抽屜原理分配問題新華小學 徐姍教學目標：1經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。2通過操作發(fā)展學生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學思維。3通過“抽屜原理”的靈活應用感受數(shù)學的魅力。教學重、難點：經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，理解“抽屜原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。教學過程：一、生活問題數(shù)學化 初步感知抽屜原理模型。師：同學們，你們玩過搶椅子的游戲嗎？現(xiàn)在，老師這里準備了3把椅子，請4個同學上來，誰愿來？（學生上來后）1. 師提出游戲要求：(1)聽清要求 ，老師開始拍手以后，開始搶凳子, 在停止之前老師會提醒參賽人員喊：“三、二、一、停！”(2)今天我們得”搶凳子游戲可和以往的不一樣哦. 聽清要求: 請你們4個都坐在椅子上，（強調(diào)）每個人必須都坐下，好嗎？（好）。這時教師面向全體，背對那4個人。2.師：剛才老師一直面對著你們沒看到他們怎么搶椅子，但是我大膽的猜測：“不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個同學”我說得對嗎？（生：對）生：對！（生不相信還可以再玩搶椅子游戲驗證。）師：“總有”是什么意思？“至少”是什么意思？3生嘗試解釋：“不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩位同學”這個猜測。4.師揭示課題：你知道老師為什么猜的那么準嗎？其實這中間蘊含著一個有趣的數(shù)學原理，叫做抽屜原理，這節(jié)課我們就一起來研究這個原理。設計意圖教師從學生熟悉的“搶椅子”游戲開始，讓學生初步體驗不管 怎么坐，總有一把椅子上至少坐兩個同學，使學生 明確這是現(xiàn)實生活中存在著的一種現(xiàn)象，即是生活問題數(shù)學化，不僅激發(fā)了學生的學習興趣，還使學生對數(shù)學建模進入躍躍欲試的狀態(tài)，為后面開展教與學的活動做了鋪墊。 二、感悟數(shù)學思想，建立數(shù)學模型。1.提問引入。 師：你們知道抽屜是做什么用的呢？生：放東西的。有了放東西的,還要有什么？生：要放的東西。我們就假設要放的東西是小棒，下面我們就來研究往杯子里放小棒。同學們可以把杯子當作抽屜。2.教學例一。（課件出示題目）：把4根小棒放入3個杯子，不管怎么放，總有一個杯子至少放2根小棒。問：這句話是什么意思？“總有”什么意思？“至少”呢？（生按照自己的理解說一說）這句話對嗎？（1）動手操作。師課件出示活動要求并說明：在判斷之前讓我們先研究一下“把4根小棒任意放入3個杯子有幾種放法？”請同學們用圓圈表示杯子，斜杠表示小棒，動手放一放、畫一畫，看有有幾種擺法，將結(jié)果寫在記錄單上，然后同桌再互相討論看看有沒有各自遺漏的擺法。師：（師巡視，個別指導。）誰上臺展示一下自己的擺法？（展示臺投影）師：看這位同學是怎么放的！生：第一種方法是第一個杯子里放2根，第二個杯子里放1根，第三個杯子里放1根師：咱們數(shù)學講究簡潔，我們可以用2，1，1來表示。板書：（2，1，1）那么其他三種放法也請同學們用這種簡便方法表示出來。