第五章萬有引力與航天一、開普勒行星運動定律開普勒行星運動的定律是在丹麥天文學(xué)家第谷的大量觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上概括出的，給出了行星運動的規(guī)律。1開普勒第一定律：所有的行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上。因此第一定律又叫橢圓定律。例1哪位科學(xué)家第一次對天體做圓周運動產(chǎn)生了懷疑？（ ）A布魯諾B伽利略C開普勒D第谷答案：C2開普勒第二定律：對任意一個行星而言，太陽和行星的連線在相同的時間內(nèi)掃過相等的面積。第二定律又叫面積定律。例2某行星繞太陽運行的橢圓軌道如圖所示，F(xiàn)1、F2是橢圓軌道的兩個焦點，太陽在焦點F1上，A、B兩點是F1、F2連線與橢圓的交點已知A點到F1的距離為a，B點到F1的距離為b，則行星在A、B兩點處的速率之比多大？答案：ba3開普勒第三定律：所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。即。開普勒第三定律又叫做周期定律。以T1T2表示兩個行星的公轉(zhuǎn)周期，a1a2表示兩個行星橢圓軌道的半長軸，則周期定律可表示為 T12T22a13a23 或 a3T2k，比值是與行星無關(guān)而只與太陽有關(guān)的恒量。例3太陽系八大行星公轉(zhuǎn)軌道可近似看作圓軌道，“行星公轉(zhuǎn)周期的平方”與“行星與太陽的平均距離的三次方”成正比。地球與太陽之間平均距離約為1.5億千米，結(jié)合下表可知，火星與太陽之間的平均距離約為水星金星地球火星木星土星公轉(zhuǎn)周期（年）0.2410.6151.01.8811.8629.5A1.2億千米B2.3億千米C4.6億千米D6.9億千米答案：B例4據(jù)報道，2009年4月29日，美國亞利桑那州一天文觀測機構(gòu)發(fā)現(xiàn)一顆與太陽系其它行星逆向運行的小行星，代號為2009HC82。該小行星繞太陽一周的時間為3.39年，直徑23千米，其軌道平面與地球軌道平面呈155的傾斜。假定該小行星與地球均以太陽為中心做勻速圓周運動，則小行星和地球繞太陽運動的速度大小的比值為（ ）A3.39-13B3.39-12C3.3932D3.3923答案：A例51990年4月25日，科學(xué)家將哈勃天文望遠(yuǎn)鏡送上距地球表面約600 km的高空，使得人類對宇宙中星體的觀測與研究有了極大的進(jìn)展.假設(shè)哈勃天文望遠(yuǎn)鏡沿圓軌道繞地球運行.已知地球半徑為6.4106 m，利用地球同步衛(wèi)星與地球表面的距離為3.6107 m這一事實可得到哈勃天文望遠(yuǎn)鏡繞地球運行的周期.以下數(shù)據(jù)中最接近其運行周期的是（ ）A0.6小時B1.6小時C4.0小時D24小時答案：B例6據(jù)報道，2009年4月29日，美國亞利桑那州一天文觀測機構(gòu)發(fā)現(xiàn)一顆與太陽系其他行星逆向運行的小行星，代號為2009HC82.該小行星繞太陽一周的時間為T年，直徑23千米，而地球與太陽之間的距離為R0。如果該行星與地球一樣，繞太陽運動可近似看做勻速圓周運動，則小行星繞太陽運動的半徑約為（ ）AR03T2BR031TCR031T2DR03T答案：A例7宇宙飛船進(jìn)入一個圍繞太陽運行的近似圓形軌道上運動，如果軌道半徑是地球軌道半徑的9倍，那么宇宙飛船繞太陽運行的周期是（ ）A3年B9年C27年D81年答案：C例8人造地球衛(wèi)星運行時，其軌道半徑為月球軌道半徑的三分之一，則此衛(wèi)星運行的周期大約是（ ） A1d至4dB4d至8dC8d至16dD大于16d答案：B例9飛船沿半徑為R的圓周繞地球運動，其周期為T。如果飛船要返回地面，可在軌道上某點A處，將速率降低到適當(dāng)數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運動，橢圓和地球表面在B點相切，如圖所示。如果地球半徑為R0，求飛船由A點到B點所需要的時間。答案：t（RR0）T4RRR02R二、萬有引力定律及其應(yīng)用1萬有引力定律內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都是互相吸引的，引力的大小跟這兩個物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離平方成反比公式：FGm1m2r2，其中G6.6710-11Nm2/kg2適用條件：質(zhì)點間的相互作用，或質(zhì)量均勻分布的球體。應(yīng)用方法：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供。即Gm1m2r2mv2Rm2Rm（2T）2R重力是萬有引力的一個分力，一般情況下，不考慮地球自轉(zhuǎn)，則GMmR2mg 即：GMgR2或GgR2M（黃金代換）例1對于萬有引力定律的表達(dá)式FGm1m2r2，下列說法中正確的是（ ）A公式中G為引力常量，它是由實驗測得的，而不是人為規(guī)定的B當(dāng)r趨于零時，萬有引力趨于無限大C兩物體受到的引力總是大小相等的，而與m1、m2是否相等無關(guān)D兩物體受到的引力總是大小相等、方向相反，是一對平衡力答案：AC例2牛頓以天體之間普遍存在著引力為依據(jù)，運用嚴(yán)密的邏輯推理，建立了萬有引力定律。在創(chuàng)建萬有引力定律的過程中，牛頓（ ）A接受了胡克等科學(xué)家關(guān)于“吸引力與兩中心距離的平方成反比”的猜想B根據(jù)地球上一切物體都以相同加速度下落的事實，得出物體受地球的引力與其質(zhì)量成正比，即Fm的結(jié)論C根據(jù)Fm和牛頓第三定律，分析了地月間的引力關(guān)系，進(jìn)而得出Fm1m2D根據(jù)大量實驗數(shù)據(jù)得出了比例系數(shù)G的大小答案：AB例3一探月衛(wèi)星在地月轉(zhuǎn)移軌道上運行，某一時刻正好處于地心和月心的連線上，衛(wèi)星在此處所受地球引力與月球引力之比為41.已知地球與月球的質(zhì)量之比約為811，則該處到地心與到月心的距離之比約為？