極坐標與參數方程一、參數方程1.參數方程的概念一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數t的函數，即并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點M（x，y）都在這條曲線上（即曲線上的點在方程上，方程的解都在曲線上），那么方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系x、y之間關系的變數叫做參變數，簡稱參數相對于參數方程而言,直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程.2.參數方程和普通方程的互化曲線的參數方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數而從參數方程得到普通方程.練習1若直線的參數方程為，則直線的斜率為（ ）A B C D2下列在曲線上的點是（ ）A B C D 3將參數方程化為普通方程為（ ）A B C D 注：普通方程化為參數方程，參數方程的形式不一定唯一（由上面練習（1、3可知）。應用參數方程解軌跡問題，關鍵在于適當地設參數，如果選用的參數不同，那么所求得的曲線的參數方程的形式也不同。3圓的參數方程如圖所示，設圓的半徑為，點從初始位置出發，按逆時針方向在圓上作勻速圓周運動，設，則。這就是圓心在原點，半徑為的圓的參數方程，其中的幾何意義是轉過的角度（稱為旋轉角）。圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數方程為：。4橢圓的參數方程以坐標原點為中心，焦點在軸上的橢圓的標準方程為其參數方程為，其中參數稱為離心角；焦點在軸上的橢圓的標準方程是其參數方程為其中參數仍為離心角，通常規定參數的范圍為0，2）。注：橢圓的參數方程中，參數的幾何意義為橢圓上任一點的離心角，要把它和這一點的旋轉角區分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉角數值可相等外（即在到的范圍內），在其他任何一點，兩個角的數值都不相等。但當時，相應地也有，在其他象限內類似。5雙曲線的參數方程以坐標原點為中心，焦點在軸上的雙曲線的標準方程為其參數方程為，其中焦點在軸上的雙曲線的標準方程是其參數方程為以上參數都是雙曲線上任意一點的離心角。6拋物線的參數方程以坐標原點為頂點，開口向右的拋物線的參數方程為7直線的參數方程經過點，過，傾斜角為的直線的參數方程為。注：直線參數方程中參數的幾何意義：過定點，傾斜角為的直線的參數方程為，其中表示直線上以定點為起點，任一點為終點的有向線段的數量，當點在上方時，0；當點在下方時，0；當點與重合時，=0。我們也可以把參數理解為以為原點，直線向上的方向為正方向的數軸上的點的坐標，其單位長度與原直角坐標系中的單位長度相同。北京高考近幾年真題（2014年北京.3題5分）曲線（為參數）的對稱中心（ ）在直線上 在直線上 在直線上 在直線上（2012年北京.9題5分）直線（為參數）與曲線（為參數）的交點個數為 （2014年北京.3題5分）答案：B（2012年北京.9題5分）答案：2二、極坐標方程1.極坐標系的概念(1)極坐標系極坐標系有四個要素：極點；極軸；長度單位；角度單位及它的方向如圖所示,在平面內取一個定點,叫做極點,自極點引一條射線,叫做極軸;再選定一個長度單位,一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向),這樣就建立了一個極坐標系.注:極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數軸為幾何背景;平面直角坐標系內的點與坐標能建立一一對應的關系,而極坐標系則不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系.(2)極坐標設M是平面內一點,極點與點M的距離|OM|叫做點M的極徑,記為;以極軸為始邊,射線為終邊的角叫做點M的極角,記為.有序數對叫做點M的極坐標,記作.一般地,不作特殊說明時,我們認為可取任意實數.特別地,當點在極點時,它的極坐標為(0, )(R).和直角坐標不同,平面內一個點的極坐標有無數種表示.如果規定,那么除極點外,平面內的點可用唯一的極坐標表示;同時,極坐標表示的點也是唯一確定的.2.極坐標和直角坐標的互化例題、直角坐標為(，)、（0，2）那么它的極坐標分別表示為_、 極坐標為（2，）、（1，0）那么他們的直角坐標表示為 、 1. 