中國領先的1對1教育品牌精銳教育學科教師輔導講義課 題高考數學考試手冊解讀-數列教學內容【知識點1】：數列的有關概念【考試要求】：理解數列、數列的項、通項、有窮數列、無窮數列、遞增數列、遞減數列、常數列等有關概念。【解讀】：對數列本質的理解非常重要，包括一些特殊數列的形態，如周期數列等，對一些特殊數列的性質研究，經經常作為構造新題心機設計研究性問題的材料。由于數列是一種特殊的函數，因此在研究數列時應該從函數的視角分析、研究數列的性質。在這些概念中特別注意遞增數列、遞減數列，即在數列中，對任意的正整數n,若，則數列為遞增數列；若，則數列為遞減數列；注意與函數單調性定義的區別和聯系。【舉例說明】：1. 已知數列滿足：，則_；_；【解析】：本題考查周期數列等基礎知識，屬于創新題型。2. 已知數列的通項公式，試問，數列有沒有最大想和最小項？如果有請求出最大想和最小項；如果沒有請說明理由。3. 已知數列滿足：，若=1，則m所有可能的取值為_。4. xOy平面上的點列均在函數的圖像上，且點、點與點構成一個頂角的頂點為的等腰三角形。（1）求點的縱坐標的表達式 （2）若對每一個自然數為邊長能夠成一個三角形，求的取值范圍；（3）設，若取（2）中確定的范圍內的最小整數，求數列的最大項的項數；5設數列中，若，則稱數列為“凸數列”。（1）設數列為“凸數列”，若，試寫出該數列的前6項，并求出該6項之和；（2）在“凸數列”中，求證：；（3）設，若數列為“凸數列”，求數列前2010項和。【知識點2】 ：等差數列【考試要求】 ：掌握等差數列的通項公式和前項和公式。【解讀】 ：對等差數列，首先必須掌握其定義，既能夠準確的表達等差樹列的概念；通項公式及前n項和，不僅熟練的掌握公示的應用（正向、逆向），還要掌握公示的推導方法，并能夠將這些方法遷移到其他的問題情境之中，解決其他的問題。【舉例說明】 ：1、 設等差數列的前n項和為，若，則_。2、 設等差數列的前n項和為，若，則_。3、 數列的前n項和為滿足，求（1） 數列的通項公式；（2） 數列中是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在請求出一組是和條件的項；若不存在，請說明理由。4、 設是公差不為零的等差數列，為其前n項和，滿足（1） 求的通項公式和前n項和（2） 試求所有的正整數m,使得為數列中的項。5、 已知，若成等差數列。（1） 求的通項公式（2） 令問是否存在整數a使得是一個單調遞增數列，若存在，請求出a的范圍，若不存在請說明理由。6、現有個正數排成一個n行n列的矩陣，其中（）表示該數陣中位于第行第列的數，已知該數陣每一行的數成等差數列，每一列的數成公比為2的等比數列，且，。（1）求和；（2）計算行列式和；（3）設，證明：當是3的倍數時，能被21整除。【知識點3】 ：等比數列【考試要求】 ：掌握等比數列的通項公式和前項和公式。體驗用類比的思想方法對等比數列和等差數列進行研究的活動。【解讀】 ：對等數比列，復習時必須與等差數列進行類比，首先必須掌握其定義，既能夠準確的表達等比數列的概念；通項公式及前n項和，特別注意球合適的分類討論，這是考試中的失分點。不僅熟練的掌握公示的應用（正向、逆向），還要掌握公示的推導方法，并能夠將這些方法遷移到其他的問題情境之中，解決其他的問題。【舉例說明】 ：1、 設等比數列的公比為,前n項和為，則_2、 設等比數列的前n項和為，若則_3、 設等比數列的前n項和為，對所有的正整數n都有成立，記（1） 求數列的通項公式；（2） 記，設數列的前n項和為，求證：對任意的正整數n都有（3） 對數列的前n項和。已知正實數滿足：對任意的正整數n，恒成立，求的最小值4、 設等比數列的前n項和為，已知（1） 設證明數列是等比數列（2） 求的通項公式5、已知數集具有性質；對任意的，與兩數中至少有一個屬于。（1）分別判斷數集與是否具有性質，并說明理由；（2）證明：，且（3）證明：當時，成等比數列。(2010高考數學理科)20（本題滿分13分）第1小題滿分5分，第2小題滿分8分已知數列an的前n項和為，且(1) 證明：an-1是等比數列；(2) 求數列 的通項公式，并指出n為何值時，取得最小值，并說明理由【知識點4】 ：簡單的遞推數列【考試要求】 ：從生活實際和數學背景中提出遞推數列進行研究，會解決簡單的遞推數列（即一階線性遞推數列）的有關問題。【解讀】 ：數列應用題的解決是學生學習的難點，根據手冊的要求，要求學生能夠從生活實際問題中提出遞推數列，即能溝通過提議建立數學模型，有一只的條件提煉數列遞推關系，撥那個對數列進行研究，但必須控制難度，對遞推數列只控制在一階的線性遞推數列。一階線性的遞推關系：數列滿足（a,b,c是常數）是最重要的遞推關系，可以看出當b=1時，此數列是等差數列，當c=0時，此數列是等比數列。解決此類的遞推方法是通過代換(令)化簡成等比數列求解。【舉例說明】 ：1、 若數列中，（n是正整數），則數列的通項=_。2、已知數列滿足，,則=_3、從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業.根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少.本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加。(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為萬元，旅游業總收入為萬元.寫出，的表達式(2)至少經過幾年旅游業的總收入才能超過總投入?4、 某企業去年底有資金積累萬元,根據預測從今年開始以后每一年的的資金積累會在原有的基礎上增長，但每年要拿出b萬元作為獎勵金獎給職工，企業計劃用5年的時間使資金累計翻一番，求b的最大值。