現代電路理論設計論文混沌電路設計南京理工大學現代電路理論課程實驗混沌電路設計(題名和副題名)(作者姓名) (學號)指導教師姓名 孫建紅 老師 學院 電 子 工 程 與 光 電 技 術 學 院 年級 2016級 專業名稱 電磁場與微波技術 論文提交日期 2017.04摘 要蔡氏電路是可以表現出標準的混沌理論行為的典型非線性電路。文章利用 Multisim 軟件強大的電路仿真功能，在介紹蔡氏混沌電路基本原理和非線性電阻等效電路的基礎上，敘述了在 Multisim 界面下對混沌電路的構建，通過設置不同的電路參數，運行仿真功能，出現了相應的薩如圖形和時域波形，從而得到了豐富的混沌行為。文章對仿真結果進行了分析，結果發現，用Multisim軟件可以展示各種豐富分岔和混沌的現象，對混沌實驗研究具有良好的借鑒意義。關鍵詞：非線性特性、蔡氏電路、混沌現象目 錄摘 要21緒論41.1混沌現象的定義41.2課題意義41.3本文主要工作52混沌電路基本原理62.1蔡氏電路62.2倍周期72.3費根勒姆常數82.4有源非線性電阻83混沌電路的設計與仿真103.1實驗電路的構建103.2實驗電路仿真104分析與總結15參考文獻17231 緒論1.1 混沌現象的定義混沌是非線性動力學系統中所特有的一種運動形式，它廣泛存在于自然界，諸如生物學、物理、化學、地質學，以及技術科學、社會科學等各種科學領域。一般而言，混沌現象隸屬于確定性系統而難以預測（基于其動力學性態對于初始條件的高度敏感性），有稠密軌道的拓撲特征，以及呈現多種混亂無序卻又頗有規則的圖像（如具有稠密的周期點）。混沌主要分為四大類：時間混沌、空間混沌、時空混沌和功能混沌。混沌不僅是混沌研究者、數學家和物理學家等作為理論研究的對象，而且在自然科學、電子通信以及其他工程應用領域中有著廣泛的應用前景。公認的最早發現混沌的是偉大的法國數學家，物理學家龐加萊，他是在研究天體力學，特別是在研究三體問題時發現混沌的。他發現三體引力相互作用能產生驚人的復雜行為，確定性動力學方程的某些解有不可預見性。他在科學的價值一書中寫道：“初始條件的微小差別在最后的現象中產生了極大的差別；前者的微小誤差促成了后者的巨大誤差，于是預言變的不可能了”。這些描述實際上已經蘊涵了“確定性系統具有內在的隨機性”這一混沌現象的重要特征。1963年，美國氣象學家洛倫茨在確定論非周期流一文中，給出了描述大氣湍流的洛倫茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效應”，從而揭開了對非線性科學深入研究的序幕。非線性科學被譽為繼相對論和量子力學之后，20世界物理學的“第三次重大革命”。由非線性科學所引起的對確定論和隨機論、有序和無序、偶然性與必然性等范疇和概念的重新認識，形成了一種新的自然觀，將深刻的影響人類的思維方法，并涉及現代科學的邏輯體系的根本性問題。迄今為止，最豐富的混沌現象是非線性振蕩電路中觀察到的，這是因為電路可以精密元件控制，因此可以通過精確地改變實驗條件得到豐富的實驗結果，串聯諧振電路是華裔科學家蔡少棠設計的能產生混沌的最簡單的電路，它是熟悉和理解非線性現象的經典電路。1.2 課題意義本課題的目的是了解混沌現象和混沌電路，學習使用Multisim軟件仿真電路，使用示波器觀察混沌電路的行為，通過實驗感性認識混沌現象，研究混沌電路敏感參數對混沌現象的影響。學習有源非線性負阻元件的工作原理，借助串聯諧振電路掌握非線性動力學系統運動的一般規律性。通過本實驗的學習擴展視野、活躍思維，以一種嶄新的科學世界觀來認識事物發展的一般規律。