2011年普通高等學校招生全國統一考試(四川卷)數 學(理工類)一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1有一個容量為66的樣本，數據的分組及各組的頻數如下：115，155) 2 155,195) 4 195，235) 9 235,275) 18 275，315) 1l 315，355) 12 355395) 7 395,435) 3 根據樣本的頻率分布估計，數據落在315，435)的概率約是(A) (B) (C) （D）2復數=(A) （B） （C）0 （D）3，是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(A)， （B），(C) ，共面 （D），共點，共面4如圖，正六邊形ABCDEF中，=(A) (B) (C) (D)55函數，在點處有定義是在點處連續的 (A)充分而不必要的條件 (B)必要而不充分的條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要的條件6在ABC中則A的取值范圍是 (A)(0， (B) ，) (C)(0， (D) ，)7已知是R上的奇函數，且當時，則的反函數的圖像大致是8數列的首項為， 為等差數列且 若則，則（A）0 （B）3 （C）8 （D）119某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車某天需運往地至少72噸的貨物，派用的每輛車虛滿載且只運送一次拍用的每噸甲型卡車虛配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車虛配1名工人，運送一次可得利潤350元該公司合理計劃黨團派用兩類卡車的車輛數，可得最大利潤（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元10在拋物線上取橫坐標為，的兩點，過這兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓相切，則拋物線頂點的坐標為（A） （B） （C） （D）11已知定義在上的函數滿足，當時，設在上的最大值為，且的前項和為，則（A）3 （B） （C）2 （D）12在集合中任取一個偶數和一個奇數構成以原點為起點的向量從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形記所有作成的平行四邊形的個數為，其中面積不超過的平行四邊形的個數為，則（A） （B） （C） （D）二填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分13計算 14雙曲線P到左準線的距離是 15如圖，半徑為R的球O中有一內接圓柱當圓柱的側面積最大是，求的表面積與改圓柱的側面積之差是 16函數的定義域為，若且時總有，則稱函數為單函數例如，函數（）是單函數下列命題：函數（）是單函數；若為單函數，且，則；若：為單函數，則對于任意，它至多有一個原象；函數在某區間上具有單調性，則一定是單函數其中的真命題是 （寫出所有真命題的編號）答案：B解：從到共有22，所以答案：A解：答案：B解：A答案還有異面或者相交，C、D不一定答案D解：答案：B解：連續必定有定義，有定義不一定連續答案：C解：由題意正弦定理答案：A解：由反函數的性質原函數的值域為反函數的定義域，原函數的定義域為反函數的值域當，故選A答案：B解：由已知知由疊加法答案：C解：由題意設派甲，乙輛，則利潤，得約束條件畫出可行域在的點代入目標函數答案：A解：由已知的割線的坐標,設直線方程為，則又答案：D解：由題意,在上，答案：D基本事件：其中面積為的平行四邊形的個數其中面積為的平行四邊形的個數為其中面積為的平行四邊形的個數其中面積為的平行四邊形的個數其中面積為的平行四邊形的個數；其中面積為的平行四邊形的個數其中面積為的平行四邊形的個數其中面積為的平行四邊形的個數 答案：解：答案：解：，點顯然在雙曲線右支上，點到左焦點的距離為20，所以答案：解：時，則答案：解 ：錯，;錯在某區間上具有單調性，不一定在整個定義域上單調故正確三解答題：本大題共6小題，共74分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（本小題共12分） 已知函數()求的最小正周期和最小值；（）已知，求證：18（本小題共12分）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）有人獨立來該租車點則車騎游各租一車一次設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時（）求出甲、乙所付租車費用相同的概率；（）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數學期望；19(本小題共l2分) 如圖，在直三棱柱AB-A1B1C1中 BAC=90，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點，且PB1平面BDA(I)求證：CD=C1D；(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值； ()求點C到平面B1DP的距離20(本小題共12分) 設為非零實數，(1)寫出并判斷是否為等比數列若是，給出證明；若不是，說明理由；(II)設，求數列的前n項和本小題考查等比數列和組合數的基礎知識以及基本的運算能力,分析問題、解決問題的能力和化歸與轉化等數學思想21(本小題共l2分) 橢圓有兩頂點A(-1，0)、B(1，0)，過其焦點F(0，1)的直線l與橢圓交于C、D兩點，并與x軸交于點P直線AC與直線BD交于點Q (I)當|CD | = 時，求直線的方程；(II)當點P異于A、B兩點時，求證： 為定值 本小題主要考查直線、橢圓的標準方程及基本性質等基礎知識，考查平面解幾何的思想方法及推理運算能力22(本小題共l4分)已知函數 (I)設函數，求的單調區間與極值； ()設，解關于的方程 ()試比較與的大小本小題考查三角函數的性質，同角三角函數的關系，兩角和的正、余弦公式、誘導公式等基礎知識及基本運算能力 ，函數與方程、化歸與轉化等數學思想解：() （）因為又本小題主要考查相互獨立事件、隨機變量的分布列、數學期望等到概念及相關計算，考查運用所學知識與方法解決實際問題的能力解：（）所付費用相同即為元設付0元為，付2元為，付4元為則所付費用相同的概率為()設甲，乙兩個所付的費用之和為，可為故的分布列為本小題主要考查直三棱柱的性質、線面關系、二面角等基本知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應用向量知識解決數學問題的能力解：（I）連接交于,又為的中點，中點，,D為的中點（II）由題意,過B 作,連接，則,為二面角的平面角在中，,則()因為，所以,在中，解法二：如圖，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，（）設，由此可得，設平面的一個法向量為，則令，則平面，由此可得，故（）由（）知，平面的一個法向量為，又為平面的一個法向量故二面角的平面角的余弦值為（），設平面的一個法向量為，則令，可得又，到平面的距離解：（）由已知可得當2，1時，因為，所以由此可見，當時，是以為首項，為公比的等比數列；當，（），此時不是等比數列（）由（）可知，從而 當時，當時，式兩邊同乘以得 由得：化得即得： 綜上，解：由已知可得橢圓方程為，設的方程為為的斜率則的方程為或為所求（）當直線與軸垂直時與題意不符設直線的方程為，所以點坐標為設，由（）知，直線的方程為，直線的方程為將兩直線方程聯立，消去得因為，所以與異號 又與異號，與同號，解得因此點坐標為，故為定值本小題主要考查函數導數的應用、不等式的證明、解方程等基礎知識，考查數形結合、分類與整合、特殊與一般等數學思想方法以及推理運算、分析問題、解決問題的能力解：（）由，（）知，令，得當時，；當時，；故當時，單調遞減；當