信 號 與 系 統實驗指導書（Matlab）董海兵湖南工學院電氣與信息工程系二一年三月一日26前 言信號與系統、數字信號處理是電子信息類專業的兩門主要技術基礎課程，是電子信息類專業本科生的必修課程，也是電子信息類專業碩士研究生入學必考課程。該課程的任務在于研究信號與系統理論的基本概念和基本分析方法，使學生初步認識如何建立信號與系統的數學模型，如何經適當的數學分析求解，并對所得結果給予物理解釋，賦予物理意義。該課程的基本理論和方法大量用于計算機信息處理的各個領域，特別是通信、數字語音處理、數字圖像處理、數字信號分析等領域應用更為廣泛。通過實驗，配合信號與系統和數字信號處理課程的教學、加強學生對信號與系統理論的感性認識、提高學生的綜合能力具有重要的意義。長期以來，信號與系統和數字信號處理課程一直采用黑板式的單一教學方式，學生僅依靠做習題來鞏固和理解教學內容，對課程中大量的應用性較強的內容不能實際動手設計、調試、分析，嚴重影響和制約了教學效果。由于黑板式教學，課程中大量的信號分析結果缺乏可視化的直觀表現，學生自己設計系統也不能直觀地得到系統特性的可視化測試結果，學生將大量的時間和精力用于繁雜的手工數學運算，而未真正理解所得結果在信號處理中的實際意義。近年來，計算機多媒體教序手段的運用逐步普及，大量優秀的科學計算和系統仿真軟件不斷涌現，為我們實現計算機輔助教學和學生上機實驗提供了很好的平臺。通過對這些軟件的分析和對比，我們選擇MATLAB語言作為輔助教學工具，借助MATLAB強大的計算能力和圖形表現能力，將信號與系統和數字信號處理中的概念、方法和相應的結果，以圖形的形式直觀地展現給學生，大大的方便學生迅速掌握和理解教學內容。為了使學生能夠較好的使用MATLAB語言完成相應的實驗任務，本指導書中詳細地給出了與信號與系統相關的眾多的MATLAB函數及其用法，同時給出了一些范例程序，說明針對某一具體問題進行編程的方法等。學生們在實驗前，只要認真閱讀、預習實驗的相關內容，并在實驗中，嚴格按照實驗指導書中規定的實驗內容和步驟進行實驗，即可完成相應的實驗報告。信號與系統實驗指導書中設計的實驗項目包括：1、信號與系統的時域分析；2、連續時間信號的頻域分析；3、連續時間LTI系統的頻域分析； 4、通信系統仿真；5、連續時間LTI系統的復頻域分析。所有這些實驗項目和所涉及到的實驗內容基本上覆蓋了信號與系統這門課程的大部分主要內容。和其他課程的實驗指導書有所不同的是，本實驗指導同時兼作實驗報告之用，目的是希望將學生從不是特別必要的實驗報告的文字撰寫中解脫出來，從而將主要精力和時間用到對問題的分析、算法的確定和程序的編寫之中。本實驗指導中所給出的全部范例程序，都在MATLAB6.5上運行，且是正確的。由于時間倉促和編者水平有限，本實驗指導在編寫和編輯的過程中，不可避免地存在錯誤和不當之處，懇請老師和同學們批評指正。 湖南工學院電氣與信息工程系二一年三月一日目 錄實驗一：連續時間信號與系統的時域分析-6一、實驗目的及要求-6二、實驗原理-61、信號的時域表示方法-62、用MATLAB仿真連續時間信號和離散時間信號-73、LTI系統的時域描述-11三、實驗步驟及內容-15四、實驗報告要求-26實驗二：連續時間信號的頻域分析-27一、實驗目的及要求-27二、實驗原理-271、連續時間周期信號的傅里葉級數CTFS-272、連續時間信號的傅里葉變換CTFT-283、離散時間信號的傅里葉變換DTFT -284、連續時間周期信號的傅里葉級數CTFS的MATLAB實現-295、用MATLAB實現CTFT及其逆變換的計算-33三、實驗步驟及內容-34四、實驗報告要求-48實驗三：連續時間LTI系統的頻域分析-49一、實驗目的及要求-49二、實驗原理-491、連續時間LTI系統的頻率響應-492、LTI系統的群延時-503、用MATLAB計算系統的頻率響應-50三、實驗步驟及內容-51四、實驗報告要求-58實驗四：通信系統仿真-59一、實驗目的及要求-59二、實驗原理-591、信號的抽樣及抽樣定理-592、信號抽樣過程中的頻譜混疊-623、信號重建- -624、調制與解調-645、通信系統中的調制與解調仿真-66三、實驗步驟及內容-66四、實驗報告要求-75實驗五：連續時間LTI系統的復頻域分析-76一、實驗目的及要求-76二、實驗原理-761、連續時間LTI系統的復頻域描述-762、系統函數的零極點分布圖-773、拉普拉斯變換與傅里葉變換之間的關系-784、系統函數的零極點分布與系統穩定性和因果性之間的關系-795、系統函數的零極點分布與系統的濾波特性-806、拉普拉斯逆變換的計算-81三、實驗步驟及內容-82四、實驗報告要求-87實驗一 