1.3 本文主要工作本文主要使用Multisim軟件完成了混沌電路的仿真設計，對混沌電路進行了分析，并且觀察了混沌的典型波形。論文一共分為四章，其結構如下：第1章 緒論，主要介紹混沌現象的發展現狀，簡要分析了本課題的研究意義，最后給出了本文的主要工作內容。第2章 介紹了混沌現象的基本原理，簡單敘述了蔡氏電路、倍周期、費根勒姆常數及有源非線性電阻的相關概念。第3章 構建了相關實驗電路，在此基礎上進行了仿真，觀察分析了倍周期分岔和混沌現象。第4章 論文總結，對本實驗過程中出現的問題進行反思總結，并且對未來可以展開的工作進行了展望。2 混沌的相關原理2.1 混沌現象的基本原理粗略地講，非線性電路的混沌或混沌振蕩是指確定性電路中產生的不確定、類似隨機的輸出。所謂確定性電路是指電路的參數和輸人都為確定值，沒有隨機因素。所謂不確定、類似隨機的輸出是指電路的輸出既不是周期的，又不是擬周期的；既不趨于無窮、又不趨于靜止，而是在一定區域內永不重復的輸出。這種性質的輸出與平衡點，周期解和擬周期解相比有如下幾個特征:（1）不確定性。即在給定的初始狀態下，不能精確預測它在其后任一時刻的行為。（2）對初始值的極端敏感性。任意靠近兩個初始值出發的軌道在一定的時間間隔內將會以指數方式分離。初始值的極其微小的改變，可以使振蕩的輸出產生本質的差異。這種差異絕不是計算誤差形成的，而是非線性電路的固有特性。（3）周期或擬周期振蕩信號的頻譜是離散譜。混沌振蕩輸出信號則是一定頻率范圍內的連續譜。（4）周期或擬周期振蕩的龐加萊映射是點或無限填充的封閉的橢圓線。但混沌振蕩對應的龐加萊映射在龐加萊截面上的表現，則是雜亂無章的點集合。隨著時間的增加，相空間中的軌道都向某一定的區域逼近，它就是吸引子。在相空間中，吸引子共有4種類型，平衡點(不動點)、周期吸引子、擬周期吸引子和混沌吸引子(也稱奇怪吸引子)。吸引子可以在任意階的電路中出現，但混沌吸引子只可能在三階或高于三階的動態電路中出現，而且它是整體穩定(耗散能量消耗、最終無源)和局部不穩定(雙曲、局部有源)相結合的產物。在相空間的表現是“伸長”和“折疊”。由于非線性電路中混沌解的特殊性，目前分析研究混沌的方法主要有如下幾種：（1）應用非線性動力學理論對其定性性質進行研究，以確定混沌產生的機制并在一定條件和特定電路中得到出現混沌的可能參數范圍；（2）使用計算機對非線性電路的解進行數值計算，以獲得特定參數、初始值下的電路的數值解，進而可以得到相圖、頻譜、李雅普諾夫指數等用來判別混沌特征的信息；（3）直接進行實驗，在實驗中對混沌的各種現象進行觀察、分析。顯然，用實驗方法研究非線性電路中的混沌具有其他學科不可替代的優勢，因為需要研究分析的對象已經是電信號，而不再需要各種轉換用的傳感器。因此，非線性電路的混沌研究，具有廣泛的意義。2.2 費根勒姆常數盡管混沌行為是一種類隨機運動，但其步入混沌的過程在非線性系統中具有普適性。一個完全確定的系統，即使非常簡單，由于系統內部的非線性作用，同樣具有內在的隨機性，可以產生隨機性的非周期運動。在許多非線性系統中，既有周期運動，又有混沌運動。費根鮑姆發現，一個動力學系統中分岔點處參量收斂服從普適規律。他指出，出現倍周期分岔預示著混沌的存在。=4.699 201 609 102 9。非線性參數可以表征一個非線性系統趨于混沌的速度，=u2-u1u3-u2，越接近，系統進入混沌就越快。2.3 有源非線性電阻一般的電阻器件是有限正阻，即當電阻兩端的電壓升高時，電阻內的電流也會隨之增加，并且i-v呈線性變化，所謂正阻，即I-U是正相關，i-v曲線的斜率ui為正。