【知識點5】 ：數列的極限【考試要求】 ：理解直觀描述的數列極限的意義。掌握數列極限的四則運算法則。【解讀】：對數列的極限問題，雖然對極限定義只要做最直觀的描述性理解，但必須領會其本質含義，即當n無限的增大時，無限的接近某個常數A,則,明確極限存在的唯一性，其次，求數列極限問題主要有這幾種類型：（當或a=-1時不存在極限）。特別是對指數型數列極限的討論，這是學習的難點和考試的失分點，需要特別的強調。【舉例說明】 ：1、 二項式和的展開式中，各項系數和分別記為，n是正整數，則=_2、 已知點，其中n為正整數，設表示外接圓面積,則_3、 計算_4、 數列中，則數列的極限值為（ ）A. 等于0 B.等于1 C等于0或1 D 不存在(2010高考數學理科試題)11、將直線 x軸、y軸圍成的封閉圖形的面積記為，則_【知識點6】：無窮等比數列各項的和【考試要求】：會求無窮等比數列各項的和。【解讀】：首先要理解無窮等比數列在公比q滿足時各項的和才存在，這時的各項和；同時比尋掌握公式的逆向運用（特別是注意的隱含條件）,并利用構造無窮等比數列及各項和的公式解決實際問題。【舉例說明】：1、 設數列是公比為q的等比數列，其前n項和為，若7，則此時數列的首項的取值范圍是_2、 首項為，公比為q的等比數列的前n項和總小于這個數的各項和，則首項為，公比為q的一組取值可以是_3、若干個能唯一確定一個數列的量稱為該數列的“基本量”設是公比為的無窮等比數列,下列的四組量中,一定能成為該數列“基本量”的是第 組(寫出所有符合要求的組號) 與; 與; 與; 與. 其中n為大于1的整數, 為的前n項和.4、無窮等比數列的前n項和，則數列的各項和為 5、如圖，在半徑為r 的園內作內接正六邊形，再作正六邊形的內切圓，又在此內切圓內作內接正六邊形，如此無限繼續下去，設為前n個圓的面積之和，則= 【知識點7】 ：數列的實際應用問題【考試要求】：會用數列的只是解決簡單的實際問題；通過數列的建立及其應用，具有一定的數學建模能力。【解讀】 ：數列應用題一種是是同比例增長的問題：包括利息、產量、業績的增長和下降等，往往構造等比數列模型；另一種是與等量增長有關的問題，往往構造等差數列的模型。通過建立等差數列、等比數列或很簡單的遞推數列模型解解決實際問題，難度要嚴格控制，不能超過課本練習題的難度。【舉例說明】 ：1、假設某市2011年新建住房400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價房.預計在今后的若干年內,該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么,到哪一年底,(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2011年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方米?(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?2、近年來，太陽能技術運用的步伐日益加快2002年全球太陽電池的年生產量達到670兆瓦，年生產量的增長率為34% 以后四年中，年生產量的增長率逐年遞增2%（如，2003年的年生產量的增長率為36%） （1）求2006年全球太陽電池的年生產量（結果精確到0.1兆瓦）； （2）目前太陽電池產業存在的主要問題是市場安裝量遠小于生產量，2006年的實際安裝量為1420兆瓦假設以后若干年內太陽電池的年生產量的增長率保持在42%，到2010年，要使年安裝量與年生產量基本持平（即年安裝量不少于年生產量的95%），這四年中太陽電池的年安裝量的平均增長率至少應達到多少（結果精確到0.1%）？【知識點8】：數學歸納法【考試要求】：知道數學歸納法的基本原理，理解數學歸納法的一般步驟，并學會用于證明與正整數有關的簡單命題和整除問題。【解讀】：能夠理解數學歸納法的邏輯關系，掌握數學歸納法證明的基本步驟，能夠利用數學歸納法證明正整數的恒等式及整除性問題。數學歸納法是證明命題的重要方法，應用非常的廣泛，但最近幾年高考出現的次數比較少，需要引起高度重視。【舉例說明】：1、設f(x)是定義在正整數集上的函數，且f(x)滿足：“當f(k)k成立時，總可推出f(k+1)（k+1) 。那么，下列命題總成立的是（ ）（A）若f(1)1成立，則f(10)100成立 （ B ）若f(2)4成立，則f(1)1成立 （C）若f(3)9成立，則當k1，均有f(k)k成立（D）若f(4)25成立，則當k4，均有f(k)k成立2、用數學歸納法證明不等式時,第一部左邊的值為 3、用數學歸納法證明，則當時的左端應在的左端加上 4、利用數學歸納法證明“對任意的正偶數n, 能被整除”時,其第二步論證應該寫成( )A.假設n=k時命題成立,再證n=k+1時命題也成立B.假設n=2k時命題成立,再證n=2k+1時命題也成立C.假設n=k時命題成立,再證n=k+2時命題也成立D.假設n=2k時命題成立,再證n=2(k+1)時命題也成立5、某個命題與正整數n有關,若n=k(kN*)時,該命題成立,那么可推得n=k+1時,該命題也成立.現在已知當n=5時,該命題不成立,那么可推得()A.當n=6時該命題不成立B.當n=6時該命題成立C.當n=4時該命題不成立D.當n=4時該命題成立【知識點9】 ：歸納-猜想-論證【考試要求】 ：領會“歸納-猜想-論證”的思想方法。通過“歸納-猜想-論證”的思維過程，具有一定的演繹推理能力和歸納、猜想、論證的能力。【解讀】：所謂領會“歸納-猜想-論證”的思想方法，即如何根據一些特別的情況進行歸納，在此基礎上形成猜想，