課時3進位制 問題1 我們常見的數字都是十進制的 但是并不是生活中的每一種數字都是十進制的 比如時間和角度的單位用六十進位制 電子計算機用的是二進制 那么什么是進位制 不同的進位制之間又有什么聯系呢 進位制是人們為了計數和運算的方便而約定的一種記數系統 約定滿二進一 就是二進制 滿十進一 就是十進制 滿十六進一 就是十六進制 等等 滿幾進一 就是幾進制 幾進制的基數就是幾 可使用數字符號的個數稱為基數 基數都是大于1的整數 如二進制可使用的數字有0和1 基數是2 十進制可使用的數字有0 1 2 8 9等十個數字 基數是10 十六進制可使用的數字或符號有0 9等10個數字以及a f等6個字母 規定字母a f對應10 15 十六進制的基數是16 注意 為了區分不同的進位制 常在數字的右下腳標明基數 如111001 2 表示二進制數 34 5 表示5進制數 十進制數一般不標注基數 問題2 十進制數3721中的3表示3個千 7表示7個百 2表示2個十 1表示1個一 從而它可以寫成下面的形式 3721 3 103 7 102 2 101 1 100 想一想二進制數1011 2 可以類似的寫成什么形式 1011 2 1 23 0 22 1 21 1 20 同理 3421 5 3 53 4 52 2 51 1 50 c7a16 16 12 164 7 163 10 162 1 161 6 160 一般地 若k是一個大于1的整數 那么以k為基數的k進制數可以表示為一串數字連寫在一起的形式 anan 1 a1a0 k 0 an k 0 an 1 a1 a0 k 意思是 1 第一個數字an不能等于0 2 每一個數字an an 1 a1 a0都須小于k k進制的數也可以表示成不同位上數字與基數k的冪的乘積之和的形式 即 anan 1 a1a0 k an kn an 1 kn 1 a1 k1 a0 k0 注意這是一個n 1位數 問題3 二進制只用0和1兩個數字 這正好與電路的通和斷兩種狀態相對應 因此計算機內部都使用二進制 計算機在進行數的運算時 先把接受到的數轉化成二進制數進行運算 再把運算結果轉化為十進制數輸出 那么二進制數與十進制數之間是如何轉化的呢 例1 把二進制數110011 2 化為十進制數 分析 先把二進制數寫成不同位上數字與2的冪的乘積之和的形式 再按照十進制數的運算規則計算出結果 解 110011 2 1 25 1 24 0 23 0 22 1 21 1 20 1 32 1 16 1 2 1 51 問題4 你會把三進制數10221 3 化為十進制數嗎 解 10221 3 1 34 0 33 2 32 2 31 1 30 81 18 6 1 106 k進制數轉化為十進制數的方法 先把k進制的數表示成不同位上數字與基數k的冪的乘積之和的形式 即 anan 1 a1a0 k an kn an 1 kn 1 a1 k1 a0 k0 再按照十進制數的運算規則計算出結果 例2 把89化為二進制的數 分析 把89化為二進制的數 需想辦法將89先寫成如下形式 89 an 2n an 1 2n 1 a1 21 a0 20 89 64 16 8 1 1 26 0 25 1 24 1 23 0 22 0 21 1 20 1011001 2 但如果數太大 我們是無法這樣湊出來的 怎么辦 89 44 2 1 44 22 2 0 22 11 2 0 11 5 2 1 5 2 2 1 2 1 2 0 1 0 2 1 89 44 2 1 44 22 2 0 22 11 2 0 11 5 2 1 5 2 2 1 89 44 2 1 22 2 0 2 1 11 2 0 2 0 2 1 5 2 1 2 0 2 0 2 1 2 2 1 2 1 2 0 2 0 2 1 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 0 2 1 1 26 0 25 1 24 1 23 0 22 0 21 1 20 1011001 2 可以用2連續去除89或所得商 一直到商為0為止 然后取余數 除2取余法 2 1 2 0 1 0 2 1 441 例2 把89化為二進制的數 我們可以用下面的除法算式表示除2取余法 220 110 51 21 10 01 把算式中各步所得的余數從下到上排列 得到 89 1011001 2 這種方法也可以推廣為把十進制數化為k進制數的算法 稱為除k取余法 例3 把89化為五進制的數 解 以5作為除數 相應的除法算式為 174 32 03 89 324 5 問題5 你會把三進制數10221 3 化為二進制數嗎 解 第一步 先把三進制數化為十進制數 10221 3 1 34 0 33 2 32 2 31 1 30 81 18 6 1 1