答案：92例4兩個質(zhì)量均為M的星體，其連線的垂直平分線為HN，O為其連線的中點，如圖所示，一個質(zhì)量為m的物體從O沿OH方向運動，則它受到的萬有引力大小變化情況是（ ）A一直增大B一直減小C先減小，后增大D先增大，后減小答案D例5如圖所示，在距一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體R處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，此時球體對質(zhì)點的萬有引力為F1.當(dāng)從球體中挖去一半徑為R2的球體時，剩下部分對質(zhì)點的萬有引力為F2，求F1：F2。答案：9:7例6如圖，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點，在P點正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲藏有石油，假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為；石油密度遠(yuǎn)小于，可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度（正常值）沿豎直方向；當(dāng)存在空腔時，該地區(qū)重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏高。重力加速度在原堅直方向（即PO方向）上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”。為了探尋石油區(qū)域的位置和石油儲量，常利用P點附近重力加速度反常現(xiàn)象。已知引力常數(shù)為G。（1）設(shè)球形空腔體積為V，球心深度為d（遠(yuǎn)小于地球半徑），PQx，求空腔所引起的Q點處的重力加速度反常（2）重力加速度反常值在與k（k1）之間變化，且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半為L的范圍的中心，如果這種反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積。答案：（1）GVd（d2x2）32；（2）dLk23-1 ，VL2kG（k23-1）2行星與衛(wèi)星的運動思路：環(huán)繞天體繞中心天體做圓周運動的向心力是由萬有引力提供：F萬F向即：GMmR2mv2Rm2Rm（2T）2R（1）線速度的關(guān)系GMmR2mv2R得vGMR ，衛(wèi)星軌道半徑越大，其繞行速度越小。例1假如作圓周運動的人造衛(wèi)星的軌道半徑增大到原來的2倍后仍作圓周運動，則（ ）A根據(jù)公式vr可知，衛(wèi)星運動的線速度將增大到原來的2倍B根據(jù)公式Fmv2r可知，衛(wèi)星所需的向心力將減小到原來的12C根據(jù)公式FGm1m2r2可知，地球提供的向心力將減小到原來的14D根據(jù)上述B和C中給出的公式可知，衛(wèi)星運動的線速度將減小到原來的22答案：CD例21999年5月10日，我國成功的發(fā)射了“一箭雙星”，將“風(fēng)云一號”氣象衛(wèi)星及“實驗5號”科學(xué)實驗衛(wèi)星送入離地面870Km的軌道。這兩顆衛(wèi)星的運行速度為（ ）A7.9Km/sB11.2Km/sC7.4Km/sD3.1Km/s答案：C（2）角速度的關(guān)系GMmR2m2R得GMR3。衛(wèi)星軌道半徑越大，其繞行角速度越小。例1兩顆人造地球衛(wèi)星，它們的質(zhì)量之比m1：m21：2，它們的軌道半徑之比R1：R21：3，那么它們所受的向心力之比F1：F2_；它們的角速度之比1：2_答案：9：2，27：1 例2假設(shè)質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星在圓軌道上運動，它離地面的高度是地球半徑R的2倍，地球表面的重力加速度為g，則衛(wèi)星的（ ）A角速度為g27RB線速度為gRC加速度為g9D動能為mgR3答案：C（3）周期的關(guān)系GMmR2m（2T）2R 得T42R3GM ，衛(wèi)星軌道半徑越大，其繞行周期越大。例1地球公轉(zhuǎn)的軌道半徑是R1，周期是T1；月球繞地球運轉(zhuǎn)的軌道半徑是R2，周期是T2。則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比是（ ）AR13T12R23T22BR13T22R23T12CR12T12R22T22DR12T22R22T12 答案：B例2兩顆人造地球衛(wèi)星，它們質(zhì)量的比m1：m21：2，它們運行的線速度的比是v1：v21：2，那么（）A它們運行的周期比為8：1B它們運行的軌道半徑之比為4：1C它們所受向心力的比為1：32D它們運動向心加速度比為1：16答案：ABCD例3兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面沿同方向繞地球做勻速圓周運動，地球半徑為R，a衛(wèi)星離地面的高度等于R，b衛(wèi)星離地面的高度為3R，則：（1）a、b兩衛(wèi)星的周期之比Ta：Tb是多少？（2）若某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面同一點的正上方，則a至少經(jīng)過多少個周期兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)？答案：2/4；0.773黃金代換GMgR2（1）黃金代換當(dāng)一個物理在地球表面附近繞地球做圓周運動或在地表上的物體做圓周運動向心力忽略不計時，則有：GMmR2mg ，推出：GMgR2 或 GgR2M（黃金代換）黃金代換擴展：當(dāng)離地球由一定高度時也滿足：GMg1（Rh）2當(dāng)在別的星球時也滿足：GMg2R2當(dāng)離其他的星球一定高度時：GMg3（Rh）2例1一星球密度和地球密度相同，它的表面重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，則該星球質(zhì)量是地球質(zhì)量的（忽略地球、星球的自轉(zhuǎn)）（ ）A2倍B4倍C8倍D16倍答案：C例2某星球的質(zhì)量約為地球的9倍，半徑約為地球的一半，若從地球表面高h(yuǎn)處平拋一物體，射程為60 m，則在該星球上，從同樣的高度以同樣的初速度平拋同一物體，射程應(yīng)為（ ）A10 mB15 mC90 mD360 m答案：A例3已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。