第 1 頁（共 31 頁） 2016 年遼寧省錦州市高考數學二模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 個小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1已知集合 A=x| 1x1， B=x|2x 0，則 A （ =（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 0， 1 D（ ， 1 2， +） 2已知（ a+i）（ 1 =2i（其中 a， b 均為實數， i 為虛數單位），則 |a+于（ ） A 2 B C 1 D 1 或 3下列有關命題的說法正確的是（ ） A命題 “若 ，則 x=1”的否命題為： “若 ，則 x1” B “m=1”是 “直線 x 和直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件 C命題 “xR，使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命題 “已知 x， y 為一個三角形的兩內角，若 x=y，則 逆命題為真命題 4某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的各個面中，最大的面積是（ ）A B 1 C D 5如圖是秦九韶算法的一個程序框圖，則輸出的 S 為（ ） 第 2 頁（共 31 頁） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+ 的值 6已知變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=x 2y 的最大值為（ ） A 3 B 0 C 1 D 3 7把 A、 B、 C、 D 四件玩具分給三個小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且 A、 B 兩件玩具不能分給同一個人，則不同的分法有（ ） A 36 種 B 30 種 C 24 種 D 18 種 8已知 a= 二項式（ ） 6 的展開式中 ） A 20 B 20 C 160 D 160 9已知四棱錐 S 所有頂點在同一球面上，底面 正方形且球心 O 在此平面內，當四棱錐體積取得最大值時，其面積等于 16+16 ，則球 O 的體積等于（ ） A B C D 10已知頂點為坐標原點 O 的拋物線 雙曲線 （ a 0， b 0）都過點 M（ ， ），且它們有共同的一個焦點 F則雙曲線 離心率是（ ） A 2 B 3 C D 第 3 頁（共 31 頁） 11設函數 f（ x）是定義在 R 上的偶 函數，對任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4），且當 x 2， 0時， f（ x） =（ ） x 1，若在區間（ 2， 6內關于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三個不同的實數根，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 2） B（ ， 2） C ， 2） D（ ， 2 12不等式 x 解集為 P，且 0， 2P，則實數 a 的取值范圍是（ ） A（ ， e 1） B（ e 1， +） C（ ， e+1） D（ e+1， +） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13已知函數 f（ x） = ，則 f（ = 14若 三邊 a， b， c 及面積 S 滿足 S= b c） 2，則 15已知向量 與 的夾角為 120，且 ， 若 ，且 ，則實數 = 16在 ，內角 A， B， C 的所對邊分別是 a， b， c，有如下下列命題： 若 A B C，則 若 ，則 等邊三角形； 若 等腰三角形； 若（ 1+ 1+=2，則 鈍角三角形； 存在 A， B， C，使得 立 其中正確的命題為 （寫出所有正確命題的序號） 三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17已知數列 前 n 項和為 Sn=n（ n+1）（ nN*） （ ）求數列 通項公式； （ ） 若數列 