信號與系統的時域分析一、實驗目的1、熟悉和掌握常用的用于信號與系統時域仿真分析的MATLAB函數；2、掌握連續時間和離散時間信號的MATLAB產生，掌握用周期延拓的方法將一個非周期信號進行周期信號延拓形成一個周期信號的MATLAB編程；3、牢固掌握系統的單位沖激響應的概念，掌握LTI系統的卷積表達式及其物理意義，掌握卷積的計算方法、卷積的基本性質；4、掌握利用MATLAB計算卷積的編程方法，并利用所編寫的MATLAB程序驗證卷積的常用基本性質；掌握MATLAB描述LTI系統的常用方法及有關函數，并學會利用MATLAB求解LTI系統響應，繪制相應曲線?；疽螅赫莆沼肕ATLAB描述連續時間信號和離散時間信號的方法，能夠編寫MATLAB程序，實現各種信號的時域變換和運算，并且以圖形的方式再現各種信號的波形。掌握線性時不變連續系統的時域數學模型用MATLAB描述的方法，掌握卷積運算、線性常系數微分方程的求解編程。二、實驗原理信號（Signal）一般都是隨某一個或某幾個獨立變量的變化而變化的，例如，溫度、壓力、聲音，還有股票市場的日收盤指數等，這些信號都是隨時間的變化而變化的，還有一些信號，例如在研究地球結構時，地下某處的密度就是隨著海拔高度的變化而變化的。一幅圖片中的每一個象素點的位置取決于兩個坐標軸，即橫軸和縱軸，因此，圖像信號具有兩個或兩個以上的獨立變量。 在信號與系統課程中，我們只關注這種只有一個獨立變量（Independent variable）的信號，并且把這個獨立變量統稱為時間變量（Time variable），不管這個獨立變量是否是時間變量。 在自然界中，大多數信號的時間變量都是連續變化的，因此這種信號被稱為連續時間信號（Continuous-Time Signals）或模擬信號（Analog Signals），例如前面提到的溫度、壓力和聲音信號就是連續時間信號的例子。但是，還有一些信號的獨立時間變量是離散變化的，這種信號稱為離散時間信號。前面提到的股票市場的日收盤指數，由于相鄰兩個交易日的日收盤指數相隔24小時，這意味著日收盤指數的時間變量是不連續的，因此日收盤指數是離散時間信號。 而系統則用于對信號進行運算或處理，或者從信號中提取有用的信息，或者濾出信號中某些無用的成分，如濾波，從而產生人們所希望的新的信號。系統通常是由若干部件或單元組成的一個整體（Entity）。系統可分為很多不同的類型，例如，根據系統所處理的信號的不同，系統可分為連續時間系統（Continuous-time system）和離散時間系統（Discrete-time system），根據系統所具有的不同性質，系統又可分為因果系統（Causal system）和非因果系統（Noncausal system）、穩定系統（Stable system）和不穩定系統（Unstable system）、線性系統（Linear system）和非線性系統（Nonlinear system）、時變系統（Time-variant system）和時不變系統（Time-invariant system）等等。 然而，在信號與系統和數字信號處理中，我們所分析的系統只是所謂的線性時不變系統，這種系統同時滿足兩個重要的基本性質，那就是線性性和時不變性，通常稱為線性時不變（LTI）系統。1. 信號的時域表示方法1.1將信號表示成獨立時間變量的函數例如 x(t)=sin(t) 和 xn=n(0.5)nun分別表示一個連續時間信號和一個離散時間信號。在MATLAB中有許多內部函數，可以直接完成信號的這種表達，例如：sin()：正弦信號cos()：余弦信號exp()：指數信號1.2用信號的波形圖來描述信號用函數曲線表示一個信號，圖1.1就是一個連續時間信號和一個離散時間信號的波形圖。圖1.1 連續時間信號與離散時間信號的波形圖1.3將信號用一個數據序列來表示對于離散時間信號，還可以表示成一個數的序列，例如： xn=., 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3, . n=0 在信號與系統和數字信號處理課程中，上述三種信號的描述方法是經常要使用的。2 用MATLAB仿真連續時間信號和離散時間信號 在MATLAB中，無論是連續時間信號還是離散時間信號，MATLAB都是用一個數字序列來表示信號，這個數字序列在MATLAB中叫做向量(vector)。