9.5 直線與圓的綜合應(yīng)用一、填空題1.若圓的圓心到直線x-y+a=0的距離為則a的值為_ 解析 圓心為(1,2),利用點到直線的距離公式得化簡得|a-1|=1,解得a=0或a=2. 2直線yx繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30，則所得直線與圓(x2)2y23的位置關(guān)系是_解析由題意可得旋轉(zhuǎn)30后所得直線方程為yx，由圓心到直線距離可知是相切關(guān)系答案相切3若圓(x3)2(y5)2r2上有且只有兩個點到直線4x3y20的距離等于1，則半徑r的取值范圍為_解析由圓心(3，5)到直線的距離d5，可得4r6.答案(4,6)答案2或0 4已知直線axbyc0與圓O：x2y21相交于A，B兩點，且AB，則_.解析由題可知AOB120，所以|cos 120.答案5已知x，y滿足x2y24x6y120，則x2y2最小值為_解析法一點(x，y)在圓(x2)2(y3)21上，故點(x，y)到原點距離的平方即x2y2最小值為(1)2142.法二設(shè)圓的參數(shù)方程為則x2y2144cos 6sin ，所以x2y2的最小值為14142.答案1426若直線yxb與曲線x恰有一個交點，則實數(shù)b的取值范圍是_解析 利用數(shù)形結(jié)合的方法，曲線x表示在y軸右側(cè)的半個單位圓(含邊界)，直線yxb表示斜率為1，在y軸上截距為b的直線，注意到b1時有兩個交點及b時直線與圓相切，所以實數(shù)b的取值范圍是1b1，b.答案 1b1，b7已知曲線C：(x1)2y21，點A(2,0)及點B(3，a)，從點A觀察點B，要使視線不被曲線C擋住，則實數(shù)a的取值范圍是_解析設(shè)過A點的C的切線是yk(x2)，即kxy2k0.由1，得k.當x3時，y5k.答案8設(shè)圓x2y21的一條切線與x軸、y軸分別交于點A、B，則線段AB長度的最小值為_解析 設(shè)切點為D，OAB，則連接OD知ODAB，從而得到AD，BD，所以線段AB，則線段AB長度的最小值為2.答案 29圓C：x2y22x2y20的圓心到直線3x4y140的距離是_解析圓心為(1,1)，它到直線3x4y140的距離d3.答案310如果圓C：(xa)2(ya)218上總存在兩個點到原點的距離為，則實數(shù)a的取值范圍是_解析由題意，圓C上總存在兩個點到原點的距離，即圓C與以O(shè)為圓心，半徑為的圓總有兩個交點，即兩圓相交，所以有|3|CO|3，即2|a|4，解得4a2或2a4.答案(4，2)(2,4)11若直線mxny4和圓O：x2y24沒有公共點，則過點(m，n)的直線與橢圓1的交點個數(shù)為_解析由題意可知，圓心O到直線mxny4的距離大于半徑，即得m2n24，所以點(m，n)在圓O內(nèi)，而圓O是以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓，故點(m，n)在橢圓內(nèi)，因此過點(m，n)的直線與橢圓必有2個交點答案212若過點A(0，1)的直線l與曲線x2(y3)212有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為_解析該直線l的方程為ykx1，即kxy10，則由題意，得d2，即k2，解得k或k.答案13直線l：axby80與圓C：x2y2axby40(a，b為非零實數(shù))的位置關(guān)系是_解析圓的標準方程為224，且40，即a2b216，圓心C到直線axby80的距離dr(r是圓C的半徑，則直線與圓相交)答案相交二、解答題14已知方程x2y22x4ym0.(1)若此方程表示圓，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若(1)中的圓與直線x2y40相交于M，N兩點，且OMON(O為坐標原點)，求實數(shù)m的值；(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程解析(1)原圓的方程可化為(x1)2(y2)25m，所以m5.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x142y1，x242y2，則x1x2168(y1y2)4y1y2.因為OMON，所以x1x2y1y20，所以168(y1y2)5y1y20，由得5y216ym80，所以y1y2，y1y2，代入得m.(3)以MN為直徑的圓的方程為(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0，即x2y2(x1x2)x(y1y2)y0.所以所求圓的方程為x2y2xy0.15如圖，已知圓心坐標為(，1)的圓M與x軸及直線yx分別相切于A、B兩點，另一圓N與圓M外切，且與x軸及直線yx分別相切于C、D兩點(1)求圓M和圓N的方程；(2)過點B作直線MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦的長度解析(1)由于M與BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為M的半徑，則M在BOA的平分線上，同理，N也在BOA的平分線上，即O，M，N三點共線，且OMN為BOA的平分線M的坐標為(，1)，M到x軸的距離為1，即M的半徑為1，則M的方程為(x)2(y1)21，設(shè)N的半徑為r，其與x軸的切點為C，連接MA、NC，由RtOAMRtOCN可知，OMONMANC，即r3，則OC3，故N的方程為(x3)2(y3)29.(2)由對稱性可知，所求的弦長等于點過A的直線MN的平行線被N截得的弦長，此弦的方程是y(x)，即xy0，圓心N到該直線的距離d，則弦長為2.16.已知圓滿足:截y軸所得弦長為2;被x軸分成兩段圓弧,其弧長的比為31;圓心到直線l:x-2y=0的距離為.求該圓的方程. 解析 設(shè)圓的方程為. 令x=0,得. |得, 令y=0,得|=得. 由,得. 又因為圓心(a,b)到直線x-2y=0的距離為得即. 綜上,可得 或 解得 或 于是. 所求圓的方程為或. 17如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成，兩相接點M、N均在直線x5上，圓弧C1的圓心是坐標原點O，半徑為13，圓弧C2過點A(29,0)(1)求圓弧C2的方程；(2)曲線C上是否存在點P，滿足PAPO？若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由；(3)已知直線l：xmy140與曲線C交于E、F兩點，當EF33時，求坐標原點O到直線l的距離解析(1)圓弧C1所在圓的方程為x2y2169.令x5，解得M(5,12)，N(5，12)則線段AM的中垂線的方程為y62(x17)令y0，得圓弧C2所在圓的圓心為O2(14,0)，又圓弧C2所在圓的半徑為r2291415，所以圓弧C2的方程為(x14)2y2225(x5)(2)假設(shè)存在這樣的點P(x，y)，則由PAPO，得x2y22x290.由解得x70(舍)由解得x0(舍)綜上知這樣的點P不存在(3)因為EF2r2，EF2r1，所以E、F兩點分別在兩個圓弧上設(shè)點O到直線l的距離為d.因為直線l恒過圓弧C2所在圓的圓心(14,0)，所以EF15，即18，解得d2.所以點O到直線l的距離為.18如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，A(0,8)，直線yt(0t8)與線段AF1，AF2分別交于點P，Q.(1)當t3時，求以F1，F(xiàn)2為焦點，且過PQ中點的橢圓的標準方程；(2)過點Q作直線QRAF1交F1F2于點R，記PRF1的外接圓為圓C.求證：圓心C在定直線7x4y80上解析 (1)當t3時，PQ中點為(0,3)，所以b3，又橢圓焦點