足： ，求數列 通項公式； （ ）令 （ nN*），求數列 前 n 項和 第 4 頁（共 31 頁） 18某學校高一年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在 50， 100內，發布成績使用等級制各等級劃分標準見表規定： A、 B、 C 三級為合格等級， D 為不合格等級 百分制 85 以及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下 等級 A B C D 為了解該校高一年級學生身體素質情況，從中抽取了 n 名學生的原始成績作為樣本進行統計按照50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分組作出頻率分布直方圖如圖 1 所示，樣本中分數在 80 分及以上的所有數據的莖葉圖如圖 2 所示 （ I）求 n 和頻率分布直方圖中的 x， y 的值； （ ）根據樣本估計總體的思想，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，若在該校高一學生中任選 3 人，求至少有 1 人成績是合格等級的概率； （ ）在選取的樣本中，從 A、 C 兩個等級的學生中隨機抽取了 3 名學生進行調 研，記 表示所抽取的 3 名學生中為 C 等級的學生人數，求隨機變量 的分布列及數學期望 19如圖，多面體 ， 平面 面 菱形， ， 0，四邊形 正方形 （ ）求證： 平面 （ ）求直線 平面 成角的正弦值； （ ）在線段 是否存在點 P，使得 平面 存在，求出 的值；若不存在，說明理由 第 5 頁（共 31 頁） 20橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，且過其右焦點 F 與長軸垂直的直線被橢圓 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）設點 P 是橢圓 C 的一個動點，直線 l： y= x+ 與橢圓 C 交 于 A， B 兩點，求 積的最大值 21已知函數 f（ x） =1+ a0） （ 1）若 f（ x）在 x=0 處取得極值，求 a 的值； （ 2）討論 f（ x）的單調性； （ 3）證明： 為自然對數的底數） 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分 選修 4何證明選講 22如圖，圓周角 平分線與圓交于點 D，過點 D 的切線與弦 延長線交 于點 E， C 于點 F （ ）求證： （ ）若 D， E， C， F 四點共圓，且 = ，求 第 6 頁（共 31 頁） 選修 4標系與參數方程 23已知直線 l 的參數方程為 （ t 為參數），曲線 C 的參數方程為 （ 為參數） （ ）已知 在極坐標系（與直角坐標系 相同的長度單位，且以原點 O 為極點，以 x 軸正半軸為極軸）中，點 P 的極坐標為（ 4， ），判斷點 P 與直線 l 的位置關系； （ ）設點 Q 是曲線 C 上的一個動點，求點 Q 到直線 l 的距離的最小值與最大值 選修 4等式選講 24已知函數 f（ x） =|x 2| （ 1）解不等式： f（ x+1） +f（ x+2） 4； （ 2）已知 a 2，求證： xR， f（ +x） 2 恒成立 第 7 頁（共 31 頁） 2016 年遼寧省錦州市高考數學二模試卷（ 理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . 1已知集合 A=x| 1x1， B=x|2x 0，則 A （ =（ ） A 1， 0 B 1， 2 C 0， 1 D（ ， 1 2， +） 【考點】 交、并、補集的混合運算 【專題】 集合 【分析】 解不等式求出集合 B，進而結合集合的補集和并集運算，可得答案 【解答】 解： 集合 A=x| 1x1= 1， 1， B=x|2x 0=（ 0， 2）， ， 0 2， +）， A （ =（ ， 1 2， +）， 故選： D 【點評】 本題考查的知識點是集合的交集運算，并集運算和補集運算，難度不大，屬于基礎題 2已知（ a+i）（ 1 =2i（其中 a， b 均為實數， i 為虛數單位），則 |a+于（ ） A 2 B C 1 D 1 或 【考點】 復數求模 【專題】 數系的擴充和復數 【 分析】 