通常的情況下，需要與時間變量相對應。 如前所述，MATLAB有很多內部數學函數可以用來產生這樣的數字序列，例如sin()、cos()、exp()等函數可以直接產生一個按照正弦、余弦或指數規律變化的數字序列。2.1連續時間信號的仿真程序Program1_1是用MATLAB對一個正弦信號進行仿真的程序，請仔細閱讀該程序，并在計算機上運行，觀察所得圖形。% Program1_1% This program is used to generate a sinusoidal signal and draw its plotclear, % Clear all variablesclose all, % Close all figure windowsdt = 0.01; % Specify the step of time variablet = -2:dt:2; % Specify the interval of timex = sin(2*pi*t); % Generate the signalplot(t,x) % Open a figure window and draw the plot of x(t)title(Sinusoidal signal x(t)xlabel(Time t (sec)常用的圖形控制函數axis(xmin,xmax,ymin,ymax)：圖型顯示區域控制函數，其中xmin為橫軸的顯示起點，xmax為橫軸的顯示終點，ymin為縱軸的顯示起點，ymax為縱軸的顯示終點。有時，為了使圖形具有可讀性，需要在所繪制的圖形中，加上一些網格線來反映信號的幅度大小。MATLAB中的grid on/grid off可以實現在你的圖形中加網格線。grid on：在圖形中加網格線。grid off：取消圖形中的網格線。x = input(Type in signal x(t) in closed form:)在信號與系統課程中，單位階躍信號u(t) 和單位沖激信號(t) 是二個非常有用的信號。它們的定義如下 1.1(a) 1.1(b)這里分別給出相應的簡單的產生單位沖激信號和單位階躍信號的擴展函數。產生單位沖激信號的擴展函數為：function y = delta(t)dt = 0.01;y = (u(t)-u(t-dt)/dt;產生單位階躍信號的擴展函數為：% Unit step functionfunction y = u(t)y = (t=0); % y = 1 for t 0, else y = 0 請將這二個MATLAB函數分別以delta 和u為文件名保存在work文件夾中，以后，就可以像教材中的方法使用單位沖激信號(t) 和單位階躍信號u(t)。2.2離散時間信號的仿真程序Program1_2用來產生離散時間信號xn=sin(0.2n)。% Program1_2% This program is used to generate a discrete-time sinusoidal signal and draw its plotclear, % Clear all variablesclose all, % Close all figure windowsn = -10:10; % Specify the interval of timex = sin(0.2*pi*n); % Generate the signalstem (n,x) % Open a figure window and draw the plot of xntitle (Sinusoidal signal xn)xlabel (Time index n) 請仔細閱讀該程序，比較程序Program1_1和Program1_2中的不同之處，以便自己編程時能夠正確使用這種方法方針連續時間信號和離散時間信號。 