答案： 、（2，）答案：，（1,0）(1)互化背景:把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,如圖所示:(2)互化公式:設是坐標平面內任意一點,它的直角坐標是,極坐標是(),于是極坐標與直角坐標的互化公式如表:點直角坐標極坐標互化公式在一般情況下,由確定角時,可根據點所在的象限最小正角.（1） 點的轉化1、直角坐標為(，)、（0，2）那么它的極坐標分別表示為_、 極坐標為（2，）、（1，0）那么他們的直角坐標表示為 、 1. 答案： 、（2，）答案：，（1,0）（2）方程的轉化2、在極坐標系中，直線: sin2，則直線在直角坐標系中方程為 在極坐標系中,圓O: 4,則在直角坐標系中，圓的方程 直線l與圓O相交，所截得的弦長為_答案：(1)因為,所以直線的直角坐標方程為,即,圓的直角坐標方程為.(2)由(1)知圓心的坐標是,半徑是4,圓心到直線的距離是.所以直線被圓截得的弦長是.3、若曲線的極坐標方程為2sin 4cos ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為_4、求滿足條件的曲線極坐標方程(1)直線過點M(1，0)且垂直于x軸 (2)直線過M（0，a）且平行于x軸 (3)當圓心位于M(a,0)，半徑為r (4)當圓心位于M ，半徑為2： 3.常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓圓心為,半徑為的圓過極點,傾斜角為的直線(1)(2)過點,與極軸垂直的直線過點,與極軸平行的直線注:由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一,即都表示同一點的坐標,這與點的直角坐標的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式,只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可.例如對于極坐標方程點可以表示為等多種形式,其中,只有的極坐標滿足方程.4圓的圓心坐標是（ ）A B C D 4化極坐標方程為直角坐標方程為（ ）A B C D 5點的直角坐標是，則點的極坐標為（ ）A B C D 6極坐標方程表示的曲線為（ ）A一條射線和一個圓 B兩條直線 C一條直線和一個圓 D一個圓北京高考近幾年真題（2017年北京.11題5分）在極坐標系中，點A在圓22cos4sin+4=0上，點P的坐標為（1，0），則|AP|的最小值為 （2016年北京.11題5分）在極坐標系中，直線cossin1=0與圓=2cos交于A，B兩點，則|AB|=（2015年北京.11題5分）在極坐標系中，點（2，）到直線（cos+sin）=6的距離為 （2013年北京.09題5分）在極坐標系中，點到直線sin 2的距離等于_【2011北京理，3】3在極坐標系中，圓的圓心的極坐標系是( ) A B C D（2017年北京.11題5分）在極坐標系中，點A在圓22cos4sin+4=0上，點P的坐標為（1，0），則|AP|的最小值為 【分析】先將圓的極坐標方程化為標準方程，再運用數形結合的方法求出圓上的點到點P的距離的最小值【解答】解：設圓22cos4sin+4=0為圓C，將圓C的極坐標方程化為：x2+y22x4y+4=0，再化為標準方程：（x1）2+（y2）2=1；如圖，當A在CP與C的交點Q處時，|AP|最小為：|AP|min=|CP|rC=21=1，故答案為：1【點評】本題主要考查曲線的極坐標方程和圓外一點到圓上一點的距離的最值，難度不大（2016年北京.11題5分）在極坐標系中，直線cossin1=0與圓=2cos交于A，B兩點，則|AB|=【考點】簡單曲線的極坐標方程菁優網版權所有【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓【分析】把圓與直線的極坐標方程化為直角坐標方程，利用圓心C在直線上可得|AB|【解答】解：直線cossin1=0化為y直線xy1=0圓=2cos化為2=2cos，x2+y2=2x，配方為（x1）2+y2=1，可得圓心C（1，0），半徑r=1則圓心C在直線上，|AB|=2故答案為：2（2015年北京.11題5分）在極坐標系中，點（2，）到直線（cos+sin）=6的距離為 【分析】化為直角坐標，再利用點到直線的距離公式距離公式即可得出【解答】解：點P（2，）化為P直線（cos+sin）=6化為點P到直線的距