首先將已知不等式展開，利用復數相等求出 a， b，然后求模 【解答】 解：由（ a+i）（ 1 =2i 得（ a+b） +（ 1 i=2i，所以 ，解得 或者 ， 所以 |a+ = ； 故選： B 【點評】 本題考查了復數相等以及復數的 模，屬于基礎題 第 8 頁（共 31 頁） 3下列有關命題的說法正確的是（ ） A命題 “若 ，則 x=1”的否命題為： “若 ，則 x1” B “m=1”是 “直線 x 和直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件 C命題 “xR，使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命題 “已知 x， y 為一個三角形的兩內角，若 x=y，則 逆命題為真命題 【考點】 命題的真假判斷與應用 【專題】 簡易邏輯 【分析】 對于 A 根據否命題的意義即可得出； 對于 B 按照垂直的條件判斷； 對于 C 按照含有一個量詞的命題的否定形式判斷； 對于 D 按照正弦定理和大角對大邊原理判斷 【解答】 解：對于 A，根據否命題的意義可得：命題 “若 ，則 x=1”的否命題為： “若 ，則 x1”，因此原命題不正確，違背否命題的形式； 對于 B， “m=1”是 “直線 x 和直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件不準確，因為 “直線 x 和直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件是 ，即 m=1 對于命題 C： “xR，使得 x2+x+1 0”的否定的寫法應該是： “xR，均有 x2+x+10”，故原結論不正確 對于 D，根據正弦定理， x=y所以逆命題為真命題是正確的 故答案選： D 【點評】 本題考查了四種命題之間的關系、命題的否定，屬于基礎題 4某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的各個面中，最大的面積是（ ）A B 1 C D 第 9 頁（共 31 頁） 【考點】 由三視 圖求面積、體積 【專題】 計算題；空間位置關系與距離 【分析】 根據幾何體的三視圖，得出該幾何體是直三棱錐，根據圖中的數據，求出該三棱錐的 4 個面的面積，得出面積最大的三角形的面積 【解答】 解：根據幾何體的三視圖，得； 該幾何體是如圖所示的直三棱錐， 且側棱 底面 ， ，點 B 到 距離為 1； 底面 面積為 21=1， 側面 面積為 1= ， 側面 面積為 21=1， 在側面 ， ， = ， = ， 面積為 = ； 三棱錐 P 所有面中，面積最大的是 故選： A 【點評】 本題考查了 空間幾何體的三視圖的應用問題，也考查了空間中的位置關系與距離的計算問題，是基礎題目 5如圖是秦九韶算法的一個程序框圖，則輸出的 S 為（ ） 第 10 頁（共 31 頁） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 【考點】 程序框圖 【專題】 圖表型；算法和程序框圖 【分析】 模擬執行程序框圖，根據秦九韶算法即可得解 【解答】 解：由秦九韶算法， S=a0+a1+a2+， 故選： C 【點評】 本小題主要通過程序框圖的理解考查學生的邏輯推理能力，同時考查學生對算法思想的理解與剖析，本題特殊利用秦九韶算法，使學生更加深刻地認識中國優秀的傳統文化，屬于基礎題 6已知變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=x 2y 的最大值為（ ） A 3 B 0 C 1 D 3 【考點】 簡單線性規劃 【專題】 計算題；不等式的解法及應用 【分析】 作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的 其內部，再將目標 函數 z=x 2y 對應的直線進行平移，可得當 x=1， y=0 時， z 取得最大值 1 第 11 頁（共 31 頁） 【解答】 解：作出不等式組 表示的平面區域， 得到如圖的 其內部，其中 A（ 1， 1）， B（ 2， 1）， C（ 1， 0） 設 z=F（ x， y） =x 2y，將直線 l： z=x 2y 進行平移， 當 l 經過點 C 時，目標函數 z 達到最大值 z 最大值 =F（ 1， 0） =1 故選： C 【點評】 