程序Program1_3用來仿真下面形式的離散時間信號： xn=., 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3, . n=0% Program1_3% This program is used to generate a discrete-time sequence% and draw its plotclear, % Clear all variablesclose all, % Close all figure windowsn = -5:5; % Specify the interval of time, the number of points of n is 11.x = 0, 0, 0, 0, 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3, 0, 0; % Generate the signalstem(n,x,.) % Open a figure window and draw the plot of xngrid on,title (A discrete-time sequence xn)xlabel (Time index n) 由于在程序的stem(n,x,.) 語句中加有.選項，因此繪制的圖形中每根棒條線的頂端是一個實心點。 如果需要在序列的前后補較多的零的話，可以利用函數zeros()，其語法為： zeros(1, N)：圓括號中的1和N表示該函數將產生一個一行N列的矩陣，矩陣中的所有元素均為零。利用這個矩陣與序列xn進行組合，從而得到一個長度與n相等的向量。 例如，當 xn= 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3 時，為了得到程序Program1_3中的序列， n=0可以用這個MATLAB語句x = zeros(1,4) x zeros(1, 2) 來實現。用這種方法編寫的程序如下：% Program1_4% This program is used to generate a discrete-time sinusoidal signal% and draw its plotclear, % Clear all variablesclose all, % Close all figure windowsn = -5:5; % Specify the interval of timex = zeros(1,4), 0.1, 1.1, -1.2, 0, 1.3, zeros(1,2); % Generate the sequencestem (n,x,.) % Open a figure window and draw the plot of xngrid on,title (A discrete-time sequence xn)xlabel (Time index n) 離散時間單位階躍信號un定義為 1.2離散時間單位階躍信號un除了也可以直接用前面給出的擴展函數來產生，還可以利用MATLAB內部函數ones(1,N) 來實現。這個函數類似于zeros(1,N)，所不同的是它產生的矩陣的所有元素都為1。 值得注意的是，利用ones(1,N) 來實現的單位階躍序列并不是真正的單位階躍序列，而是一個長度為N單位門(Gate)序列，也就是un-un-N。但是在一個有限的圖形窗口中，我們看到的還是一個單位階躍序列。 在繪制信號的波形圖時，有時我們需要將若干個圖形繪制在圖一個圖形窗口中，這就需要使用MATLAB的圖形分割函數subplot()，其用法是在繪圖函數stem或plot之前，使用圖形分割函數subplot(n1,n2,n3)，其中的參數n1，n2和n3的含義是，該函數將把一個圖形窗口分割成n1xn2個子圖，即將繪制的圖形將繪制在第n3個子圖中。2.3信號的時域變換2.3.1 信號的時移 信號的時移可用下面的數學表達式來描述： 設一個連續時間信號為x(t)，它的時移y(t) 表示為： y(t) = x(t - t0) 1.3其中，t0為位移量。若t0為正數，則y(t)等于將x(t)右移t0秒之后的結果。反之，若t0為負數，則y(t)等于將x(t)左移t0秒之后的結果。 在MATLAB中，時移運算與數學上習慣表達方法完全相同。 程序Program1_5對給定一個連續時間信號x(t) = e-0.5tu(t)，對它分別左移2秒鐘和右移2秒鐘得到信號x1(t) = e-0.5(t+2)u(t+2)和x2(t) = e-0.5(t-2)u(t-2)。% Program1_5% This program is used to implement the time-shift operation% on a continuous-time signal and to obtain its time-shifted versions% and to draw their plots.clear,close all,t = -5:0.01:5;x = exp(-0.5*t).