分形維數(shù)算法分形包括規(guī)則分形和無規(guī)則分形兩種。規(guī)則分形是指可以由簡(jiǎn)單的迭代或者是按一定規(guī)律所生成的分形，如Cantor集，Koch曲線，Sierpinski海綿等。這些分形圖形具有嚴(yán)格的自相似性。無規(guī)則分形是指不光滑的，隨機(jī)生成的分形，如蜿蜒曲折的海岸線，變換無窮的布朗運(yùn)動(dòng)軌跡等。這類曲線的自相似性是近似的或統(tǒng)計(jì)意義上的，這種自相似性只存于標(biāo)度不變區(qū)域。對(duì)于規(guī)則分形，其自相似性、標(biāo)度不變性理論上是無限的（觀測(cè)尺度可以趨于無限小）。不管我們?cè)鯓涌s小（或放大）尺度（標(biāo)度）去觀察圖形，其組成部分和原來的圖形沒有區(qū)別，也就是說它具有無限的膨脹和收縮對(duì)稱性。因些對(duì)于這類分形，其計(jì)算方法比較簡(jiǎn)單，可以用縮小測(cè)量尺度的或者不斷放大圖形而得到。分形維數(shù)D=lnN()/ln(1/) （2-20）如Cantor集，分?jǐn)?shù)維D=ln2/ln3=0.631；Koch曲線分?jǐn)?shù)維D=ln4/ln3=1.262; Sierpinski海綿分?jǐn)?shù)維D=ln20/ln3=2.777。對(duì)于不規(guī)則分形，它只具有統(tǒng)計(jì)意義下的自相似性。不規(guī)則分形種類繁多，它可以是離散的點(diǎn)集、粗糙曲線、多枝權(quán)的二維圖形、粗糙曲面、以至三維的點(diǎn)集和多枝權(quán)的三維圖形，下面介紹一些常用的測(cè)定方法26。（1）尺碼法用某個(gè)選定尺碼沿曲線以分規(guī)方式測(cè)量，保持尺碼分規(guī)兩端的落點(diǎn)始終在曲線上。不斷改變尺碼，得到一系列長(zhǎng)度N（），越小、N越大。如果作lnNln圖后得到斜率為負(fù)的直線，這表明存在如下的冪函數(shù)關(guān)系N-D （2-21）上式也就是Mandelbrot在分形：形狀、機(jī)遇與維數(shù)專著中引用的Richardson公式。Richardson是根據(jù)挪威、澳大利亞、南非、德國、不列顛西部、葡萄牙的海岸線丈量結(jié)果得出此公式的，使用的測(cè)量長(zhǎng)度單位一般在1公里到4公里之間。海岸線絕對(duì)長(zhǎng)度L被表示為：L=N1-D （2-22）他得到挪威東南部海岸線的分維D1.52，而不列顛西部海岸線的分維D1.3。這說明挪威的海岸線更曲折一些27。（2）小島法如果粗糙曲線都是封閉的，例如海洋中的許多小島，就可以利用周長(zhǎng)-面積關(guān)系求分維，因此這個(gè)方法又被稱為小島法。對(duì)于規(guī)則圖形的周長(zhǎng)與測(cè)量單位尺寸的一次方成正比，而面積A則與的二次方成正比。通常我們可以把它們寫成一個(gè)簡(jiǎn)單的比例關(guān)系：PA1/2 (2-23)對(duì)于二維空間內(nèi)的不規(guī)則分形的周長(zhǎng)和面積的關(guān)系顯然更復(fù)雜一些，Mandelbrot提出，應(yīng)該用分形周長(zhǎng)曲線來代替原來的光滑周長(zhǎng)，從而給出了下述關(guān)系式： （2-24）這里的分維D大于1（周長(zhǎng)光滑時(shí)D=1，上式轉(zhuǎn)化成為（2.23）式），使P的變化減緩，a0是和島的形狀有關(guān)的常數(shù)，是測(cè)量尺寸，一般取為小于1的數(shù)值（如取島的最大直徑為1），使因子（1-D）/D隨測(cè)量尺寸減小而增大。作logP()/logA()1/2/圖，從其中直線部分的斜率的倒數(shù)，可以得到分維D。這個(gè)方法也可以推廣到粗糙曲線（表面積-體積法）。（3）計(jì)盒維數(shù)法28這是一種常用的計(jì)算分形圖形分維數(shù)的實(shí)用方法。取邊長(zhǎng)為r的小盒子，把分形曲線覆蓋起來。則有些小盒子是空的，有些小盒子覆蓋了曲線的一部分。計(jì)數(shù)多少小盒子不是空的，所得的非空盒子數(shù)記為N（r）。然后縮小盒子的尺寸，所得N（r）自然要增大，當(dāng)r0時(shí)，得到分形維數(shù)： （2-25）實(shí)際計(jì)算中只能取有限的r，通常的做法與尺碼法類似，求一系列r和N（r），然后在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中用最小二乘法擬合直線，所得直線的斜率即所求分形維數(shù)。（）結(jié)構(gòu)函數(shù)法29具有分形特征的時(shí)間序列能使其采樣數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)滿足： （2-26）式中：表示差方的算術(shù)平均值。是數(shù)據(jù)間隔的任意選擇值。針對(duì)若干尺度對(duì)分形曲線的離散信號(hào)計(jì)算出相應(yīng)的（），然后在對(duì)數(shù)坐標(biāo)中得logS()log直線的斜率，則分形維數(shù)： （2-27）2.2.4系統(tǒng)所采用的二種計(jì)算維數(shù)的方法以上介紹的各種測(cè)量不規(guī)則分形的分維方法，在原理上都是利用了它們的自相似性和被測(cè)量是隨測(cè)量尺度的改變而改變的特性。因此選擇哪一種方法來測(cè)定和計(jì)算分維只能從實(shí)際問題出發(fā)，沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。