本題給出二元一次不等式組，求目標函數 z=x 2y 的最 大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于基礎題 7把 A、 B、 C、 D 四件玩具分給三個小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且 A、 B 兩件玩具不能分給同一個人，則不同的分法有（ ） A 36 種 B 30 種 C 24 種 D 18 種 【考點】 排列、組合的實際應用 【專題】 計算題；概率與統計 【分析】 根據題意，運用排除法分 2 步進行分析， 、先計算把 A、 B、 C、 D 四件玩具分給三個小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具的分法數目， 再計算 A、 B 兩件玩具分給同一個人的分法數目；將全部 分法的數目減去 A、 B 兩件玩具分給同一個人的分法數目即可得答案 【解答】 解：根據題意，分 2 步進行分析： 、先計算把 A、 B、 C、 D 四件玩具分給三個小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具的分法數目： 首先將 4 件玩具分成 3 組，其中 1 組有 2 件，剩余 2 組各 1 件，有 種分組方法， 再將這 3 組對應三個小朋友，有 種方法， 則有 66=36 種情況， 、計算 A、 B 兩件玩具分給同一個人的分法數目， 第 12 頁（共 31 頁） 若 A、 B 兩件玩具分給同一個人，則剩余的 2 件玩具分給其他 2 人，有 22=6 種情況， 綜合可得： A、 B 兩件玩具 不能分給同一個人的不同分法有 36 6=30 種； 故選： B 【點評】 本題考查排列組合的實際應用，注意本題可以利用排除法分析，可以避免分類討論，即可以簡化計算 8已知 a= 二項式（ ） 6 的展開式中 ） A 20 B 20 C 160 D 160 【考點】 二項式系數的性質；定積分 【專題】 計算題；二項式定理 【分析】 求定積分可得 a=2，在二項式（ ） 6 的展開式的通項公式中，令 x 的冪指數等于 3，求得 r 的值，可得展開式中含 的系數 【解答】 解： a= 2， 二項式（ ） 6的展開式的通項為 = ， 令 12 3r=3，可得 r=3， 所以二項式（ ） 6的展開式中 系數為 160 故選： C 【點評】 本題主要考查求定積分，二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于基礎題 9已知四棱錐 S 所有頂點在同一球面上，底面 正方形且球心 O 在此平面內，當四棱錐體積取得最大值時，其面積等于 16+16 ，則球 O 的體積等于（ ） A B C D 【考點】 球的體積和表面積 【專題】 計算題；空間位置關系與距離 第 13 頁（共 31 頁） 【分析】 當此四棱錐體積取得最大值時，四棱錐為正四棱錐，根據該四棱錐的表面積等于 16+16 ，確定該四棱錐的底面邊長和高，進而可求球的半徑為 R，從而可求球的體積 【解答】 解：由題意，當此四棱錐體積取得最大值時，四棱 錐為正四棱錐， 該四棱錐的表面積等于 16+16 ， 設球 O 的半徑為 R，則 R， ，如圖， 該四棱錐的底面邊長為 R， 則有（ R） 2+4 R =16+16 ， 解得 R=2 球 O 的體積是 故選： D 【點評】 本題考查球內接多面體，球的體積，解題的關鍵是確定球的半徑，再利用公式求解 10已知頂點為坐標原點 O 的拋物線 雙曲線 （ a 0， b 0）都過點 M（ ， ），且它們有共同的一個焦點 F則雙曲線 離心率是（ ） A 2 B 3 C D 【考點】 雙曲線的簡單性質 【專題】 圓錐曲線的定義、性質與方程 【分析】 設拋物線方程為 p 0），將 M（ ， ）代入，可求拋物線方程，再利用雙曲線的定義可求雙曲線的 a，再由離心率公式可得 e 【解答】 解：設拋物線方程為 p 0）， 將 M（ ， ）代入 p=2 第 14 頁（共 31 頁） 拋物線方程為 x，焦點為 F（ 1， 0）， 由題意知雙曲線的焦點為 1， 0）， 1， 0）， c=1， 對于雙曲線， 2a=| | = = ， a= ， e= =3 故選 B 【點評】 本題主要考查利用待定系數法求拋物線、雙曲線方程，注意 挖掘題目隱含，將問題等價轉化 11設函數 f（ x）是定義在 R 上的偶函數，對任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4），且當 x 2， 0時， f（ x） =（ ） x 1，若在區間（ 2， 6內關于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三個不同的實數根，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 2） B（ ， 2） C ， 2） D（ ， 2 【考點】 函數的周期性；函數奇偶性的性質 【專題】 函數的性質及應用 【分析】 由已知中 f（ x）是定義在 R 上的偶函數，對于任意的 xR，都有 f（ x 2） =f（ 2+x），我們可以得到函數 f（ x）是一個周期函數，且周期為 4，則不難畫出函數 f（ x）在區間（ 2， 6上的圖象，結合方程的解與函數的零點之間的關系，我們可將方程 f（ x） =0 恰有 3 個不同的實數解，轉化為函數 f（ x）的與函數 y= 的圖象恰有 3 個不同的交點，數形結合即可得到實數a 的取值范圍 【解答】 解：設 x0， 2，則 x 2， 0， f（ x） =（ ） x 1=2x 1， f（ x）是定義在 R 上的偶函數， f（ x） =f（ x） =2x 1 對任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4）， 當 x2， 4時，（ x 4） 2， 0， f（ x） =f（ x 4） =4 1； 當 x4， 6時，（ x 4） 0， 2， 第 15 頁（共 31 頁） f（ x） =f（ x 4） =2x 4 1 若在區間（ 2， 6內關于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三個不同的實數根， 函數 y=f（ x）與函數 y=x+2）在區間（ 2， 6上恰有三個交點， 通過畫圖可知：恰有三個交點的條件是 ，解得： a 2， 即 a 2，因此所求的 a 的取值范圍為（ ， 2） 故選： B 【點評】 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，指數函數與對數函數的圖象與性質，其中根據方程的解與函數的零點之間的關系，將方程根的問題轉化為函數零點問題，是解答本題的關鍵，體現了轉化和數形結合的數學思想，屬于中檔題 12不等式 x 解集為 P，且 0， 2P，則實數 a 的取值范圍是（ ） A（ ， e 1） B（ e 1， +） C（ ， e+1） D（ e+1， +） 【考點】 一元二次不等式的解法；集合的 包含關系判斷及應用 【專題】 不等式的解法及應用 【分析】 由不等式 x 解集為 P，且 0， 2P ， x0， 2，利用導數求出即可 【解答】 解： 當 x=0 時，不等式 0 0 對任意實數 x 恒成立； 當 x 0 時，不等式 x 變形為 ， 由不等式 x 解集為 P，且 0， 2P ， x0， 2 設 ， x（ 0， 2 g（ x） = = ，令 g（ x） =0，解得 x=1 第 16 頁（共 31 頁） 當 0 x 1 時， g（ x） 0，函數 g（ x）單調遞減；當 1 x2 時， g（ x） 0，函數 g（ x）單調遞增 由此可知：當 x=1 時，函數 f（ x）取得極小值，也即最小值，且 f（ 1） =e 1+a e， a e 1 故選 A 【點評】 把問題正確等價轉化并熟練掌握利用導數研究函數的極值 是解題的關鍵 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13已知函數 f（ x） = ，則 f（ = 【考點】 抽象函數及其應用 【專題】 計算題；函數的性質及應用 【分析】 注意分段函數各段的范圍，由對數的性質和運算法則，結合對數恒等式 =N，計算即可得到 【解答】 解：由于函數 f（ x） = ， 則 f（ =f（ 1） 1 =f（ 1=f（ 1） 2=f（ 2 =f（ 1） 3=f（ 3=f（ 1） 4=f（ 4 = 4= 4= 故答案為： 【點評】 本題考查分段函數的運用：求函數值，注意各段的范圍，考查對數的性質和運算法則及對數恒等式，屬于中檔題 14若 三邊 a， b， c 及面積 S 滿足 S= b c） 2，則 【考點】 余弦定理 【專題】 