模塊復(fù)習(xí)課 第1課時計數(shù)原理 知識網(wǎng)絡(luò) 要點梳理 分步乘法計數(shù)原理 排列數(shù)公式 組合 組合數(shù)的性質(zhì) 二項式定理 二項式系數(shù)的性質(zhì) 知識網(wǎng)絡(luò) 要點梳理 1 分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案 在第一類方案中有m種不同的方法 在第二類方案中有n種不同的方法 那么完成這件事共有n m n種不同的方法 2 分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟 做第一步有m種不同的方法 做第二步有n種不同的方法 那么完成這件事共有n m n種不同的方法 3 排列與排列數(shù) 1 排列 從n個不同元素中取出m m n 個元素 按順序排成一列 叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列 知識網(wǎng)絡(luò) 要點梳理 2 排列數(shù) 從n個不同元素中取出m m n 個元素的所有排列個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù) 記作4 組合與組合數(shù) 1 組合 從n個不同元素中取出m m n 個元素合成一組 叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合 2 組合數(shù) 從n個不同元素中取出m m n 個元素的所有不同組合的個數(shù) 叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù) 記作 知識網(wǎng)絡(luò) 要點梳理 5 排列數(shù) 組合數(shù)的公式及性質(zhì) 知識網(wǎng)絡(luò) 要點梳理 6 二項式定理 1 定理 2 通項7 二項式系數(shù)與項的系數(shù) 1 二項式系數(shù)二項展開式中各項的系數(shù) k 0 1 n 叫做二項式系數(shù) 2 項的系數(shù)項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分 包括符號等 與二項式系數(shù)是兩個不同的概念 知識網(wǎng)絡(luò) 要點梳理 8 二項式系數(shù)的性質(zhì) 知識網(wǎng)絡(luò) 要點梳理 9 各二項式系數(shù)的和 a b n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n 知識網(wǎng)絡(luò) 要點梳理 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 在分類加法計算原理中 兩類不同方案中的方法可以相同 2 在分類加法計數(shù)原理中 每類方案中的方法都能直接完成這件事 3 在分步乘法計數(shù)原理中 事情是分步完成的 其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事 只有各個步驟都完成后 這件事情才算完成 4 如果完成一件事情有n個不同步驟 在每一步中都有若干種不同的方法mi i 1 2 3 n 那么完成這件事共有m1m2m3 mn種方法 知識網(wǎng)絡(luò) 要點梳理 5 所有元素完全相同的兩個排列為相同排列 6 兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同 7 若組合式cnx cnm 則x m成立 8 n 1 n n n 9 cnkan kbk是二項展開式的第k項 10 二項展開式中 系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項 11 a b n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a b無關(guān) 12 a b 2n中系數(shù)最大的項是第n項 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 專題一分類與分步計數(shù)原理的綜合運用 例1 某校高中部 高一有7個班 高二有7個班 高三有9個班 學(xué)校利用周天組織學(xué)生到某養(yǎng)老院進行社會活動 1 任選一個班的學(xué)生參加社會活動 有多少種不同的選法 2 三個年級各選一個班的學(xué)生參加社會活動 有多少種不同的選法 3 選兩個班的學(xué)生參加社會活動 要求這兩個班來自不同年級 有多少種不同選法 分析運用兩個原理解答問題時注意以下兩點 1 要根據(jù)具體問題 看是先分步后分類還是先分類后分步 2 要思維清晰 保證分類標(biāo)準(zhǔn)的唯一性 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 解 1 分三類 第一類從高一年級選一個班 有7種不同方法 第二類從高二年級選一個班 有7種不同方法 第三類從高三年級選一個班 有9種不同方法 由分類加法計數(shù)原理 共有7 7 9 23種不同選法 2 每種選法分三步 第一步從高一年級選一個班 有7種不同的方法 第二步從高二年級選一個班 有7種不同的方法 第三步從高三年級選一個班 有9種不同方法 由分步乘法計數(shù)原理 共有7 7 9 441種不同的選法 3 分三類 每類又分兩步 第一類從高一 高二兩個年級各選一個班 有7 7種不同方法 第二類從高一 高三兩個年級各選一個班 有7 9種不同方法 第三類從高二 高三兩個年級各選一個班 有7 9種不同方法 由分類加法計數(shù)原理 故共有7 7 7 9 7 9 175種不同選法 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 