*u(t); % Generate the original signal x(t)x1 = exp(-0.5*(t+2).*u(t+2); % Shift x(t) to the left by 2 second to get x1(t)x2 = exp(-0.5*(t-2).*u(t-2); % Shift x(t) to the right by 2 second to get x2(t)subplot(311)plot(t,x) % Plot x(t)grid on,title (Original signal x(t)subplot (312)plot (t,x1) % Plot x1(t)grid on,title (Left shifted version of x(t)subplot (313)plot (t,x2) % Plot x2(t)grid on,title (Right shifted version of x(t)xlabel (Time t (sec)2.3.2 信號的時域反褶 對一個信號xn的反褶運算在數學上表示為 yn = x-n 1.4 這種反褶運算，用MATLAB實現起來也是非常簡單的。有多種方法可以實現信號的反褶運算。方法一，修改繪圖函數plot(t,x)和stem(n,x)中的時間變量t和n，即用-t和-n替代原來的t和n，這樣繪制出來的圖形，看起來就是原信號經時域反褶后的版本。方法二，直接利用原信號與其反褶信號的數學關系式來實現。這種方法最符合信號反褶運算的實際意義。方法三，使用MATLAB內部函數fliplr()來實現信號的反褶運算。其用法如下： y = fliplr(x)：其中x為原信號x(t)或xn，而y則為x的時域反褶。需要說明的是，函數fliplr()對信號作時域反褶，僅僅將信號中各個元素的次序作了一個反轉，這種反轉處理是獨立于時間變量t和n的。因此，如果信號與其時間變量能夠用一個數學函數來表達的話，那么建議將時間變量t和n的范圍指定在一個正負對稱的時間區間即可。2.3.3 信號的時域尺度變換 信號x(t)的時域尺度變換在數學描述為y(t) = x(at)， 1.5其中a為任意常數。根據a的不同取值，這種時域尺度變換對信號x(t)具有非常不同的影響。 當a = 1時，y(t) = x(t)； 當a = -1時，y(t) = x(-t)，即y(t)可以通過將x(t)反褶運算而得到； 當a 1時，y(t) = x(at)，y(t)是將x(t)在時間軸上的壓縮而得到； 當0 a 1時，y(t) = x(at)，y(t)是將x(t)在時間軸上的擴展而得到； 當 -1 a 0時，y(t) = x(at)，y(t)是將x(t)在時間軸上的擴展同時翻轉而得到； 當 a 0 時圖形右移，t 0時圖形左移。4. 計算兩個信號重疊部分的乘積x()h(t-)；5. 完成相乘后圖形的積分。對于兩個時限信號（Time-limited signal），按照上述的五個步驟，作卷積積分運算時，關鍵是正確確定不同情況下的積分限。只要正確地確定了積分限都能得到正確定積分結果。盡管如此，在時域中計算卷積積分，總體上來說是一項比較困難的工作。借助MATLAB的內部函數conv()可以很容易地完成兩個信號的卷積積分運算。其語法為：y = dt*conv(x,h)。其中x和h分別是兩個作卷積運算的信號，y為卷積結果。對于定義在不同時間段的兩個時限信號x(t)，t0 t t1，和h(t)，t2 t t3。 如果用y(t)來表示它們的卷積結果，則y(t)的持續時間范圍要比x(t)或h(t)要長，其時間范圍為t0+t2 t t1+t3。這個特點很重要，利用這個特點，在處理信號在時間上的位置時，可以很容易地將信號的函數值與時間軸的位置和長度關系保持一致性。根據給定的兩個連續時間信號x(t) = tu(t)-u(t-1)和h(t) = u(t)-u(t-1)，編寫程序，完成這兩個信號的卷積運算，并繪制它們的波形圖。范例程序如下：% Program1_6% This program computes the convolution of two continuou-time signalsclear;close all;t0 = -2; t1 = 4; dt = 0.01;t = t0:dt:t1;x = u(t)-u(t-1);h = t.