解三角形 第 17 頁（共 31 頁） 【分析】 由條件利用余弦定理求得 4 4利用同角三角函數的基本關系、二倍角公式求得 值，可得 的值 【解答】 解： ，由于面積 S= b c） 2 =b2+2bc b2+2=22bc 而 S= bc 22bcbc得 4 4 4 4（ 1 2 ） =2 ， = = = ， 故答案為： 【點評】 本題主要考查余弦定理、同角三角函數的基本關系、二倍角公式的應用，屬于中檔題 15已知向量 與 的夾角為 120，且 ， 若 ，且 ，則實數 = 【考點】 數量積表示兩個向量的夾角；向量的模 【專題】 平面向量及應用 【分析】 利用 ， ，表示 向量，通過數量積為 0，求出 的值即可 【解答】 解：由題意可知： ， 因為 ， 所以 ， 所以 = = = 12+7=0 解得 = 故答案為： 第 18 頁（共 31 頁） 【點評】 本題考查向量的數量積的應用，向量的垂直，考查轉化數學與計算能力 16在 ，內角 A， B， C 的所對邊分別是 a， b， c，有如下下列命題： 若 A B C，則 若 ，則 等邊三角形； 若 等腰三角形； 若（ 1+ 1+=2，則 鈍角三角形； 存在 A， B， C，使得 立 其中正確的命題為 （寫出所有正確命題的序號） 【考點】 同角三角函數基本關系的運用 【專題】 三角函數的求值 【分析】 已知不等式利用正弦定理化簡，整理得到結果，即可做出判斷； 已知等式利用正弦定理化簡，整理得到結果，即可做出判斷； 已知等式利用正弦函數的性質化簡，整理得到結果 ，即可做出判斷； 已知等式整理后，利用兩角和與差的正切函數公式化簡，求出 C 的度數，即可做出判斷； 由 A， B， C 為三角形內角，得到 A+B） = C） = 用兩角和與差的正切函數公式化簡，整理得到 本選項錯誤 【解答】 解： A B C， a b c， 又 = = =2R， ， ， ， 2R 為定值， 選項正確； = = ， 由正弦定理得： a=2Rb=2Rc=2R入，得 = = ， = = ，即 A=B=C， 則 等邊三角形，本選項正確； 第 19 頁（共 31 頁） 2A=2B 或 2A+2B=， 即 A=B 或 A+B= ， 則 等腰三角形或直角三角形，本選項錯誤； （ 1+ 1+=2，即 1+， ，即 =1，即 A+B） =1， A+B= ，即 C= ， 則 鈍角三角形，本選項正確； 若 A、 B、 C 有一個為直角時不成立， 若 A、 B、 C 都不為直角， A+B= C， A+B） = C），即 = 則 即 錯誤， 故答案為： 【點評】 此題考查了同角三角函數間的基本關系，正弦定理，兩角和與差的正切函數公式，熟練掌握 基本關系是解本題的關鍵 三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17已知數列 前 n 項和為 Sn=n（ n+1）（ nN*） （ ）求數列 通項公式； （ ）若數列 足： ，求數列 通項公式； （ ）令 （ nN*），求數列 前 n 項和 【考點】 數列的求和；數列的函數特性；等差數列的通項公式 【專題】 綜合題 第 20 頁（共 31 頁） 【分析】 （ ）當 n=1 時， 1=2，當 n2 時， n 1=n（ n+1）（ n 1） n=2n，由此能求出數列 通項公式 （ ）由 （ n1），知，所以 ，由此能求出 （ ） =n（ 3n+1） =n3n+n，所以 Tn=c1+c2+ 13+232+333+n3n） +（ 1+2+n），令 3+232+333+n3n，由錯位相減法能求出 ，由此能求出數列前 n 項和 【解答】 解：（ ）當 n=1 時， 1=2， 當 n2 時， n 1=n（ n+1）（ n 1） n=2n， 知 滿足該式， 數列 通項公式為 n （ ） （ n1） 得： ， =2（ 3n+1+1）， 故 （ 3n+1）（ nN*） （ ） =n（ 3n+1） =n3n+n， Tn=c1+c2+ 13+232+333+n3n） +（ 1+2+n） 令 3+232+333+n3n， 則 332+233+334+n3n+1 得： 2+32+33+3n n3n+1= 第 21 頁（共 31 頁） ， 數列 前 n 項和 【點評】 本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數學思維的要求比較高，要求學生理解 “存在 ”、 “恒成立 ”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性綜合性強，難度大，易出錯解題時要認真審題，注意錯位相減法的靈活運用 18某學校高一年級學生某次身體 素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在 50， 100內，發布成績使用等級制各等級劃分標準見表規定： A、 B、 C 三級為合格等級， D 為不合格等級 百分制 85 以及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下 等級 A B C D 為了解該校高一年級學生身體素質情況，從中抽取了 n 名學生的原始成績作為樣本進行統計按照50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分組作出頻率分布直方圖如圖 1 所示，樣本中分數在 80 分及以上的所有數據的莖葉 圖如圖 2 所示 （ I）求 n 和頻率分布直方圖中的 x， y 的值； （ ）根據樣本估計總體的思想，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，若在該校高一學生中任選 3 人，求至少有 1 人成績是合格等級的概率； （ ）在選取的樣本中，從 A、 C 兩個等級的學生中隨機抽取了 3 名學生進行調研，記 表示所抽取的 3 名學生中為 C 等級的學生人數，求隨機變量 的分布列及數學期望 【考點】 列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；頻率分布直方圖 【專題】 數形結合；綜合法；概率與統計 第 22 頁（共 31 頁） 【 分析】 （ I）結合圖形求出 n 的值，即可求出頻率分布直方圖中的 x， y 的值； （ ）找出成績是合格等級人數，進而求出抽取 50 人成績合格等級的頻率，即可求出該校高一學生中任選 3 人，求至少有 1 人成績是合格等級的概率； （ ）找出 C 等級學生人數， A 等級學生人數，確定出 的取值，進而求出 P（ ）的值，確定出 的分布，以及 【解答】 解：（ I）由題意得：樣本容量 n= =50， x= =y= = （ ）成績是合格等級人數為（ 1 50=45 人，抽取的 50 人中成績是合格等級的頻率為 ， 設該校高一學生中任選 3 人，至少有 1 人成績是合格等級的事件為 A， 則 P（ A） =1 （ 1 ） 2= ； （ ）由題意得： C 等級的學生人數 為 0=9 人， A 等級的人數為 3 人， 故 的取值為 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = = ， P（ =3） = = = ， 的分布為 0 1 2 3 P 則 +1 +2 +3 = 【點評】 此題考查了列舉法計算基本事件數及事件發生的概率，以及頻率分布直方圖，弄清圖形的數據是解本題的關鍵 19如圖，多面體 ， 平面 面 菱形， ， 0，四 邊形 正方形 （ ）求證： 平面 （ ）求直線 平面 成角的正弦值； （ ）在線段 是否存在點 P，使得 平面 存在，求出 的值；若不存在，說明理由 第 23 頁（共 31 頁） 【考點】 直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角 【專題】 空間位置關系與距離；空間角 【分析】 （ ）根據線面平行的判定定理，可得： 平面 平面 而由面面平等的判定定理，可得平 面 平面 而根據面面平行的性質得到： 平面 （ ）建立空間直角坐標系 O 出直線 方向向量與平面 法向量，代入向量夾角公式，可得直線 平面 成角的正弦值； （ ）設 P（ x， y， z）， ，根據 平面 平面 向量為 滿足： ，根據無滿足條件的 值，可得不存在這樣的 P 點 【解答】 證 明：（ ）因為 菱形， 所以 又 面 面 所以 平面 又因為 正方形， 所以 因為 面 面 所以 平面 因為 面 面 F=B， 所以平面 平面 因為 面 所以 平面 . 解：（ ） 因為四邊形 菱形，且 0， 所以 等邊三角形 取 中點 O， 所以 第 24 頁（共 31 頁） 取 中點 G，連結 為 平面 所以 平面 如圖建立空間直角坐標系 O 因為 所以 所以 ， ， 設平面 向量為 =（ x， y， z）， 則有 得 ， 令 y=1則 設 平面 成的角為 ，則 ， 所以直線 平面 成角的正弦值為 . （ ）不存在 ， 設 P（ x， y， z）， ， 由 ， 得 因為平面 法向量為 若 平面 ，即 ， . 