反思感悟 分類 表現(xiàn)為其中任何一類均可獨立完成所給事情 分步 表現(xiàn)為必須把各步驟均完成 才能完成所給事情 所以準(zhǔn)確理解兩個原理的關(guān)鍵在于弄清分類加法計數(shù)原理強調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾 不論哪一類辦法中的哪一種方法都能夠獨立完成事件 分步乘法計數(shù)原理強調(diào)各步驟缺一不可 需要依次完成所有步驟才能完成事件 步與步之間互不影響 即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 跟蹤訓(xùn)練1用1 2 3 4四個數(shù)字可重復(fù)地任意排成三位數(shù) 并把這些數(shù)由小到大排成一個數(shù)列 an 1 寫出這個數(shù)列的前11項 2 求這個數(shù)列共有多少項 3 若an 341 求n 解 1 用1 2 3 4四個數(shù)字排成三位數(shù) 前11項由小到大的順序為111 112 113 114 121 122 123 124 131 132 133 2 這個數(shù)列的項數(shù)就是用1 2 3 4排成的三位數(shù)的個數(shù) 每一個位置都有4種排法 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有4 4 4 64項 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 專題二排列與組合的應(yīng)用 例2 有1 2 3 4 5這五個數(shù)字 可以組成比20000大 并且百位數(shù)字不是3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) 共有個 答案 78 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 跟蹤訓(xùn)練2由0 1 2 3 4 5六個數(shù)字可組成個被5整除且數(shù)字不同的六位奇數(shù) 解析 由題意可知 首位 末位是兩個特殊位置 0 是特殊元素 首位可取元素的集合a 1 2 3 4 5 末位可取元素的集合b 5 b a 答案 96 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 例3 將5列車停在5條不同的軌道上 其中a列車不停在第一軌道上 b列車不停在第二軌道上 那么不同的停放方法有 a 120種b 96種c 78種d 72種答案 c 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 跟蹤訓(xùn)練3從班委會5名成員中選出3名 分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員 文娛委員與體育委員 其中甲 乙二人不能擔(dān)任文娛委員 則不同的選法共有種 用數(shù)字作答 答案 36 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 例4 a b c d四人排成一排 a b必須相鄰的排法有種 答案 12 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 跟蹤訓(xùn)練4五位老師和五名學(xué)生站成一排 1 五名學(xué)生必須排在一起共有多少種排法 2 五名學(xué)生不能相鄰共有多少種排法 例5 7個人站成一排照相 要求甲 乙 丙兩兩不相鄰有多少種排法 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 例6 今有2個紅球 3個黃球和4個白球 同色球不加以區(qū)分 將這9個球排成1列 有種不同的方法 用數(shù)字作答 答案 1260 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 例7 7人站成一排照相 要求甲 乙之間恰好間隔2人的站法有多少種 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 反思感悟?qū)⒕唧w問題抽象為排列問題或組合問題 是解排列 組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步 1 正確分類或分步 恰當(dāng)選擇兩個計數(shù)原理 2 有限制條件的排列組合問題應(yīng)優(yōu)先考慮 受限元素 或 受限位置 而排列組合討論的問題共同點是 元素不相同 不同點是排列與順序有關(guān) 組合與順序無關(guān) 1 特殊元素特殊位置 優(yōu)先安排法 對于帶有特殊元素或特殊位置的排列組合問題 一般應(yīng)先考慮特殊元素或特殊位置 再考慮其他元素 2 合理分類與準(zhǔn)確分步法解含有約束條件的排列組合問題 應(yīng)按元素的性質(zhì)進行分類 按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步 做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確 分步層次清楚 不重不漏 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 3 相鄰問題 捆綁法 對于某幾個元素要求相鄰的排列問題 可先將相鄰的元素 捆綁 起來 看作一個 大 元素與其他元素排列 然后再對相鄰元素內(nèi)部之間進行排列 4 不相鄰問題 插空法 對于某幾個元素不相鄰的排列問題 可先將其他元素排好 然后再將不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端的空隙中插入即可 