四川大學大學數學習題冊 1 第二第二章章 導數與微分導數與微分 2 1 導數概念導數概念 一 設 2 5 xxf 試按定義求 2 f 2 20 f 二 設 x xf 1 試按定義求 0 aaf 2 1 fa a 三 證明 xxsin cos 四 設 0 x f 存在 則 1 h xfhxf h lim 00 0 0 fx 2 h hxfhxf h lim 00 0 0 2 fx 3 h bhxfahxf h lim 00 0 0 ab fx 五 設 0 f 存在 則 1 x fxf x 0 lim 0 0 f 2 若0 0 f 則 0 f 0 lim x f x x 六 已知 xf在點 0 x可導 且4 2 lim 00 0 xfhxf h h 則 0 x f 1 8 七 討論下列函數在0 x處的連續性與可導性 1 sin xxf 在0 x 處連續 不可導 2 0 sin 0 1ln xx xx xf 在0 x 處連續 可導 0 1 f 八 討論 取何值時 下列函數在0 x處 1 連續 2 可導 0 0 0 1 sin x x x x xf 時 f x在0 x 處連續 1 時 f x在0 x 處可導 0 0 f 九 設 xaxxf 其中 x 在ax 處連續 求 a f faa 四川大學大學數學習題冊 2 十 設 10 2 1 xxxxf 求 10 f 10 9 f 十一 已知 0 0 sin xx xx xf 求 x f cos 0 1 0 xx fx x 十二 求曲線xyln 在點 1 e處的切線方程 x y e 十三 求曲線 x ey 經過原點的切線方程 yex 十四 設 xf為偶函數 且 0 f 存在 試用導數的定義證明 0 0 f 并用函數圖形 解釋其幾何意義 2 2 求導法則求導法則 1 導數的四則運算導數的四則運算 一 求下列函數的導數 1 223 43axxxy 2 364yxx 2 1sincos4sin3 xxy 3cos4sinyxx 3 xxxy 2 log5lg2ln 125 ln10ln2 y xxx 4 1 1 1 x xy 11 1 2 y xx 5 2 1 ln x xx y 2 22 1 ln 1 ln 1 xxx y x 6 xxxycosln 2 2 2 lncoscoslnsinyxxxxxxxx 二 設xxxfarctan 1 2 求 0 f 0 1 f 2 2 求導法則求導法則 2 復合函數和復合函數和反函數的導數反函數的導數 一 求下列函數的導數 1 5 63 xy 4 15 36 yx 2 xy2sin3 2 6sin 2cos2yxx 四川大學大學數學習題冊 3 3 22 xay 22 x y ax 4 ln 22 xaxy 22 1 y ax 5 arctan 3 xy 2 6 3 1 x y x 6 x ey 1 cos2 21 cos 2 12 sin x ye xx 二 設函數可導 證明 1 偶函數的導數是奇函數 2 奇函數的導數是偶函數 3 周期函數的導數是周期函數 三 設 xf可導 求下列函數的導數 1 2 x efy 22 2 xx yxefe 2 1 arcsin x fy 2 11 arcsin 1 yf x xx 四 求下列函數的導數 1 xxy 11 1 2 2 y x xx 2 21arcsin xy 2 1 y xx 3 x x y 2sin1 2sin1 2 4cos2 1 sin2 x y x 4 tanln secxxy secyx 五 設 mxbfmxbfxg 其中f可導 求 0 g 0 0 g 六 求曲線 4 tan 2 x y 在點 1 1 處的切線方程 七 求曲線 x y 1 的經過點 2 0 的切線方程 2yx 四川大學大學數學習題冊 4 2 3 高階導數高階導數 一 求下列函數的二階導數 1 xxyln 1 y x 2 xxyarctan 1 2 2 2 2arctan 1 x yx x 3 cos ln sin lnxxxy 2sin ln x y x 4 x xy 21 1 ln xx yxxx 二 求下列函數的 n 階導數 1 12 121 nnn nn yxa xa xaxa n yn 2 sin baxy sin nn yaaxbn 3 bax y 1 1 1 n nn n a n y axb 4 x x y 1 1 1 2 1 1 nn n n y x 三 設 xf二階可導 求下列函數的二階導數 y 1 sin xfy 2 sin cos sin sinyfxxfxx 2 xf ey 2 f x yefxfx 四 求函數 