（根據(jù)學生擺的情況，板書：（2，1，1）（2，2，0）（3，1，0）（4，0，0）（2）交流匯報。師：其實就四種放法，我們一起來看看。（課件先出示四種放法，再出示猜測：把4根小棒放入3個杯子，不管怎么放，總有一個杯子至少放2根小棒。這句話對嗎？你找到那個能判斷出至少放2根小棒的杯子了嗎？）師板書：圈出至少數(shù)“2”。生交流匯報：對，因為第一種放法（2，1，1）中放的小棒最多的杯子里有2根小棒。第二種放法（2，2，0）中放的小棒最多的杯子里有2根小棒。第三種放法（3，1，0）中放的小棒最多的杯子里有3根小棒。第四種擺法（4，0，0）中放的小棒最多的杯子里有4根小棒。而最多的小棒數(shù)中至少有2根小棒。所以把4根小棒任意放入3個杯子，總有杯子比其他杯子放的小棒多，這個杯子里至少有2枝小棒。3.師出題（課件出示）：那5根小棒放進4個杯子，不管怎么放，總有一個杯子至少放幾根小棒？學生猜測：2或3。師：還有其他猜測嗎？（學生無語）我們驗證一下。把5根小棒放入4個杯子，有幾種放法？小組合作，將結(jié)果寫在記錄單上，驗證你們的猜測對不對。同學們也可以用剛才簡便的方法來表示你的放法。小組動手操作，交流匯報。（師巡視，個別指導。）師：誰上臺展示一下自己的擺法？（展示臺投影）（根據(jù)學生擺的情況，板書：（2，1，1，1）（2，2，1，0）（3，1，1，0）（3，2，0，0）（4，1，0，0）（5，0，0，0）生：我們?nèi)Τ雒糠N放法最多放幾根小棒，然后發(fā)現(xiàn)最多放的小棒里面至少可以放2根小棒。（師板書：圈出每種放法中最多的放幾根小棒，然后讓學生發(fā)現(xiàn)最多放的小棒里至少可以放2根小棒。）設計意圖讓學生在經(jīng)歷“抽屜原理”建模形成過程中積累數(shù)學經(jīng)驗，感悟數(shù)學思想。讓學生從動手畫圖到不用畫圖直接推理，經(jīng)歷從簡單到復雜，從感性到理性的過程。師：同學們真是太厲害了！借助剛才的經(jīng)驗，先找到每組放法里面放的最多的杯子，他們組怎么一下子全找到了？生：他們組是有序思考。師：對啊，有序思考是我們研究數(shù)學常用的方法，它能做到不重復、不遺漏。他們組從最多里面再找到最少的，從而發(fā)現(xiàn)，不管怎么放，總有一個杯子里至少放2根小棒。不管是把4根小棒放入3個杯子，還是把5根小棒放入4個杯子，我們都是采用了一一列舉的方法來研究的，（板書：列舉法）列舉法是數(shù)學研究中一種常用的方法，它非常的直觀。4.師：如果這里有100根小棒放進30個抽屜讓你用列舉法來研究，你覺得怎么樣？ 師：太麻煩了！是啊，那有沒有更簡便的方法讓我們很快就找到至少數(shù)呢？我們再回頭看。請同學們認真觀察每一種放法，分別找出哪一種放法最能說明“總有一個杯子里至少放2根小棒呢？” 師：先來看把4根小棒放入3個杯子，哪種放法最能說明至少數(shù)？生：（2，1，1）把5根小棒放入4個杯子呢？（生：（2，1，1，1）師：觀察這種放法和其他放法相比有什么特點？（生：它放的比較平均，讓每一個杯子里都有小棒。）師：均勻的放，在數(shù)學的語言上叫什么分？（生：平均分。）師：好了，那我們就以“4根小棒放入3個杯子”為例，來看一看它是怎么平均分的？（課件出示分的過程）哪位同學來說說是怎么分的？（生回答）設計意圖：鼓勵學生積極的自主探索，尋找不同的證明方法，在枚舉法的基礎上，學生意識到了要考慮最少的情況，從而引出假設法滲透平均分的思想。