5 順序固定問題用 除法 或 自動上位法 對于某幾個元素順序一定的排列問題 可先把這幾個元素與其他元素一同進行排列 然后用總排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù) 6 小團體 問題 先整體后局部法 對于 小團體 排列問題 與 相鄰問題 相似 可先將小團體看作一個元素與其余元素排列 最后再進行小團體內(nèi)部的排列 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 跟蹤訓(xùn)練5高一年級7個班級要組成年級籃球隊 共需10名隊員 每個班至少要出一名 則不同的組成方式共有多少種 解設(shè)7個班出的隊員數(shù)分別為x1 x2 x7 則x1 x2 x7 10 即相當(dāng)于在10個小方塊之間的9個空檔中插入6塊隔板將其分成7部分 故不同的組成方式為 84種 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 專題三二項式定理的應(yīng)用 1 求含有x3的項 2 求系數(shù)最大的項 分析先根據(jù)條件求出n的值 再求解 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 例9 若 x2 3x 2 5 a0 a1x a2x2 a10 x10 1 求a1 a2 a10 2 求 a0 a2 a4 a6 a8 a10 2 a1 a3 a5 a7 a9 2 解 1 令f x x2 3x 2 5 a0 a1x a2x2 a10 x10 a0 f 0 25 32 a0 a1 a2 a10 f 1 0 故a1 a2 a10 32 2 a0 a2 a4 a6 a8 a10 2 a1 a3 a5 a7 a9 2 a0 a1 a2 a10 a0 a1 a2 a10 f 1 f 1 0 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 反思感悟二項式定理豐富地展示了待定系數(shù)法 構(gòu)造法 特殊值法和逆向思維等中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想和方法 二項式定理的主要應(yīng)用有以下幾個方面 1 求特定項的系數(shù) 根據(jù)二項式定理寫出展開式的通項中的r進行賦值 從而求出特定項的系數(shù) 2 求和 求二項展開式系數(shù)和的基本方法是賦值法 在解決有些數(shù)列求和問題時 要注意將問題轉(zhuǎn)化 為應(yīng)用二項式定理創(chuàng)造條件 3 解不等式或證明恒等式 不等式 專題歸納 高考體驗 專題一 專題二 專題三 跟蹤訓(xùn)練6 x 2 5的展開式中 x2的系數(shù)等于 用數(shù)字作答 解析 通項公式為tr 1 c5 x5 r2r 令5 r 2 得r 3 答案 80 專題歸納 高考體驗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 考點一兩個計數(shù)原理1 2016 課標(biāo) 高考 如圖 小明從街道的e處出發(fā) 先到f處與小紅會合 再一起到位于g處的老年公寓參加志愿者活動 則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為 a 24b 18c 12d 9解析 由題意知 小明從街道的e處出發(fā)到f處的最短路徑有6條 再從f處到g處的最短路徑有3條 則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6 3 18 故選b 答案 b 專題歸納 高考體驗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 考點二排列與組合2 2017 課標(biāo) 高考 安排3名志愿者完成4項工作 每人至少完成1項 每項工作由1人完成 則不同的安排方式共有 a 12種b 18種c 24種d 36種答案 d 專題歸納 高考體驗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 2015 四川高考 用數(shù)字0 1 2 3 4 5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) 其中比40000大的偶數(shù)共有 a 144個b 120個c 96個d 72個答案 b 專題歸納 高考體驗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 2015 廣東高考 某高三畢業(yè)班有40人 同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言 那么全班共寫了條畢業(yè)留言 用數(shù)字作答 解析 該問題是一個排列問題 故共有 40 39 1560條畢業(yè)留言 答案 1560 專題歸納 高考體驗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 c 專題歸納 高考體驗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 2017 課標(biāo) 高考 x y 2x y 5的展開式中x3y3的系數(shù)為 a 80b 40c 40d 80答案 c 專題歸納 高考體驗 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2015 湖北高考 已知 1 x n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等 則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為 a