（1）推導(dǎo)第一宇宙速度v1的表達(dá)式； （2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運行周期T。答案：（1）v1gR；（2）T2R（Rh）3g例4宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處.（取地球表面重力加速度g10 m/s2，空氣阻力不計）（1）求該星球表面附近的重力加速度g；（2）已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星R地14，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M星M地.答案：（1）2 m/s2 ；（2）180（2）估算天體的質(zhì)量和密度已知g，R，r，G（R中心天體的直徑，r為環(huán)繞天體的環(huán)繞半徑）根據(jù)GMmr2mg，推出：中心天體質(zhì)量 Mr2gG；中心天體密度3gr24GR3 例1一物體在一星球表面時受到的吸引力為在地球表面所受吸引力的n倍，該星球半徑是地球半徑的m倍。若該星球和地球的質(zhì)量分布都是均勻的，則該星球的密度是地球密度的_倍。答案：nm例22007年10月24日，我國將“嫦娥一號”衛(wèi)星送入太空，經(jīng)過3次近月制動，衛(wèi)星于11月7日順利進(jìn)入環(huán)月圓軌道。在不久的將來，我國宇航員將登上月球。為了測量月球的密度，宇航員用單擺進(jìn)行測量：測出擺長為l，讓單擺在月球表面做小幅度振動，測出振動周期為T。已知引力常量為G，月球半徑為R，將月球視為密度均勻的球體。求：（1）月球表面的重力加速度g；（2）月球的密度。答案：（1）g42lT2 ；（2）3lGRT2已知T，R，r，G（R中心天體的直徑，r為環(huán)繞天體的環(huán)繞半徑）根據(jù)GMmr2m（2T）2r，推出：中心天體的質(zhì)量 M42r3GT2；中心天體的密度3r3GT2R3 當(dāng)衛(wèi)星沿天體表面繞天體運動時，rR為天體的半徑，則3GT2例1已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T僅利用這三個數(shù)據(jù)，可以估算出的物理量有（ ）A月球的質(zhì)量B地球的質(zhì)量C地球的半徑D月球繞地球運行速度的大小答案：BD例2天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星。這顆行星的體積是地球的4.7倍，是地球的25倍。已知某一近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為1.4小時，引力常量G6.671011Nm2/kg2，由此估算該行星的平均密度為（ ）A1.8103kg/m3B5.6103kg/m3C1.1104kg/m3D2.9104kg/m3答案：D擴展：已知，G，R，r或v，G，R，r依然可以算出中心天體的質(zhì)量和密度例3我國探月工程實施“繞”“落”“回”發(fā)展戰(zhàn)略.“繞”即環(huán)繞月球進(jìn)行月表探測；“落”是著月探測；“回”是在月球表面著陸，并采樣返回，第一步“繞”已于2007年10月24日成功實現(xiàn)，第二步“落”、第三步“回”，計劃分別于2012年、2017年前后實施.假設(shè)若干年后中國人乘宇宙飛船探索月球并完成如下實驗：當(dāng)飛船沿貼近月球表面的圓形軌道環(huán)繞時測得環(huán)繞一周經(jīng)過的路程為s；當(dāng)飛船在月球表面著陸后，科研人員在距月球表面高h(yuǎn)處自由釋放一個小球，并測出落地時間為t。已知萬有引力常量為G，試根據(jù)以上信息，求：（1）月球表面的重力加速度g；（2）月球的質(zhì)量M。答案：（1）g2ht2 ；（2）Ms2h22t2G例4宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球，經(jīng)過時間t，小球落在星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L，若拋出時的初速度增大到2倍，則拋出點與落地點間的距離為3L，已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，引力常量為G，求該星球的質(zhì)量M和密度。答案：3L2Gt2R；M23LR23Gt2（3）其他應(yīng)用例1根據(jù)觀察，在土星外層有一個環(huán)，為了判斷環(huán)是土星的連續(xù)物還是小衛(wèi)星群。可測出環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關(guān)系。下列判斷正確的是（ ）A若v與R成正比，則環(huán)為連續(xù)物B若v2與R成正比，則環(huán)為小衛(wèi)星群C若v與R成反比，則環(huán)為連續(xù)物D若v2與R成反比，則環(huán)為小衛(wèi)星群答案：AD例2人造衛(wèi)星離地面的距離等于地球半徑R，衛(wèi)星的繞行速度為v，地面上的重力加速度為g，則該三個量的關(guān)系是v_。答案：gR2例3一物體在地球表面重16N，它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的視重為9N，則此火箭離地球表面的距離為地球半徑的多少倍？答案：3倍例4某物體在地面上受到的重力為160 N，將它放在衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以加速度a12g隨火箭加速豎直升空的過程中，當(dāng)物體與衛(wèi)星中水平支持物間的壓力為90 N時，求此時衛(wèi)星距地球表面有多高？（地球半徑為R6.4103 km，取g10 m/s2）答案：1.92104 km練習(xí)：1在下面括號內(nèi)列舉的科學(xué)家中，對發(fā)現(xiàn)和完善萬有引力定律有貢獻(xiàn)的是？