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總練習1、設為實數,證明:(1)(2) 證 因為 所以2、設和都是上的初等函數,定義,.試問和是否為初等函數?解:因為所以是由初等函數和經四則運算和有限次復合而成的函數,故是初等函數.又因為所以也是由初等函數和經四則運算和有限次復合而成的函數,從而是初等函數.3、 設函數,求:.4、 已知,求.解: .5、 利用函數求解:a) 某系各班級推選學生代表,每5人推選一名代表,余額滿3人可增選1名,寫出可推選代表人數與班級學生數之間的函數關系(假設每班學生數為人);b) 正數經四舍五入后得正數,寫出與之間的函數關系.解: (1) 因余額滿3人可增選1名,也就是說可在原來基礎上增加2人后取整,于是(2)由定義知.6、 已知函數的圖形,試作出下列各函數的圖形:(1);(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7)解:(1) 和的圖形關于軸對稱(2)和的圖形關于軸對稱(3) 和的圖形關于原點對稱(4) (5) =(6) (7) 它們的圖象如圖1-14-圖1-167、 已知函數f和g的圖象,試作出下列函數的圖形:(1)(2) 解 (1),(2)的圖形如圖1-17和圖1-188、 設f、g和h為遞增函數，證明：若，則.證 由題設條件，有，因而.9.設f、g為區間上遞增函數,證明和都是上的遞增函數.證 對任意的，由f、g在上遞增知，因之，.從而,即在上是遞增函數.同理可證在上是遞增函數.10.設為上的奇(偶)函數,證明:若在上遞增,則在上遞增(減).證: 當為奇函數時,對任意的,有,且.而,從而有,即,所以在上是遞增的.當為偶函數時,類似地可以證明結論成立.11.證明:(1) 奇函數與奇函數之和仍為奇函數;(2)偶函數與偶函數之和仍為偶函數;(3)奇函數與偶函數的乘積是奇函數;(4) 奇函數與奇函數的乘積是偶函數;(5) 偶函數與偶函數的乘積是偶函數.證:只證(1)、(3)，其余可以類似地證明.設,為上的奇函數, ,為上的偶函數.(1) 令,則對任意的,所以是上的奇函數.(3) 令,則對任意的,所以是上的奇函數.12.設,為上有界函數,證明:.證: 對任意,由于,所以,故 (1)由不等式(1)又有所以同理有對任意,由于,所以故 (2)由不等式(2)知所以即同理有13. 設,為上有界函數,且證明: 證: (1) 只證第一個和第三個不等式.由且,所以故同理可以證明(2) 第二個不等式顯然成立14.延拓定義在上的函數到整個實數軸上,使所得的函數為()奇函數()偶函數.設(1)(2)解: (1)令則是奇函數, 是偶函數, 且都是延拓.(2)令則是奇函數, 是偶函數, 且都是延拓.注:一般地令,則是上的奇函數, 是上的偶函數, 且都是的延拓.15.設為定義在上以為周期的函數.證明:若在上有界,則在上有界.證:因為在上有界,從而存在,對任意的,有.對任意的,

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