相對的有非線性的器件和負阻，有源非線性負阻表現在當電阻兩端的電壓增大時，電流減小，并且不是線性變化。負阻只有在電路中有電流時才會產生，而正阻則不論有沒有電流流過總是存在的，從功率意義上說，正阻在電路中消耗功率，是耗能元件；而負阻不但不消耗功率，反而向外界輸出功率，是產能元件。有源非線性負阻元件實現的方法有很多種，由于本實驗研究的是該非線性元件對整個電路的影響，只要知道它主要是一個負阻電路(元件)，能輸出電流維持振蕩器不斷振蕩，而非線性負阻元件的作用是使振動周期產生分岔和混沌等一系列現象。2.4 蔡氏電路本實驗采用蔡氏電路，蔡氏電路是美國貝克萊大學的蔡少棠教授設計的能產生混沌行為的最簡單的自制電路，為混沌電路的典型例子，其結構簡單，現象明晰，被廣泛用于高校的實驗教學中。蔡氏電路原理圖如圖2.41所示，電路由1個線性電感L，2個線性電容C1，C2，1個線性電阻NR，一個非線性電阻R構成，為三階自制動態電路，即分為LC振蕩電路，RC分相電路和分線性元件三部分。電阻NR起調節C1，C2的相位差。非線性電阻R為分段線性電阻。由于加在此元件上的電壓增加時，其上面的電流減小，故稱為非線性負阻元件。負阻曲線的擬合見圖2.42。其中非線性電阻是核心元件，是系統產生混沌的必要條件。圖2.4.1 蔡氏電路原理圖圖2.4.2 負阻曲線的擬合由基爾霍夫結點電流定律可以得到串聯諧振電路的非線性動力學方程：式中，導納G=1/（Rv1+Rv2）,Vc1和,Vc2分別表示加在C1和C2上的電壓，iL表示流過電感器L的電流，g表示非線性電阻的導納。2.5 倍周期將蔡氏電路中的電導值G取最小，同時用示波器觀察Vc1Vc2的李薩如圖形。它相當于由方程x= Vc1(t)和y= Vc2(t)消去時間變量得到的空間曲線，在非線性理論中這種曲線稱為相圖。“相”的意思是運動狀態，相圖反應了運動狀態的聯系。一開始系統存在短暫的穩定狀態，示波器上的李薩如圖形表現為一個光點。隨著G值的增加（電阻減小），李薩如圖形表現為接近斜橢圓的圖形（見圖2.5.1）。它表明系統開始自激振蕩，其頻率取決于電感與非線性電阻組成的回路特性。圖2.5.1 倍周期相圖無論是代表穩態的光點還是開始自己振蕩的橢圓，都是系統經過一段暫態的終態。示波器顯示的是系統進入穩定后的相圖。實驗和理論證明:只要在各自的對應系統參數下，無論給什么樣的激勵條件，最終都將落到各自終態極上，故稱他們為吸引子。繼續增加電導，此時示波器屏幕上出現兩個相交的橢圓，運動軌跡線從其中一個橢圓跑到另一個橢圓上。他說明原先的一倍周期變成了2倍周期。這在非線性理論中稱為倍周期分岔。它揭開了動力學進入混沌的序幕。繼續減小電導，依次出現4倍周期、8倍周期、16倍周期與陣法混沌。再減小電導值，出現3倍周期，隨著1/G的值進一步減小，系統完全進入混沌區。相點貌似無規則游蕩不會重復已走過的路。線圈的軌道本身是有界的，其極限集合呈現出奇特的形狀，具有某種規律。仍把這種解集稱為吸引子，通常叫做奇異吸引子或混沌吸引子。如圖2.5.2。圖2.5.2 混沌吸引子混沌作為一個科學術語，它應該被這樣描述：混沌是一種運動狀態，是確定性中出現的無規律性，其主要特征是動力學特性對初始條件的依賴性非常敏感。一個混沌系統既是確定的又是不可預測的，也不能分解為兩個子系統。通向混沌有三條主要途徑：倍周期分岔道路：改變一些系統的參數，使系統周期加倍直到喪失周期性，進入混沌；陣發性道路：在非平衡的系統中，某些參數的變化達到某一臨界值時，系統會表現出在時間行為上時而周期時而混沌的狀況，最終進入混沌；準周期道路：有茹厄勒-塔根斯提出，由于某些參數的變化使得系統有不同頻率的震蕩相互耦合時，會產生一些新的頻率，進而導致混沌。