（安培、牛頓、焦耳、第谷、卡文迪許、麥克斯韋、開普勒、法拉第）2設(shè)想把物體放到地球的中心，則此物體與地球間的萬有引力是（ ）A零B無窮大C與放在地球表面相同D無法確定3將物體由赤道向兩極移動A它的重力減小B它隨地球轉(zhuǎn)動的向心力增大C它隨地球轉(zhuǎn)動的向心力減小D向心力方向、重力的方向都指向球心4已知太陽到地球與地球到月球的距離的比值約為390，月球繞地球旋轉(zhuǎn)的周期約為27天.利用上述數(shù)據(jù)以及日常的天文知識，可估算出太陽對月球與地球?qū)υ虑虻娜f有引力的比值約為（ ）A0.2B2C20D200ROdRO125如圖所示，半徑為R0.2m的兩個均勻金屬球，質(zhì)量均為M160kg，兩球心相距d2m，內(nèi)部挖出一個半徑為R/2的球形空穴，空穴跟金屬球相切。求挖出空穴后兩球間萬有引力的大小。6宇宙飛船繞地心做半徑為r的勻速圓周運動，飛船艙內(nèi)有一質(zhì)量為m的人站在可稱體重的臺秤上，用R表示地球的半徑，g表示地球表面處的重力加速度，g表示宇宙飛船所在處的地球引力加速度，N表示人對秤的壓力，下面說法中正確的是（ ）Ag0Bg R2r2gCN0DNmR2r2g7“神舟五號”載人飛船在繞地球飛行的第5圈進(jìn)行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨萮342 km的圓形軌道已知地球半徑R6.37103 km，地面處的重力加速度g10m/s2。試導(dǎo)出飛船在上述圓軌道上運行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后計算周期T的數(shù)值（保留兩位有效數(shù)字）8A是地球的同步衛(wèi)星，另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為0，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心求：（1）衛(wèi)星B的運行周期；（2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過多長時間，它們再一次相距最近？9據(jù)報道，最近在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，一個在地球表面重量為600 N的人在這個行星表面的重量將變?yōu)?60 N。由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為（ ）A0.5B2C3.2D4101990年5月，紫金山天文臺將他們發(fā)現(xiàn)的第2752號小行星命名為吳健雄星，該小行星的半徑為16 km。若將此小行星和地球均看成質(zhì)量分布均勻的球體，小行星密度和地球相同。已知地球半徑R6400 km，地球表面重力加速度為g。這個小行星表面的重力加速度為（ ）A400g B1400g C20g D120g11火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的110和12，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為（ ）A0.2g B0.4g C2.5g D5g12蕩秋千是大家喜愛的一項體育活動隨著科技的迅速發(fā)展，將來的某一天，同學(xué)們也許會在其他星球上享受蕩秋千的樂趣假設(shè)你當(dāng)時所在星球的質(zhì)量是M、半徑為R，可將人視為質(zhì)點，秋千質(zhì)量不計、擺長不變、擺角小于90，萬有引力常量為G那么，（1）該星球表面附近的重力加速度g星等于多少？（2）若經(jīng)過最低位置的速度為v0，你能上升的最大高度是多少？13在“勇氣號”火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來。假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達(dá)最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v0，求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計火星大氣阻力。已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T，火星可視為半徑為r0的均勻球體。14天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)了某恒星有一顆行星在圓形軌道上繞其運動，并測出了行星的軌道半徑和運行周期由此可推算出（ ）A行星的質(zhì)量B行星的半徑C恒星的質(zhì)量D恒星的半徑15“探路者”號宇宙飛船在宇宙深處飛行過程中，發(fā)現(xiàn)A、B兩顆均勻球形天體，兩天體各有一顆靠近其表面飛行的衛(wèi)星，測得兩顆衛(wèi)星的周期相等，以下判斷正確的是（ ）A天體A、B的質(zhì)量一定不相等B兩顆衛(wèi)星的線速度一定相等C天體A、B表面的重力加速度之比等于它們的半徑之比D天體A、B的密度一定相等16假設(shè)太陽系中天體的密度不變，天體直徑和天體之間距離都縮小到原來的一半，地球繞太陽公轉(zhuǎn)近似為勻速圓周運動，則下列物理量變化正確的是（ ）A地球的向心力變?yōu)榭s小前的一半 B地球的向心力變?yōu)榭s小前的116C地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期與縮小前的相同 D地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期變?yōu)榭s小前的一半172007年4月24日，歐洲科學(xué)家宣布在太陽系之外發(fā)現(xiàn)了一顆可能適合人類居住的類地行星Gliest581c這顆星繞紅Gliese 581運行的星球有類似的星球的溫度，表面可能有液態(tài)水存在，距離地球約為20光年，直徑約為地球的1.5倍，質(zhì)量約為地球的5倍，繞紅矮星Gliese 581運行的周期約為13天。假設(shè)有一艘宇宙飛船飛船飛臨該星球表面附近軌道，下列說法正確的是A飛船在Gliest 581c表面附近運行的周期約為13天B飛船在Gliest 581c表面附近運行時的速度大于7.9km/sC人在liese 581c上所受重力比在地球上所受重力大DGliest 581c的平均密度比地球平均密度小 18一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行。