師：假設每個杯子放進1根小棒，還剩1根小棒怎么放？生：可以放進第一個杯子；可以放進任意一個杯子。師：對，（課件演示）不管怎么放，總有一個杯子至少放（引導學生說“2根”），這樣我們就可以很快的找出至少，平均分確實很簡便。師：你們能不能把剛才的平均分用算式表示出來？請寫在記錄單的橫線上。（據(jù)生匯報板書：43=11）師：那至少2根，2是怎么來的呢？生：1+1=2。（師板書：1+1=2）師：1+1=2，這兩個1的意思一樣嗎？生：前一個1表示每個杯子里放1根小棒，后一個1表示剩下的1根小棒。師：所以我們要加上剩下的1。那你們能不能把“5根小棒放入4個杯子”的過程也用算式表示出來？寫在記錄單上。生：54=11，1+1=2。設計意圖在這一環(huán)節(jié)的教學中緊抓假設法最核心的思路就是用“有余數(shù)除法” 形式表示出來，使學生學生借助直觀，能夠很好的理解如果把物品盡量多地“平均分”給各個抽屜里，看每個抽屜里能分到多少個物品，余下的物品不管放到哪個抽屜里，總有一個抽屜里比平均分得的物品數(shù)多1。師：看來同學們已經(jīng)會用有余數(shù)的方法來求至少數(shù)了。我們來回憶一下我們研究的過程。一開始，我們是先把每種放法都列舉出來，然后在每種放法里面找出最多的，再從最多的里面找到最少的，從而發(fā)現(xiàn)至少數(shù)。而“用有余數(shù)的方法來求至少數(shù)”，這種方法在數(shù)學上叫做假設法（師板書），它里面蘊含著同學們所說的平均分。我們用有余數(shù)的算式把平均分的過程簡明的表示出來了。現(xiàn)在同學們會用簡便方法來求至少數(shù)了嗎？（生：會。）5.師：還記得我們玩的“搶椅子”游戲嗎？誰能用假設法解釋：“6個人搶坐5把椅子，不管怎么坐，總有1把椅子上至少坐2個同學”？（師適當引導：誰是抽屜，誰又相當于要放的小棒？）生：5把椅子相當于抽屜，6個人相當于小棒，假設5把椅子上各坐了1個人，還剩1個人不管怎么坐，總有1把椅子上至少坐2人。可以用算式表達：65=11，1+1=2。師：如果把7根小棒任意放入6個杯子里呢？（生：總有1個杯子至少有2根小棒。）請用假設法解釋“總有一個杯子至少有2根小棒”的結(jié)論。（師可引導學生說：假設剩下的小棒無論怎么放都保證至少）師要求同學繼續(xù)說，不要停。師：停，你們累不累呀？還要一直說下去嗎？能不能用一句話把它概括出來。（生回答）非常棒，你們知道嗎，這就是抽屜原理最簡單的一種形式：把n+1個物品放進n個抽屜里，如果每個抽屜各放1個物品，那么剩下1個物品，不管怎么放，總有一個抽屜里至少有2個物品。三、豐滿提煉模型。1師：以上研究都是物品數(shù)只比抽屜數(shù)多1的情況，如果物品數(shù)比抽屜數(shù)多2，多3等等的時候總有1個抽屜的至少數(shù)又是多少呢？你們知道嗎，在其他國家是使用鴿籠來研究的，一起看：（課件出示：7只鴿子飛進5個鴿舍，至少有幾只鴿子飛進同一個鴿籠？（生獨立思考，自主探究，根據(jù)學生說理情況，進行課件操作演示。）問：余下2只鴿子應該怎么分？為什么？（生回答：雖然剩下的鴿子有2只，但是這兩只鴿子要分別飛進不同的鴿舍才能保證至少的情況，所以結(jié)果也是至少有2只鴿子要飛進同一個鴿籠里。師進一步強調(diào)“至少”情況：這里鴿子數(shù)比鴿籠數(shù)多2，但是至少數(shù)是1+1=2，而不是1+2=3）問：用一個什么算式表示呢？生：75=121+1=2（師板書）師：剛才我們在不知不覺中把7只鴿子看成了什么？