故選：C【點評】本題考查了列代數式，正確表示出小正方形的邊長是關鍵13若要使4x2mx+成為一個完全平方式，則m的值應為（）ABCD【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出m的值【解答】解：4x2mx+為一個完全平方式，m，故選：A【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵14若9x2+2（k3）x+16是完全平方式，則k的值為（）A15B15或15C39或33D15或9【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出k的值【解答】解：9x2+2（k3）x+16是完全平方式，k312，解得：k15或k9，故選：D【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵二填空題（共6小題）15一個正方形的邊長增加2cm，它的面積就增加24cm，這個正方形的邊長是5cm【分析】本題是平方差公式的應用，設這個正方形的邊長為a，根據正方形面積公式有（a+2）2a224，先用平方差公式化簡，再求解【解答】解：設這個正方形的邊長為a，依題意有（a+2）2a224，（a+2）2a2（a+2+a）（a+2a）4a+424，解得a5【點評】本題考查了平方差公式，掌握正方形面積公式并熟記公式結構是解題的關鍵16從前，有一個狡猾的地主，把一塊邊長為a米的正方形土地租給馬老漢栽種過了一年，他對馬老漢說：“我把你這塊地的一邊減少5米，另一邊增加5米，繼續租給你，你也沒吃虧，你看如何？”馬老漢一聽，覺得好像沒吃虧，就答應了其實我們知道馬老漢吃虧了請運用本學期相關知識分析一下馬老漢租用的土地面積虧了25平方米【分析】由題意可知道原來正方形土地的面積是a2平方米，而現在這塊地的一邊減少5米，另一邊增加5米后的面積是（a5）（a+5）平方米，然后用a2減去（a5）（a+5）算出答案即可【解答】解：原來正方形土地的面積是a2平方米，現在這塊地的一邊減少5米，另一邊增加5米后的面積是（a5）（a+5）平方米，a2（a5）（a+5）a2（a225）25平方米，馬老漢租用的土地面積虧了25平方米，故答案為：25【點評】本題考查了平方差公式在生活實際中的運用，解題的關鍵就是讀懂題意列出算式，然后熟練的運用平方差公式（a+b）（ab）a2b2進行計算17一個大正方形和四個全等的小正方形按圖、兩種方式擺放，則圖的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積是ab（用a、b的代數式表示）【分析】利用大正方形的面積減去4個小正方形的面積即可求解【解答】解：設大正方形的邊長為x1，小正方形的邊長為x2，由圖和列出方程組得，解得，的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積（）24（）2ab故答案為：ab【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確求出大小正方形的邊長列代數式，以及整式的化簡，正確對整式進行化簡是關鍵18有兩個正方形A，B，現將B放在A的內部得圖甲，將A，B并列放置后構造新的正方形得圖乙若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12，則正方形A，B的面積之和為13【分析】設正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，由圖形得出關系式求解即可【解答】解：設正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，由圖甲得a2b22（ab）b1即a2+b22ab1，由圖乙得（a+b）2a2b212，2ab12，所以a2+b213，故答案為：13【點評】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，解題的關鍵是根據圖形得出數量關系19一個長方形的面積是2a22b2，如果它的一條邊長是ab，則它的周長是6a+2b【分析】首先根據面積公式求得長方形的另一邊長，然后根據長方形的周長公式求解【解答】解：長方形的另一邊長為：（2a22b2）（ab）2（a+b）2a+2b，長方形的周長為（2a+2b+ab）2（3a+b）26a+2b，故答案為：6a+2b【點評】本題考查了整式的除法，解決本題的關鍵是根據面積公式求得長方形的另一邊長20為了交通方便，在一塊長為am，寬為bm的長方形稻田內修兩條道路，橫向道路為矩形，縱向道路為平行四邊形，道路的寬均為1m（如圖），則余下可耕種土地的面積是（abab+1）m2【分析】由題意可求出長方形稻田的面積，然后求出矩形道路的面積和平行四邊形道路的面積另外兩條道路重合部分的面積也是平行四邊形，面積也需要求出，則余下土地面積等于：長方形稻田的面積矩形道路的面積平行四邊形道路的面積+重合部分的面積，代入計算即可【解答】解：由題可知，耕地面積（abab+1）m2【點評】本題考查了整式的混合運算，解題時不要忘記要加上兩條道路復合的部分，因為它被減了兩次三解答題（共5小題）21如果a22（k1）ab+9b2是一個完全平方式，那么k4或2【分析】先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式的乘積二倍項即可確定k的值【解答】解：a22（k1）ab+9b2a22（k1）ab+（3b）2，2（k1）ab2a3b，k13或k13，解得k4或k2即k4或2故答案為：4或2【點評】本題主要考查了完全平方式，根據平方項確定出這兩個數是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要22通常情況下，用兩種不同的方法計算同一圖形的面積，可以得到一個恒等式，如圖1，根據圖中陰影部分的面積可表示為（a+b）2（ab）2，還可表示為4ab，可以得到的恒等式是（a+b）2（ab）24ab類似地，用兩種不同的方法計算同一各幾何體的體積，也可以得到一個恒等式，如圖2是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊用不同方法計算這個正方體的體積，就可以得到一個恒等式，這個恒等式是（a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3【分析】根據面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法一種是用大正方形面積空白部分正方形面積；另一種是將陰影部分的四個長方形面積相加，可得等式（a+b）2（ab）24ab；根據體積的不同求解方法，可得到不同的表示方法一種是將大正方體棱長表示出來求體積；另一種是將各個小的長方體體積加起來，可得等式（a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3【解答】解：陰影部分的面積大正方形的面積中間小正方形的面積 即：（a+b）2（ab）2，又陰影部分的面積由4個長為a，寬為b的小正方形構成 即：4ab，（a+b）2（ab）24ab；故答案為：（a+b）2（ab）2；4ab；（a+b）2（ab）24ab；八個小正方體和長方體的體積之和是：