認(rèn)為行星是密度均勻的球體，要確定該行星的密度，只需要測量（ ）A飛船的軌道半徑B飛船的運行速度C飛船的運行周期D行星的質(zhì)量19設(shè)想“嫦娥號”登月飛船貼近月球表面做勻速圓周運動，測得其周期為T，飛船在月球上著陸后，自動機器人用測力計測得質(zhì)量為m的儀器重力為P已知引力常量為G，由以上數(shù)據(jù)可以求出的量有（ ）A月球的半徑B月球的質(zhì)量C儀器隨月球自轉(zhuǎn)的加速度D月球繞地球做勻速圓周運動的向心加速度20假定Z星和地球都是球體。Z星的質(zhì)量MZ和地球的質(zhì)量M地之比為p，Z星的半徑RZ和地球的半徑R地之比為q，那么離Z星表面h1RZ高處的重力加速度gZ和離地球表面h2R地處的重力加速度g地之比等于多少？21據(jù)報道，最近的太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍。已知一個在地球表面質(zhì)量為50kg的人在這個行星表面的重量約為800N，地球表面處的重力加速度為10m/s2。求：（1）該行星的半徑與地球的半徑之比約為多少？（2）若在該行星上距行星表面2m高處，以10m/s的水平初速度拋出一只小球（不計任何阻力），則小球的水平射程是多大？22繼神秘的火星之后，土星也成了全世界關(guān)注的焦點。經(jīng)過近7年35.2億公里在太空中風(fēng)塵仆仆的穿行后，美航空航天局和歐航空航天局合作研究的“卡西尼”號土星探測器于美國東部時間2004年6月30日（北京時間7月1日）抵達(dá)預(yù)定軌道，開始“拜訪”土星及其衛(wèi)星家族這是人類首次針對土星及其31顆已知衛(wèi)星最詳盡的探測。若“卡西尼”號探測器進(jìn)入繞土星飛行的軌道，在半徑為R的土星上空離土星表面高h(yuǎn)的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t。試計算土星的質(zhì)量和平均密度。23我國在2010年實現(xiàn)探月計劃“嫦娥工程”同學(xué)們也對月球有了更多的關(guān)注（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看做勻速圓周運動，試求出月球繞地球運動的軌道半徑；（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v0豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t，小球落回拋出點已知月球半徑為r，萬有引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M月24某課外小組經(jīng)長期觀測，發(fā)現(xiàn)靠近某行星周圍有眾多衛(wèi)星，且相對均勻地分布于行星周圍，假設(shè)所有衛(wèi)星繞該行星的運動都是勻速圓周運動，通過天文觀測，測得離行星最近的一顆衛(wèi)星的運動半徑為R1，周期為T1，已知萬有引力常量為G。（1）求行星的質(zhì)量；（2）若行星的半徑為R，求行星的第一宇宙速度；（3）通過天文觀測，發(fā)現(xiàn)離行星很遠(yuǎn)處還有一顆衛(wèi)星，其運動半徑為R2，周期為T2，試估算靠近行星周圍眾多衛(wèi)星的總質(zhì)量252007年10月24日，我國成功地發(fā)射了“嫦娥一號”探月衛(wèi)星，其軌道示意圖如圖所示。衛(wèi)星進(jìn)入地球軌道后還需要對衛(wèi)星進(jìn)行10次點火控制。第一次點火，抬高近地點，將近地點抬高到約600km，第二、三、四次點火，讓衛(wèi)星不斷變軌加速，經(jīng)過三次累積，衛(wèi)星加速到11.0km/s的速度進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道向月球飛去。后6次點火的主要作用是修正飛行方向和被月球捕獲時的緊急剎車，最終把衛(wèi)星送入離月面200km高的工作軌道（可視為勻速圓周運動）。已知地球質(zhì)量是月球質(zhì)量的81倍，R月1800km ，R地6400km，衛(wèi)星質(zhì)量2350kg ，地球表面重力加速度g取10m/s2 。（涉及開方可估算，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）求：（1）衛(wèi)星在繞地球軌道運行時離地面600km時的加速度。軌道24 h軌道48 h軌道m(xù)16 h軌道軌道地月轉(zhuǎn)移軌道軌道P（2）衛(wèi)星從離開地球軌道進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道最終穩(wěn)定在離月球表面200km的工作軌道上外力對它做了多少功？（忽略地球自轉(zhuǎn)及月球繞地球公轉(zhuǎn)的影響）26我國發(fā)射的“嫦娥一號”衛(wèi)星發(fā)射后首先進(jìn)入繞地球運行的“停泊軌道”，通過加速再進(jìn)入橢圓“過渡軌道”，該軌道離地心最近距離為L1，最遠(yuǎn)距離為L2，衛(wèi)星快要到達(dá)月球時，依靠火箭的反向助推器減速，被月球引力“俘獲”后，成為環(huán)月球衛(wèi)星，最終在離月心距離L3的“繞月軌道”上飛行已知地球半徑為R，月球半徑為r，地球表面重力加速度為g，月球表面的重力加速度為g/6，求：（1）衛(wèi)星在“停泊軌道”上運行的線速度；（2）衛(wèi)星在“繞月軌道”上運行的線速度。衛(wèi)星停泊軌道過渡軌道繞月軌道L1L2L3272005年10月12日9時，“神舟六號”載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空在環(huán)繞地球飛行5天后，其返回艙于10月17日按照預(yù)定計劃返回預(yù)定地區(qū)，“神舟六號”載人飛船航天飛行的圓滿成功，標(biāo)志著我國在發(fā)展載人航天技術(shù)方面取得了又一個具有里程碑意義的重大勝利（已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，忽略地球自轉(zhuǎn)對重力的影響）（1）“神舟六號”載人飛船搭乘“長征2號F”運載火箭從地面由靜止豎直發(fā)射升空在地面附近上升高度為h時獲得的速度為v，若把這一過程看作勻加速直線運動，則這段時間內(nèi)飛船對飛船中質(zhì)量為m的宇航員的作用力有多大？