*(u(t)-u(t-1);y = dt*conv(x,h); % Compute the convolution of x(t) and h(t)subplot(221)plot(t,x), grid on, title(Signal x(t), axis(t0,t1,-0.2,1.2)subplot(222)plot(t,h), grid on, title(Signal h(t), axis(t0,t1,-0.2,1.2)subplot(212)t = 2*t0:dt:2*t1; % Again specify the time range to be suitable to the % convolution of x and h.plot(t,y), grid on, title(The convolution of x(t) and h(t), axis(2*t0,2*t1,-0.1,0.6), xlabel(Time t sec)在有些時候，做卷積和運算的兩個序列中，可能有一個序列或者兩個序列都非常長，甚至是無限長，MATLAB處理這樣的序列時，總是把它看作是一個有限長序列，具體長度由編程者確定。實際上，在信號與系統分析中所遇到的無限長序列，通常都是滿足絕對可和或絕對可積條件的信號。因此，對信號采取這種截短處理盡管存在誤差，但是通過選擇合理的信號長度，這種誤差是能夠減小到可以接受的程度的。若這樣的一個無限長序列可以用一個數學表達式表示的話，那么，它的長度可以由編程者通過指定時間變量n的范圍來確定。例如，對于一個單邊實指數序列xn = 0.5nun，通過指定n的范圍為0 n 100，則對應的xn的長度為101點，雖然指定更寬的n的范圍，xn將與實際情況更相符合，但是，注意到，當n大于某一數時，xn之值已經非常接近于0了。對于序列xn = 0.5nun，當n = 7時，x7 = 0.0078，這已經是非常小了。所以，對于這個單邊實指數序列，指定更長的n的范圍是沒有必要的。當然，不同的無限長序列具有不同的特殊性，在指定n的范圍時，只要能夠反映序列的主要特征就可以了。3.4 用線性常系數微分方程描述LTI系統線性常系數微分方程或差分方程是描述LTI系統的另一個時域模型。一個連續時間LTI系統，它的輸入信號x(t)輸出信號y(t)關系可以用下面的微分方程來表達 1.12式1.12中，max (N, M)定義為系統的階。式1.12描述了LTI系統輸入信號和輸出信號的一種隱性關系（Implicit relationship）。為了求得系統響應信號的顯式表達式（Explicit expression），必須對微分方程和差分方程求解。 在MATLAB中，一個LTI系統也可以用系統微分方程的系數來描述，例如，一個LTI連續時間系統的微分方程為 MATLAB則用兩個系數向量num = 1和den = 1 3 2來描述該系統，其中num和den分別表示系統微分方程右邊和左邊的系數，按照微分運算的降階排列。MATLAB的內部函數impulse()，step()，initial()，lsim() 可以用來計算并繪制連續時間LTI系統的單位沖激響應，單位階躍響應，零輸入響應和任意信號作用于系統的零狀態響應。這些函數的用法描述如下：h= impulse(num, den, T) 和 impulse(num, den, T)s = step(num, den, T) 和 step(num, den, T)y = lsim(num, den, x, t) 和 lsim (num, den, x, t)函數impulse()，step()用來計算由num和den表示的LTI系統的單位沖激響應和單位階躍響應，響應的時間范圍為0T，其中den和num分別為系統微分方程左右兩邊的系數向量，T為指定的響應的終點時間。h和s的點數默認值為101點。由此可以計算時間步長為dt = T/(101-1)。不帶返回值的函數如impulse(num, den, T)和step(num, den, T)將直接在屏幕上繪制系統的單位沖激響和單位階躍響應曲線。帶返回值的函數如y = lsim(num, den, x, t)和y = lsim(num, den, x, t)，用來計算由num和den表示的LTI系統在輸入信號x作用下的零狀態響應。其中t為指定的時間變化范圍，x為輸入信號，它們的長度應該是相同的。如帶返回參數y，則將計算的響應信號保存在y中，若不帶返回參數y，則直接在屏幕上繪制輸入信號x和響應信號y的波形圖。例如，編寫程序，計算并繪制由下面的微分方程表示的系統的單位沖激響應h(t)，單位階躍響應s(t)。 MATL