3x yx e 的 15 階導數 15 32 456302730 x yexxx 五 設 xf在 內有連續的二階導數 且0 0 f 設 0 0 xa x x xf xg 1 確定a的值 使 xg在 內連續 2 求 x g 四川大學大學數學習題冊 5 0 a f 2 0 1 0 0 2 xfxf x x x g x fx 六 試從公式 ydy dx 1 導出下列反函數的高階導數公式 1 32 2 y y dy xd 2 5 2 2 2 3 y yyy dy xd 2 4 隱函數的導數隱函數的導數 參數方程求導參數方程求導 相關變化率相關變化率 一 求下列方程所確定的隱函數 y y x 的導數 dx dy 1 xyyx6 33 2 2 2 2 yx y yx 2 xyyxcos sin 2 2 sincos 2 coscos yxxy y yxxy 3 x y yxarctan ln 22 2 2 xy y xy 二 求曲線 242 5xxy 在點 1 2 處的切線方程 9250 xy 三 證明 曲線ayx 上任意點處的切線在兩坐標軸上的截距之和恒為a 四 設函數 xyy 滿足方程yyxexy sin 2 試求 0 y 0 1 y 五 求下列函數的導數 1 x xy 2ln 2 x x yx x 2 x xy ln 1 ln ln ln ln x yxx x 3 x x y 1 1 1111 2111 x y xxx 四川大學大學數學習題冊 6 4 3 2 2 1 1 x xx y 2 3 22 1 1 121 3 1 12 1 x xx y xxxx 六 設 xy yx 求 dx dy 2 2 ln ln yxyy y xxyx 七 求下列隱函數的一階導數 dx dy 和二階導數 2 2 dx yd 1 16 44 yx 32 37 48 xx yy yy 2 3 xyey 3 2 yy yy yyexye yy exex 八 已知1 y xey 求 2 0 2 x d y dx 2 0 0 2yeye 九 求下列參數方程所確定的函數 xyy 的導數 dx dy 1 15313 353 ttyttx 3 2 5 1 1 dyt t dxt 2 teytex tt cossin 2t dy e dx 3 2 arcsin 1 t x t 2 1 arccos 1 y t 1 0 1 0 t dy tdx 十 求曲線 2 3 1 at x t 2 2 3 1 at y t 在2 t處的切線和法線的方程 43120 3460 xyaxya 十一 設 23 btyatx 求 dy dx 2 2 d y dx 2 22 4 22 39 dybd yb dxatdxa t 十二 設 ln 1 arctan xt yt 求 2 0 2 t d y dx 2 0 2 1 t d y dx 十三 設 3 32 arctan 1ln dx yd ty tx 求 2234 233 11 248 dytd ytd yt dxdxtdxt 四川大學大學數學習題冊 7 十四 設 xyy 是由方程 01sin 323 2 yte ttx y 所確定的隱函數 求 0 t dy dx 和 2 0 2 t d y dx 2 00 2 23 24 tt dyed ye e dxdx 十五 一個球形雪球的體積以 1cm3 min 的速度減少 求雪球的直徑為 10cm時 雪球直徑的 減少速度 1 cm min 50 十六 將水注入深 8m 上頂直徑為 8m 的正圓錐形容器中 注水速度為 4m3 min 當水深 為 5m 時 其表面上升的速度為多少 表面上升的加速度又為多少 22 16216 m min m min 255 25 2 5 函數的微分函數的微分 一 填空題 1 22 1111 1421 2 2 1 2arctan2arctan2 2 xxdxddxd xx 2 111 2121 21 2 2dxdd xx xx 3 2 arctan arctanarctan arctan 1 x fx dx x fxdxfd 4 33 arctanarctan3 2 2ln2arcta n xx ddx 二 計算微分 1 2 2 2 lnarcsin2 2 ln 1 4 xd xxxdx x xx 2 2 2 1 arctan x x x e d xe dxe 3 2 21 22 2 ln2 1 22 11 xxx x dxd xx x 4 xvvxuu 為可導函數 求 v u yarctan 的微分 22 u vuv dydx uv 三 用微分法求隱函數或參數方程決定函數的導