（2）“神舟六號”載人飛船在離地面高度為H的圓軌道上運行的時間為t，求在這段時間內(nèi)它繞行地球多少圈？28“嫦娥一號”探月衛(wèi)星與稍早前日本的“月亮女神號”探月衛(wèi)星不同，“嫦娥一號”衛(wèi)星是在繞月極地軌道上運行的加上月球的自轉(zhuǎn)，因而 “嫦娥一號”衛(wèi)星能探測到整個月球的表面2007年12月11日“嫦娥一號”衛(wèi)星CCD相機已對月球背面進(jìn)行成像探測，并獲取了月球背面部分區(qū)域的影像圖衛(wèi)星在繞月極地軌道上做圓周運動時距月球表面高為H，繞行的周期為TM；月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為TE，半徑為R0地球半徑為 RE，月球半徑為RM試解答下列問題：（1）若忽略地球及太陽引力對繞月衛(wèi)星的影響，試求月球與地球質(zhì)量之比；（2）當(dāng)繞月極地軌道的平面與月球繞地公轉(zhuǎn)的軌道平面垂直，也與地心到月心的連線垂直（如圖所示）此時探月衛(wèi)星向地球發(fā)送所拍攝的照片，此照片由探月衛(wèi)星傳送到地球最少需要多長時間？已知光速為c。答案1牛頓、第谷、卡文迪許、開普勒2A3C4B53.2107N6BC7T2（Rh）3R2g5.4103 s8（1）2（Rh）3gR2；（2）2gR2（Rh）3-09B10B11B12（1）GMR2 ；（2）R2v022GM1382hr3T2r02v0214C15CD16BC17BC18C19AB20pq221（1）2：1；（2）s5m2242n2Rh3Gt2；3n2Rh3Gt2R323答案：（1）r3gR2T242；（2）M月 2v0r2/Gt 24答案：（1）42R13/GT12；（2）2R1T1R1R ；（3）42R23/GT2242R13/GT1225答案：（1）a8 m/s2；（2）W11011J26答案：（1）v1gR2L1 ；（2）v2gr26L327答案：（1）F mgmv22h ；（2）nRt2（RH）2g（RH）28答案：（1）M月M地（TETM）2（RMHR0）3；（2）tR02（RMH）2-REc 三、萬有引力定律的成就1航天科技（1）同步衛(wèi)星指相對于地面靜止的，和地球自傳具有相同的周期的衛(wèi)星，T24h。同步衛(wèi)星必須位于赤道正上方距離地面高度h3.6104km處。例1下列關(guān)于同步衛(wèi)星的說法正確的是（ ）A所有同步衛(wèi)星到地面的高度都是相同的B所有同步衛(wèi)星的向心力都是相同的C所有同步衛(wèi)星的向心加度度都是相同的D任何兩顆同步衛(wèi)星都是不可能相撞的答案：AD例2據(jù)報道我國數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星“天鏈一號01 星”于2008年4月25日在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，經(jīng)過4 次變軌控制后，于5月l日成功定點在東經(jīng)77赤道上空的同步軌道。關(guān)于成功定點后的“天鏈一號01星”，下列說法正確的是（ ）A 運行速度大于7.9km/sB離地面高度一定，相對地面靜止C繞地球運行的角速度比月球繞地球運行的角速度大D向心加速度與靜止在赤道上物體的向心加速度大小相等答案：BC例3地球上有兩位相距非常遠(yuǎn)的觀察者，都發(fā)現(xiàn)自己的正上方有一顆人造地球衛(wèi)星，相對自己而言靜止不動，則這兩位觀察者的位置以及兩顆人造地球衛(wèi)星到地球中心的距離可能是A一人在南極，一人在北極，兩衛(wèi)星到地球中心的距離一定相等B一人在南極，一個在北極，兩衛(wèi)星到地球中心的距離可以不等，但應(yīng)成整數(shù)倍C兩人都在赤道上，兩衛(wèi)星到地球中心的距離一定相等D兩人都在赤道上，兩衛(wèi)星到地球中心的距離可以不等，但應(yīng)成整數(shù)倍答案：C例4用m表示地球通訊衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）的質(zhì)量，h表示它離地面的高度，R表示地球的半徑，g表示地球表面的重力加速度，表示地球自轉(zhuǎn)的角速度，則通訊衛(wèi)星所受地球?qū)λ娜f有引力的大小（ ）A等于m2RhB等于mR2gRh2C等于m3R2g4D以上結(jié)果都不對答案：ABC例5已知地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度大小為v1，向心加速度大小為a1，近地衛(wèi)星速度大小為v2，向心加速度大小為a2，地球同步衛(wèi)星線速度大小為v3，向心加速度大小為a3，設(shè)近地衛(wèi)星距地面高度不計，同步衛(wèi)星距地面高度約為地球半徑的6倍，則以下結(jié)論正確的是（ ）Av2v371Bv1v317Ca1a2173Da2a3149答案：BC（2）航天器的變軌航天器的軌道變化，不能再以圓周運動的角度來看，每一個軌道中都對應(yīng)著相應(yīng)的能量，從一個軌道到另一個軌道的變化也對應(yīng)著能量的變化。但是萬有引力依然遵從定律內(nèi)容，故在軌道各點上的萬有引力還是與其位置，以及行星質(zhì)量有關(guān)。例1發(fā)射同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射到近地圓軌道1，然后經(jīng)點火使其沿橢圓軌道2運動，最后再次點火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3，軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，如圖所示，當(dāng)衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運行時，以下說法正確的是（ ）A衛(wèi)星在軌道2上由Q向P運動的過程中速率越來越小B衛(wèi)星在軌道3上經(jīng)過P點的速率大于在軌道2上經(jīng)過P點的速率C衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過Q點的半徑小于在軌道2上經(jīng)過P點的半徑D衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過Q點的加速度等于在軌道1上經(jīng)過Q點的加速度答案：D例2在地球大氣層外有很多太空垃圾繞地球轉(zhuǎn)動，可視為繞地球做勻速圓周運動。