另外還有湍流道路，剪切流轉等途徑產生混沌。3 混沌電路的設計與仿真本課題采用Multisim軟件進行混沌電路的設計與仿真。相比傳統的混沌電路實驗板，采用Multisim 學生可以自由地修改電路參數并實時觀測實驗現象; 相比MATLAB、C等編程語言，采用Multisim完成混沌電路實驗教學，學生不需要建立數學模型和編寫程序，只需要在界面中利用軟件圖形化的功能搭接電路。這將方便學生操作，使學生更易于自主修改實驗模型，有助于學生開展探究性學習，發揮學生學習的自主作用。本章節由兩部分構成，第一部分為蔡氏電路的構建與仿真，第二部分為改進型蔡氏電路的構建與仿真，改進的蔡氏電路由2個運算放大器（UA741）及電阻組合替代原電感。最后對兩種電路的混沌行為進行分析。3.1 蔡氏電路的構建本實驗采用蔡氏電路，蔡氏電路是美國貝克萊大學的蔡少棠教授設計的能產生混沌行為的最簡單的自制電路，為混沌電路的典型例子，其結構簡單，現象明晰，被廣泛用于高校的實驗教學中。運行Multisim軟件，建立仿真文件，構建如圖3.1.1所示的電路圖，為了觀察混沌電路的波形，在仿真平臺上添加虛擬示波器，將示波器A,B兩個輸入通道與需要觀測的電路節點相連，通道A觀測電容C1兩端的電壓信號；通道B觀測電容C3兩端的電壓信號。圖3.1.1 Multisim仿真電路3.2 蔡氏電路仿真運行軟件，觀察示波器，在示波器窗口上選擇“Y/T”模式，進行波形的時域分析；選擇“A/B”模式，則顯示李薩如圖形，進行波形的相位測試。R0的作用是移相，使電容C1，C3兩端的電壓信號產生相位差，運放的前級和后級的正、負反饋同時存在，正反饋的大小程度與R0,R7,R12有關，負反饋大小與R8,R9,R10,R11有關，若調節R0的阻值大小，正反饋大小程度就會發生變化，當正反饋程度大于負反饋程度時，電路才能處于震蕩狀態。蔡氏電路的運動形態因元件的參數值的不同而具有不同的拓撲性質，可以把電路元件參數值看作控制參數而使蔡氏電路工作在不同的拓撲結構狀態。現在以電阻R0為例，將R0以從小到大的順序進行討論。R0=0 時，觀察到的李薩如圖形為一條直線，如圖3.2.1所示：圖3.2.1 R0=0時的仿真結果當R0增大到1.35k時，開始出現雙引子混沌圖形，R0在增大到1.35k之前混沌電路的相圖呈單葉周期，這里以R0=1k為例，如圖3.2.2所示：圖3.2.2 R0=1k時的仿真結果R0繼續增大，當R=1.35K時，開始出現雙引子混沌圖形，也就是蝴蝶圖像，由時域波形可看出了混沌振蕩的非周期性，如圖3.2.3所示：圖3.2.3 雙渦旋混沌吸引子當R0增大到1.61k時，混沌電路第一次進入四周期運動狀態，如圖3.2.4所示：3.2.4 四周期運動狀態R=1.64k時，混沌電路第一次進入二周期運動狀態，如圖3.2.5所示：3.2.5 二周期運動狀態R0逐漸增大到1.67k時，增幅振蕩開始，進入一周期運動狀態，如圖3.2.6所示：3.2.6 一周期運動狀態R0增大到1.71k時, 相圖為穩定焦點，呈蝌蚪形，為衰減振蕩，最終成為不動點，如圖3.2.7所示：3.2.7 R0=1.71k時的仿真結果通過以上數據和圖案我們可以發現，當我們改變初始電路參數時，混沌現象中的電路是非周期性的，時而穩定，時而混亂，雖然出現平衡點，但并不穩定。在理想實驗條件下觀察到了不同參數條件下出現的極限環，單吸引子，雙吸引子，奇異吸引子等一系列不同混沌現象。