但在計(jì)算分維時(shí)存在的共同點(diǎn)是在計(jì)算原則上要求圖形象素盡量多以及相似的層次盡量多。但實(shí)際圖形往往達(dá)不到這樣的要求，計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果原則上可以有大得多的線性范圍，但限于計(jì)算時(shí)，一般雙對(duì)數(shù)圖上的線性范圍是23個(gè)量級(jí)。因此我們?cè)趯?shí)際的研究工作中，對(duì)研究對(duì)象使用分形或分維等概念時(shí)一定要注意它的適用范圍。下面介紹在系統(tǒng)中所使用的二種求分形的方法。a、 半方差法半方差法用于復(fù)雜的分形曲線的計(jì)算，適用于對(duì)隨機(jī)過程數(shù)據(jù)的處理。該方法簡(jiǎn)單易行，適合于計(jì)算機(jī)處理，是一種較實(shí)用的計(jì)算方法。設(shè)在某一測(cè)量距離或測(cè)量時(shí)間序列上得到一族z（t），且隨機(jī)變量的平均差表示為： （2-28）其中：m(a)為平均差；z(t)為在t位置函數(shù)曲線的測(cè)量值；z(t+t)為在t+t位置函數(shù)曲線的測(cè)量值；t為一對(duì)數(shù)據(jù)的間據(jù)n為數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)。方差表示為： （2-29）半方差表示為： （2-30）式中數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)n的確定方法是：若以等間距t連續(xù)測(cè)量某一距離的各點(diǎn)數(shù)值時(shí)，得到一隨機(jī)數(shù)據(jù)z(1),z(2),z(k),如圖2-6所示當(dāng)一對(duì)數(shù)據(jù)的間距t1=t時(shí)，數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)n=k-1,如圖2-6 (a)所示。當(dāng)一對(duì)數(shù)據(jù)的間距t2=2t時(shí)，計(jì)算相應(yīng)的半方差時(shí)，數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)n2=k-2,如圖2-6 (b)所示。t1=tn1=k-1 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k) (a)t2=2tn2=k-2 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k) (b)t3=3tn3=k-3 z(1) z(2) z(3) z(4) z(5) z(6) z(7) z(8) z(9) z(k) (c)當(dāng)一對(duì)數(shù)據(jù)的間距t3=3t時(shí)，計(jì)算相應(yīng)的半方差時(shí)，數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)n2=k-3,如圖2-6 (c)所示。圖2-6 半方差法中參數(shù)n的確定Fig 2-6 the definition of n in semi-variance method當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較多時(shí)，往下依次類推。每當(dāng)改變一對(duì)數(shù)據(jù)的間距時(shí)，由式（2-30）可以得到相應(yīng)的半方差r(a)。對(duì)于分形曲線，a與r(a)存在如下的冪型關(guān)系：r(a)hW (2-31)其中，W是冪指數(shù)，是分形維數(shù)D的一種逼近，把h和r(h)繪到雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，并進(jìn)行線性回歸，得到回歸方程，其斜率即為W。而斜率W與分形維數(shù)D有如下關(guān)系23：W=4-2D （2-32）則 （2-33）b、 變換法這是Dubuc等29介紹的方法，在本質(zhì)上它與計(jì)盒維數(shù)法相似，但對(duì)已知分形曲線運(yùn)用此法得到的結(jié)果比計(jì)盒維數(shù)法準(zhǔn)確，。后來Spanos和Irene25把此方法推廣應(yīng)用于粗糙曲面，也得到很好的結(jié)果。此法設(shè)置寬為的矩形（盒子）覆蓋到分形曲線上，矩形的高度由分形曲線在框內(nèi)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)決定（圖2-7），一步一步移動(dòng)矩形遍及所有象素點(diǎn)，將所有矩形的高和寬相乘并且相加起來得到總面積S（R），系列改變的大小重復(fù)以上操作，得到一系列S（R）。注意上述操作過程中矩形經(jīng)過的范圍應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于矩形的寬度。將R2R1圖2-7 變換法求分維Fig 2-7 dimension calculating using variationS（R）除以R得到N（R）S（R）R，作lnN(R)ln(1/R)曲線，取其中線性部分的斜率為分維，因?yàn)樵诰€性范圍內(nèi)存在N（R）R的關(guān)系。或者直接作lnS(R)