每到太陽活動期，由于受太陽的影響，地球大氣層的厚度增加，從而使得一些太空垃圾進(jìn)入稀薄大氣層，運動半徑開始逐漸變小，但每一周仍可視為勻速圓周運動。若在這個過程中某塊太空垃圾能保持質(zhì)量不變，則這塊太空垃圾的（ ）A線速度將逐漸變小B加速度將逐漸變小C運動周期將逐漸變小D機械能將逐漸變大答案：CPQ312例3發(fā)射地球同步衛(wèi)星要經(jīng)過三個階段：先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后使其沿橢圓軌道2運行，最后將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，如圖所示。當(dāng)衛(wèi)星分別在軌道1、2、3上正常運行時，則以下說法正確的是（ ）A衛(wèi)星在軌道3上的運行速率大于7.9km/s B衛(wèi)星在軌道3上的機械能小于它在軌道1上的機械能C衛(wèi)星在軌道3上的運行速率大于它在軌道1上的運行速率D衛(wèi)星分別沿軌道1和軌道2經(jīng)過Q點時的加速度相等答案：D（3）宇宙速度第一宇宙速度（環(huán)繞速度）v17.9km/s，是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運動的最大速度。例1關(guān)于地球的第一宇宙速度，下列表述正確的是（ ）A第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度B第一宇宙速度又叫脫離速度C第一宇宙速度跟地球的質(zhì)量無關(guān)D第一宇宙速度跟地球的半徑無關(guān)答案：A例2已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。（1）推導(dǎo)第一宇宙速度v1的表達(dá)式；（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運行周期T。答案：（1）v1gR；（2）T2R（Rh）2g例3我國將要發(fā)射一顆繞月運行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號”設(shè)該衛(wèi)星的軌道是圓形的，且貼近月球表面已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的1/81，月球的半徑約為地球半徑的1/4，地球上的第一宇宙速度約為7.9 km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運行的速率約為（ ）A0.4 km/sB1.8 km/sC11 km/sD36 km/s答案：B例41990年5月，中國紫金山天文臺將1965年9月20日發(fā)現(xiàn)的第2 752號小行星命名為吳健雄星，其直徑2R32 km如該小行星的密度和地球的密度相同，則對該小行星而言，第一宇宙速度為多少？（已知地球半徑R06400 km，地球的第一宇宙速度v18 km/s）答案：20 m/s第二宇宙速度（脫離速度）v211.2km/s，是使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。例12008年12月，天文學(xué)家們通過觀測的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中央的黑洞“人馬座A*”的質(zhì)量與太陽質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，有一星體S2繞人馬座A*做橢圓運動，其軌道半長軸為r9.50102天文單位（地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個天文單位），人馬座A*就處在該橢圓的一個焦點上。觀測得到S2星的運行周期為15.2年。（1）若將S2星的運行軌道視為半徑r9.50102天文單位的圓軌道，試估算人馬座A*的質(zhì)量MA是太陽質(zhì)量Ms的多少倍（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）；（2）黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為m的粒子具有勢能為Ep-GMmR （設(shè)粒子在離黑洞無限遠(yuǎn)處的勢能為零），式中M、R分別表示黑洞的質(zhì)量和半徑。已知引力常量G6.71011Nm2/kg2，光速c3.0108m/s，太陽質(zhì)量Ms2.01030kg，太陽半徑Rs7.0108m，不考慮相對論效應(yīng)，利用上問結(jié)果，在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)求人馬座A*的半徑RA與太陽半徑Rg之比應(yīng)小于多少（結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）。答案：（1）4106，（2）17第三宇宙速度（逃逸速度）v316.7km/s，是使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。例1圖是“嫦娥一號奔月”示意圖，衛(wèi)星發(fā)射后通過自帶的小型火箭多次變軌，進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，最終被月球引力捕獲，成為繞月衛(wèi)星，并開展對月球的探測，下列說法正確的是（ ）A發(fā)射“嫦娥一號”的速度必須達(dá)到第三宇宙速度B在繞月圓軌道上，衛(wèi)星周期與衛(wèi)星質(zhì)量有關(guān)C衛(wèi)星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比D在繞月軌道上，衛(wèi)星受地球的引力大于受月球的引力答案：C（4）引力勢能的計算勢能是和物體始末位置有關(guān)的物理量例1宇宙飛船運動中需要多次“軌道維持”.