第 25 頁（共 31 頁） 得 方程組無解，不符合題意 綜上，不存在 使得 平面 . 【點評】 本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，向量法求線面夾角，難度中檔 20橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，且過其右焦點 F 與長軸垂直的直線被橢圓 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）設點 P 是橢圓 C 的一個動點，直線 l： y= x+ 與橢圓 C 交于 A， B 兩點，求 積的最大值 【考點】 橢圓的簡單性質 【專題】 圓錐曲線的定義、性質與方程 【分析】 （ ）通過題意及 b2=得 、 6，從而得到橢圓 C 的方程； （ ）設過 P 點且與 行的直線 L 方程為 ， L 與 離就是 P 點到 距離，也就是 上的高，只要 L 與橢圓相切，就可得 L 與 A 的 B 最 大距離，從而可得最大面積 【解答】 解：（ ） 橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ， ， ，即 4 又 過橢圓右焦點 F 與長軸垂直的直線被橢圓 C 截得的弦長為 2， 第 26 頁（共 31 頁） ， ，即 ， 又 b2=以 a2=b2+ ，即 6， 所以橢圓 C 的方程為： ； （ ）聯立直線直線 l： y= x+ 與橢圓 C 的方程，得 ，消去 y，整 理可得 72x 52=0， 即（ 7x+26）（ x 2） =0，解得 x=2 或 ， 所以不妨設 A（ 2， ）， B（ ， ）， 則 = ， 設過 P 點且與直線 l 平行的直線 L 的方程為： ， L 與 l 的距離就是 P 點到 距離，即 邊 上的高， 只要 L 與橢圓相切，就有 L 與 最大距離，即得最大面積， 將 代入 ， 消元、整理，可得： ， 令判別式 = = 256864 =0，解得 c= = ， L 與 最大距離為 = ， 積的最大值為： = 第 27 頁（共 31 頁） 【點評】 本題考查 橢圓方程，直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，解題的關鍵是求出L 與 大距離，屬于中檔題 21已知函數 f（ x） =1+ a0） （ 1）若 f（ x）在 x=0 處取得極值，求 a 的值； （ 2）討論 f（ x）的單調性； （ 3）證明： 為自然對數的底數） 【考點】 利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性；不等式的證明 【專題】 計算題；證明題；分類討論 【分析】 （ 1）求出 f（ x），因為 f（ x）在 x=0 時取得極值，所以 f（ 0） =0，代入求出 a 即可； （ 2）分三種情況： a=0； a 1； 1 a 0，令 f（ x） 0 得到函數的遞增區間；令 f（ x） 0 得到函數的遞減區間即可；（ 3）由（ 2）知當 a= 1 時函數為減函數，所以得到 1+ x，利用這個結論根據對數的運算法則化簡不等式的左邊得證即可 【解答】 解：（ 1） ， x=0 使 f（ x）的一個極值點，則 f（ 0） =0， a=0，驗證知 a=0 符合條件 （ 2） 若 a=0 時， f（ x）在（ 0， +）單調遞增，在（ ， 0）單調遞減； 若 得，當 a 1 時， f（ x） 0 對 xR 恒成立， f（ x）在 R 上單調遞減 若 1 a 0 時，由 f（ x） 0 得 x+a 0 再令 f（ x） 0，可得 上單調遞增， 在 第 28 頁（共 31 頁） 綜上所述，若 a 1 時， f（ x）在（ ， +）上單調遞減； 若 1 a 0 時， 上單調遞增上單調遞減； 若 a=0 時， f（ x）在（ 0， +）單調遞增，在（ ， 0）單調遞減 （ 3）由（ 2）知，當 a= 1 時， f（ x）在（ ， +）單調遞減 當 x（ 0， +）時，由 f（ x） f（ 0） =0 1+ x， 1+ ）（ 1+ ） （ 1+ ） =1+ ） +1+ ） +1+ ） + + = = （ 1