一個等比數列前n項和性質的完善及應用黃文憲 福建省南安市新營中學摘要：本文所指等比數列的前n項和性質是指Sm, S2m-Sm, S3m-S2m之間的關系，這也是中學數學中常用又常錯的命題。很多的課外輔導材料中所給的相關性質都是不完善的，應用該性質解題存在著邏輯上的缺陷，但又不易察覺。本文對該性質進行了完善與發展，使得利用該性質解題能完整無誤。關鍵詞：等比數列 前項和 性質 完善 應用在很多的高中數學輔導材料中，都有關于等比數列前n項和一個性質：在等比數列an中，若其前n項和為Sn，mN*,則Sm, S2m-Sm, S3m-S2m也成等比數列，公比為qm。由于等差數列前n項和有相類似性質的存在，雖然沒有嚴格的證明，但在慣性思維作用下，這個性質得到廣大師生的認同。其實，這是一個假命題，比如有窮等比數列1 ,-1 ,1 ,-1 ,1 ,-1的前兩項和、中兩項和及后兩項和,組成的數列為 0 ,0 ,0 ，顯然不成等比數列。這說明，至少在公比q=-1時，命題是不成立的。那么，該性質應如何表述才恰當呢？1.1等比數列前n項和性質及其證明等比數列前n項和性質：在等比數列an中，其前n項和為Sn，mN*，則(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)。證明：在等比數列an中，前n項和為Sn，設公比為q (q0),則Sm=a1+a2+am S2m-Sm=am+1+am+2+a2m=qm(a1+a2+am) S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+a3m=q2m(a1+a2+am) 當q-1時，Sm=a1+a2+am0，由得S2m-SmSm=qm 由得S3m-S2mS2m-Sm=qm S2m-SmSm=S3m-S2mS2m-Sm Sm ,S2m-Sm ,S3m-S2m是等比數列，即有(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)。當q=-1時若m為偶數，則Sm=a1+a2+am=0，S2m-Sm=am+1+am+2+a2m=qm(a1+a2+am)=0S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+a3m=q2m(a1+a2+am)=0此時，Sm,S2m-Sm,S3m-S2m不成等比數列，但有(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)若m為奇數，則Sm=a1+a2+am=am=a1qm-1=a1，S2m-Sm=am+1+am+2+a2m=a2m=a1q2m-1=-a1S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+a3m=a3m=a1q3m-1=a1 a10, Sm,S2m-Sm ,S3m-S2m成等比數列，即有(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)綜上所述，在等比數列an中，其前n項和為Sn，mN*則(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)。1.2等比數列前n項和性質應用錯析有了等比數列前n項和性質，可以直接用它來解題了嗎？先看以下一道試題幾個學生的不同解法：人教A版教輔優化設計P42，試題7：等比數列an的前n項和為Sn，S2=3，S6=63，則S4=_學生甲：由等比數列前n項和的性質有： （S4-S2）2=S2（S6-S4）所以（S4-3）2=3（63-S4）S42-3S4-180=0S4=15或S4=-12學生乙：顯然公比q1，由等比數列的前n項和公式得 a1(1-q2)1-q=3 a1(1-q6)1-q63 得1+q2+q4=21解得q2=4或q2=-5（舍去）q=2或q=-2a1=1q=2或a1=-3q=-2當 a1=1q=2 時，S4=a1(1-q4)1-q=15當a1=-3q=-2時，S4=a1(1-q4)1-q=15綜上所述，S4=15.學生丙：由已知S2=3，S6=63得 a1+a2=3 a1+a2+a3+a4+a5+a6=63 得1+q2+q4=21解得q2=4或q2=-5（舍去）S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)+(a1+a2)q2=3+34=15所以 S4=15.觀察對比幾位同學的解法會發現，直接利用等比數列前n項和性質解題，可能會產生增根，從而得出錯誤結果。甲同學的解答得出的S4=-12對應于乙同學和丙同學解答時得到的q2=-5，等比數列不存在。所以性質“在等比數列an中，其前n項和為Sn，mN*則(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)”的題設是結論的充分不必要條件，即在等比數列中，其前n項和為Sn，mN*則(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)一定成立，但滿足(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)的Sm，S2m，S3m不一定是一等比數列的前m，2m，3m項和。所以探究等比數列中前m，2m，3m項和的內在聯系成為該性質應用的必然。1.3等比數列前n項和性質分析完善因為 Sm=a1+a2+amS2m=a1+a2+am+am+1+am+2+a2m=（1+qm）SmS3m=a1+a2+am+am+1+am+2+a2m+a2m+1+a2m+2+a3m=1+qm+q2mSm=（12+qm）2+34Sm,所以m為偶數時，1+qm1，則Sm，S2m同號且Sm0所以 Sm與S3m必同號。因此，等比數列前n項和性質應表述為：在等比數列an中，其前n項和為Sn，mN*則(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)，（當m為偶數時，Sm，S2m同號且SmS2m）。1.4等比數列前n項和性質解題應用例1、若某等比數列中前7項和為48，前14項和為60，則前21項和為_.解：m=7為奇數，S7=48，S14=60，由關系式(S14-S7)2=S7(S21-S14)可得144=48(S21-60)，所以S21=63.例2、在等比數列an中，S2=7，S6=91，求S4解：由(S4-S2)2=S2(S6-S4)得S42-7S4-588=0解得S4=28或S4=-21因為m=2為偶數，S2、S4同號且S2S4，所以S4=28。例3、已知等比數列an中，前20項和S20=30，前30項和S30=70，求前10項S10。解：由(S20-S10)2=S10(S30-S20)得S102-100S10+900=0解得S10=10或S10=90因為m=10為偶數，S10、S20同號且S10S20，所以S10=10。例4：已知等比數列an中，mN*，前2m項和S2m=30，前3m項和S30=70，求前m項Sm。解：由(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)得Sm2-100Sm+900=0解得Sm=10或Sm=90當m為偶數時，Sm、S2m同號且SmS2m，Sm=90不合題意，舍去，所以Sm=10。當m為奇數時，Sm=10或Sm=901.5反思感悟在中學數學課程中，有很多知識之間聯系很緊密，知識的生成過程中經常可進行類比，這種推理因其“合乎情理”而有利于學生的接受，促進了學生的學習發展。等差數列和等比數列關系緊密，兩者之間在定義、通項公式、性質等各方面進行類比是教學過程中常態。由“等差數列an中，其前n項和為Sn，mN*則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差數列”類比得出“等比數列an中，其前n項和為Sn，mN*則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等比數列”是一個很自然的過程。但合情推理不是邏輯推理，其所得結論并不一定為真。類比所得結果必須進行邏輯證明是克服學生慣性思維引起錯誤的有效方法。在中學數學課程中，有很多的性質、定理、推論。這些性質、定理、推論中，有一些的題設與結論是不等價的，或者說題設是結論的充分不必要條件。除了本文研究的等比數列前n項和性質外，還有很多，比如：函數單調性與函數導數符號關系函數的極值點