所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發(fā)動機的點火時間和推力的大小和方向，使飛船能保持在預(yù)定軌道上穩(wěn)定運行.如果不進(jìn)行“軌道維持”，由于飛船受軌道上稀薄空氣的影響，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、引力勢能（重力勢能）和機械能的變化情況將會是（ ）A動能、重力勢能和機械能逐漸減小B重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變C重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變D重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小答案：D例2氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)時，下列論述中正確的是 （ ）A動能變大，勢能變小，總能量變小B動能變小，勢能變大，總能量變大C動能變大，勢能變大，總能量變大D動能變小，勢能變小，總能量變小答案：B例3物體存萬有引力場中具有的勢能叫做引力勢能。取兩物體相距無窮遠(yuǎn)時的引力勢能為零，一個質(zhì)量為m0的質(zhì)點距離質(zhì)量為M0的引力源中心為r0時。其引力勢能Ep-GM0m0r0（式中G為引力常數(shù)），一顆質(zhì)地為m的人造地球衛(wèi)星以圓形軌道環(huán)繞地球飛行，已知地球的質(zhì)量為M，由于受高空稀薄空氣的阻力作用。衛(wèi)星的圓軌道半徑從r1逐漸減小到r2。若在這個過程中空氣阻力做功為Wf，則在下面給出的Wf的四個表達(dá)式中正確的是（ ）AWf-GMm（1r1-1r2）BWf-GMm2（1r2-1r1）CWf-GMm3（1r1-1r2）DWf-GMm3（1r2-1r1）答案：B例4. 地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為。萬有引力恒量為G，如果規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢能為0，則質(zhì)量為m的物體離地心距離為r時，具有的萬有引力勢能可表示為Ep-GMmr。國際空間站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大氣層上空繞地球飛行的一個巨大人造天體，可供宇航員在其上居住和科學(xué)實驗。設(shè)空間站離地面高度為h，如果在該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使其能到達(dá)地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運行，由該衛(wèi)星在離開空間站時必須具有多大的動能？答案：-12m3G2M22GMmRh2特殊天體問題（1）雙星雙星為一個特定星體，兩個行星圍繞共同的圓心運動，注意其旋轉(zhuǎn)的角速度相同可作為解題切入點。例1兩棵靠得很近的天體稱為雙星，它們都繞兩者連線上某點做勻速圓周運動，因而不至于由于萬有引力而吸引到一起，以下說法中正確的是（ ）A它們做圓周運動的角速度之比與其質(zhì)量成反比B它們做圓周運動的線速度之比與其質(zhì)量成反比C它們做圓周運動的半徑與其質(zhì)量成正比D它們做圓周運動的半徑與其質(zhì)量成反比答案：BD例2天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運動特征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r，試推算這個雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。（引力常量為G）答案：42r3GT2例3現(xiàn)代觀測表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特點。眾多的恒星組成不同層次的恒星系統(tǒng)，最簡單的恒星系統(tǒng)是兩顆互相繞轉(zhuǎn)的雙星，如圖所示，兩星各以一定速率繞其連線上某一點勻速轉(zhuǎn)動，這樣才不至于因萬有引力作用而吸引在一起。已知雙星質(zhì)量分別為m1m2，它們間的距離始終為L，引力常量為G，求：（1）雙星旋轉(zhuǎn)的中心O到m1的距離；（2）雙星的轉(zhuǎn)動周期。 答案：（1）xm2Lm1m2 ；（2）T2LLG（m1m2） 三星例4宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的，由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m。（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期；（2）假設(shè)兩種形式下星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？答案：（1）5GmR2R ；4R35Gm ；（2）12513R四星例5宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m，四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，已知這四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，引力常量為G，試求：（1）求星體做勻速圓周運動的軌道半徑；（2）若實驗觀測得到星體的半徑為R，求星體表面的重力加速度；（3）求星體做勻速圓周運動的周期答案：（1）r22a ；（2）gGmR2 ；（3）T2a2a42Gm 例6宇宙中存在一些離其它恒星很遠(yuǎn)的四顆恒星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其它星體對它們的引力作用，穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在多種形式，其中一種是四顆質(zhì)量相等的恒星位