隨著混沌電路電感值的減小，混沌現象提前，邊界化也越明顯。3.3 改進型蔡氏電路的構建改進型蔡氏電路如圖3.3.1所示，改進的蔡氏電路使用2個UA741和1個50 nF的電容，3個1 k電阻和1個200電阻替代原電感，經過調節可呈現混沌現象。運行Multisim軟件，再次建立仿真文件，構建如圖3.3.1所示的電路圖，為了觀察混沌電路的波形，在仿真平臺上添加虛擬示波器，將示波器A,B兩個輸入通道與需要觀測的電路節點相連，通道A觀測電容C2兩端的電壓信號；通道B觀測電容C3兩端的電壓信號。圖3.3.1 Multisim仿真電路3.4 改進型蔡氏電路仿真這里我們重復3.2節的仿真步驟，這里我們以從小到大的順序調節R6的值來觀察混沌電路的行為。R6=0 時，觀察到的李薩如圖形為一條直線，如圖3.4.1所示：圖3.4.1 R6=0時的仿真結果當R6增大到1.4k時，開始出現雙引子混沌圖形，R6在增大到1.4k之前混沌電路的相圖呈單葉周期，這里以R6=1.2k為例，如圖3.4.2所示：圖3.4.2 R6=1.2k時的仿真結果R6繼續增大，當R=1.4K時，開始出現雙引子混沌圖形，也就是蝴蝶圖像，由時域波形可看出了混沌振蕩的非周期性，如圖3.4.3所示：圖3.4.3 雙渦旋混沌吸引子當R6增大到1.65k時，混沌電路第一次進入四周期運動狀態，如圖3.4.4所示：3.4.4 四周期運動狀態R=1.68k時，混沌電路第一次進入二周期運動狀態，如圖3.4.5所示：3.4.5 二周期運動狀態R6逐漸增大到1.7k時，增幅振蕩開始，進入一周期運動狀態，如圖3.4.6所示：3.4.6 一周期運動狀態R6增大到1.75k時, 相圖為穩定焦點，呈蝌蚪形，為衰減振蕩，最終成為不動點，如圖3.4.7所示：3.4.7 R6=1.71k時的仿真結果由以上仿真分析和實驗可見，當選擇適當的電路參數時，改進的蔡氏電路的動態特性出現混沌現象，吸引子具有雙渦旋結構，本實驗通過改進簡單的電路產生混沌，討論了產生混沌的過程與途徑，同時了解非線性電阻對產生混沌的作用，了解混沌現象的一些基本特性。4 分析與總結混沌大體包含以下一些主要內容：系統進行著貌似無歸律的運動，但決定其運動規律的基礎動力學卻是決定論的；具體結果敏感地依賴初始條件，從而其長期行為具有不可預測性；這種不可預測性并非由外界噪聲引起的；系統的長期行為具有某些全局和普適性的特征，這些特征與初始條件無關。混沌在相圖上的表現為軌道在某側繞幾圈似乎是隨機的，但這種隨機性和真正隨機系統中不可預測的無規律又不相同。因為相點貌似無規律地游蕩，不會重復已走過的路，但并不是以連續概率分布在相平面上隨機行走，類似“線圈”的軌道本身是有界的，顯然其中有某些規律。在本次實驗中，我初步了解了混沌的一些知識，并對混沌的理論和實際應用產生了興趣。在實驗后，通過查閱相關資料了解到，20多年來，混沌一直是舉世矚目的前沿課題和研究熱點，它揭示了自然界及人類社會中普遍存在的復雜性、有序與無序的統一、穩定性與隨機性的統一，拓寬了人們的視野，加深了人類對客觀世界的認識。混沌現象在非線性科學中指的是一種確定的但不可預測的運動狀態。它的外在表現和純粹的隨機運動很相似，即都不可預測。但和隨機運動不同的是，混沌運動在動力學上是確定的，它的不可預測性是來源于運動的不穩定性。或者說混沌系統對無限小的初值變動和微繞也具于敏感性，無論多小的擾動在長時間以后，也會使系統徹底偏離原來的演化方向。混沌現象是自然界中的普遍現象，天氣變化就是一個典型的混沌運動。而在人類的