分形維數算法分形包括規則分形和無規則分形兩種。規則分形是指可以由簡單的迭代或者是按一定規律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲線，Sierpinski海綿等。這些分形圖形具有嚴格的自相似性。無規則分形是指不光滑的，隨機生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸線，變換無窮的布朗運動軌跡等。這類曲線的自相似性是近似的或統計意義上的，這種自相似性只存于標度不變區域。對于規則分形，其自相似性、標度不變性理論上是無限的（觀測尺度可以趨于無限小）。不管我們怎樣縮小（或放大）尺度（標度）去觀察圖形，其組成部分和原來的圖形沒有區別，也就是說它具有無限的膨脹和收縮對稱性。因些對于這類分形，其計算方法比較簡單，可以用縮小測量尺度的或者不斷放大圖形而得到。分形維數D=lnN()/ln(1/) （2-20）如Cantor集，分數維D=ln2/ln3=0.631；Koch曲線分數維D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海綿分數維D=ln20/ln3=2.777。對于不規則分形，它只具有統計意義下的自相似性。不規則分形種類繁多，它可以是離散的點集、粗糙曲線、多枝權的二維圖形、粗糙曲面、以至三維的點集和多枝權的三維圖形，下面介紹一些常用的測定方法26。（1）尺碼法用某個選定尺碼沿曲線以分規方式測量，保持尺碼分規兩端的落點始終在曲線上。不斷改變尺碼，得到一系列長度N（），越小、N越大。如果作lnNln圖后得到斜率為負的直線，這表明存在如下的冪函數關系N-D （2-21）上式也就是Mandelbrot在分形：形狀、機遇與維數專著中引用的Richardson公式。Richardson是根據挪威、澳大利亞、南非、德國、不列顛西部、葡萄牙的海岸線丈量結果得出此公式的，使用的測量長度單位一般在1公里到4公里之間。海岸線絕對長度L被表示為：L=N1-D （2-22）他得到挪威東南部海岸線的分維D1.52，而不列顛西部海岸線的分維D1.3。這說明挪威的海岸線更曲折一些27。（2）小島法如果粗糙曲線都是封閉的，例如海洋中的許多小島，就可以利用周長-面積關系求分維，因此這個方法又被稱為小島法。對于規則圖形的周長與測量單位尺寸的一次方成正比，而面積A則與的二次方成正比。通常我們可以把它們寫成一個簡單的比例關系：PA1/2 (2-23)對于二維空間內的不規則分形的周長和面積的關系顯然更復雜一些，Mandelbrot提出，應該用分形周長曲線來代替原來的光滑周長，從而給出了下述關系式： （2-24）這里的分維D大于1（周長光滑時D=1，上式轉化成為（2.23）式），使P的變化減緩，a0是和島的形狀有關的常數，是測量尺寸，一般取為小于1的數值（如取島的最大直徑為1），使因子（1-D）/D隨測量尺寸減小而增大。作logP()/logA()1/2/圖，從其中直線部分的斜率的倒數，可以得到分維D。這個方法也可以推廣到粗糙曲線（表面積-體積法）。（3）計盒維數法28這是一種常用的計算分形圖形分維數的實用方法。取邊長為r的小盒子，把分形曲線覆蓋起來。則有些小盒子是空的，有些小盒子覆蓋了曲線的一部分。計數多少小盒子不是空的，所得的非空盒子數記為N（r）。然后縮小盒子的尺寸，所得N（r）自然要增大，當r0時，得到分形維數： （2-25）實際計算中只能取有限的r，通常的做法與尺碼法類似，求一系列r和N（r），然后在雙對數坐標中用最小二乘法擬合直線，所得直線的斜率即所求分形維數。（）結構函數法29具有分形特征的時間序列能使其采樣數據的結構函數滿足： （2-26）式中：表示差方的算術平均值。是數據間隔的任意選擇值。針對若干尺度對分形曲線的離散信號計算出相應的（），然后在對數坐標中得logS()log直線的斜率，則分形維數： （2-27）2.2.4系統所采用的二種計算維數的方法以上介紹的各種測量不規則分形的分維方法，在原理上都是利用了它們的自相似性和被測量是隨測量尺度的改變而改變的特性。因此選擇哪一種方法來測定和計算分維只能從實際問題出發，沒有統一的標準。但在計算分維時存在的共同點是在計算原則上要求圖形象素盡量多以及相似的層次盡量多。但實際圖形往往達不到這樣的要求，計算機模擬結果原則上可以有大得多的線性范圍，但限于計算時，一般雙對數圖上的線性范圍是23個量級。因此我們在實際的研究工作中，對研究對象使用分形或分維等概念時一定要注意它的適用范圍。下面介紹在系統中所使用的二種求分形的方法。a、 半方差法半方差法用于復雜的分形曲線的計算，適用于對隨機過程數據的處理。該方法簡單易行，適合于計算機處理，是一種較實用的計算方法。設在某一測量距離或測量時間序列上得到一族z（t），且隨機變量的平均差表示為： （2-28）其中：m(a)為平均差；z(t)為在t位置函數曲線的測量值；z(t+t)為在t+t位置函數曲線的測量值；t為一對數據的間據n為數據對數。方差表示為： （2-29）半方差表示為： （2-30）式中數據的對數n的確定方法是：若以等間距t連續測量某一距離的各點數值時，得到一隨機數據z(1),z(2),z(k),如圖2-6所示當一對數據的間距t1=t時，數據的對數n=k-1,如圖2-6 (a)所示。當一對數據的間距t2=2t時，計算相應的半方差時，數據的對數n2=k-2,如圖2-6 (b)所示。t1=tn1=k-1 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k) (a)t2=2tn2=k-2 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k) (b)t3=3tn3=k-3 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k) (c)當一對數據的間距t3=3t時，計算相應的半方差時，數據的對數n2=k-3,如圖2-6 (c)所示。圖2-6 半方差法中參數n的確定Fig 2-6 the definition of n in semi-variance method當試驗數據較多時，往下依次類推。每當改變一對數據的間距時，由式（2-30）可以得到相應的半方差r(a)。對于分形曲線，a與r(a)存在如下的冪型關系：r(a)hW (2-31)其中，W是冪指數，是分形維數D的一種逼近，把h和r(h)繪到雙對數坐標圖上，并進行線性回歸，得到回歸方程，其斜率即為W。而斜率W與分形維數D有如下關系23：W=4-2D （2-32）則 （2-33）b、 變換法這是Dubuc等29介紹的方法，在本質上它與計盒維數法相似，但對已知分形曲線運用此法得到的結果比計盒維數法準確，。后來Spanos和Irene25把此方法推廣應用于粗糙曲面，也得到很好的結果。此法設置寬為的矩形（盒子）覆蓋到分形曲線上，矩形的高度由分形曲線在框內的最高點和最低點決定（圖2-7），一步一步移動矩形遍及所有象素點，將所有矩形的高和寬相乘并且相加起來得到總面積S（R），系列改變的大小重復以上操作，得到一系列S（R）。注意上述操作過程中矩形經過的范圍應遠遠大于矩形的寬度。將R2R1圖2-7 變換法求分維Fig 2-7 dimension calculating using variationS（R）除以R得到N（R）S（R）R，作lnN(R)ln(1/R)曲線，取其中線性部分的斜率為分維，因為在線性范圍內存在N（R）R的關系。或者直接作lnS(R)