而把鴿籠又看成了什么？所以抽屜原理又被叫做“鴿籠原理”。如果把你們的文具盒看成是抽屜，那會不會創(chuàng)造出文具盒原理呢？（生：會）其實生活中抽屜原理是一種解決問題的“模型”。用這個模型解決問題時只要分清什么是待分物品，什么是抽屜就好了。2. 師：還記得“把100根小棒放進30個杯子里，總有一個杯子至少放幾根小棒”這個問題嗎？現(xiàn)在你能很快得出至少數(shù)了嗎？（課件出示：把100根小棒放進30個杯子里，總有一個杯子至少放幾根小棒？）生：假設每個杯子平均放3根小棒，還剩下10根小棒，不管怎么放，總有一個杯子至少放4根小棒。 10030=3103+1=4 設計意圖在分析這類題的結(jié)構中提煉數(shù)學模型的精髓，解決一個問題的價值在于建立這樣一種解決問題的模型而不在于這個問題本身，達到培養(yǎng)學生思維能力的目的。3.總結(jié)抽屜原理的一般形式。師：同學們，放進抽屜的物品既可以是小棒，也可以是人、鴿子（板書：物品）；而抽屜既可以是杯子，也可以是椅子、鴿籠（板書：抽屜）。把物品放進抽屜里，如果平均分后有剩余，無論余數(shù)是幾，總有一個抽屜里至少數(shù)是（引導學生說“商+1”個）。師：（課件出示抽屜原理）如果用m表示物品數(shù)，n表示抽屜數(shù)，把m個物品放進n個抽屜里，如果mn=kc(c0),那么總有一個抽屜里至少有k+1個物品。這種原理統(tǒng)稱為抽屜原理。四、應用擴展。1.課件出示：算命先生說：“5個人中至少有2個人在同一個季節(jié)出生的。” 問：這位算命先生算得準嗎?為什么?（說明隱藏條件：四季） 這個問題可以用一個什么算式表示呢？ 生54=11 師問并板書：5表示什么？相當于什么？（5表示人數(shù)，相當于物品。） 4表示什么？相當于什么？（4表示季節(jié)，相當于抽屜。） 兩個1分別表示什么？ 問：怎樣得到至少幾人在同一個季節(jié)出生?（生：假設其中4個人在春夏秋冬四個不同的季節(jié)出生，剩下的那個人不管是在哪個季節(jié)出生，都會出現(xiàn)“5個人中至少2人在同一季節(jié)出生”的情況。2.我們班有幾位同學？我們班至少有4個人出生在同一個月份，這個結(jié)論對嗎？ 生用假設法回答解釋，然后可現(xiàn)場舉手驗證。3、小麗從書架上隨意拿下了13份報紙，你知道至少有幾份報紙是同一個月的嗎？4.一盒圍棋棋子,黑白子混放,我們?nèi)我饷?個棋子,至少有2個棋子是同顏色的,為什么?5.任意13人中,至少有幾個人的屬相是相同的?想一想,五、課堂小結(jié)。1.話說抽屜：今天我們一起研究了“抽屜原理”，“抽屜原理”又稱“鴿籠原理”，最先是由19世紀德國數(shù)學家狄利克雷提出的，所以又稱“狄利克雷原理”。在應用抽屜原理解決問題時，首先是分清把什么當作“物品”，什么當作“抽屜”。在我國古代文獻中，有不少成功地運用抽屜原理來分析問題的例子。例如宋代費袞的梁溪漫志中，就曾運用抽屜原理來批駁“算命”一類迷信活動的謬論,清代錢大昕的潛研堂文集、阮葵生的茶余客話、陳其元的庸閑齋筆記中都有類似的文字。然而，令人不無遺憾的是：我國學者雖然很早就會用抽屜原理來分析具體問題，但是在古代文獻中并未發(fā)現(xiàn)關于抽屜原理的概括性文字，沒有人將它抽象為一條普遍的原理。最后還不得不將這一原理冠以數(shù)百年后西方學者狄利克雷的名字。設計意圖穿插介紹抽屜原理、鴿籠原理的