XXXX教育學科教師輔導講義講義編號 學員編號： 年 級：高三 課時數： 學員姓名： 輔導科目：數學 學科教師： 學科組長簽名及日期學員家長簽名及日期課 題排列組合授課時間： 備課時間： 教學目標排列組合的綜合運用重點、難點分清排列組合，綜合運用考點及考試要求排列、組合是每年高考必定考查的內容之一，縱觀全國高考數學題，每年都有12道排列組合題，考查排列組合的基礎知識、思維能力 教學過程：一、知識要點1 排列與組合的應用題，是高考常見題型，其中主要考查有附加條件的應用問題 解決這類問題通常有三種途徑 (1)以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素 (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置 (3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列數或組合數 前兩種方式叫直接解法，后一種方式叫間接(剔除)解法 2 在求解排列與組合應用問題時，應注意 (1)把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題；(2)通過分析確定運用分類計數原理還是分步計數原理；(3)分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；(4)列出式子計算和作答 3 解排列與組合應用題常用的方法有 直接計算法與間接(剔除)計算法；分類法與分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆綁法等八種 4 經常運用的數學思想是 分類討論思想；轉化思想；對稱思想 二、例題選講一相鄰問題捆綁法： 題目中規定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與排列. 【例1】五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數有 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 二相離問題插空法 ：元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數是 【例2】 書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的順序，有 種不同的插法（具體數字作答）【例2】 高三（一）班學要安排畢業晚會的4各音樂節目，2個舞蹈節目和1個曲藝節目的演出順序，要求兩個舞蹈節目不連排，則不同排法的種數是 【例3】 某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進行。那么安排這6項工程的不同排法種數是 【例5】某市春節晚會原定10個節目，導演最后決定添加3個與“抗冰救災”有關的節目，但是賑災節目不排在第一個也不排在最后一個，并且已經排好的10個節目的相對順序不變，則該晚會的節目單的編排總數為 種.【例6】.馬路上有編號為1，2，3，9九只路燈，現要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的二盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？【7】 3個人坐在一排8個椅子上，若每個人左右兩邊都有空位，則坐法的種數有多少種？【例8】 停車場劃出一排12個停車位置，今有8輛車需要停放.要求空車位置連在一起，不同的停車方法有多少種？三元素分析法（位置分析法）：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。【例1】 2010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 （ ）A. 36種 B. 12種 C. 18種 D. 48種【例2】 1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？【例3】 有七名學生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種？四多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結為一排考慮，再分段處理。【例1】（1） 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數是（ ）A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法種數為（A）（B） （C）（D） （3）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？五定序問題縮倍法（等幾率法）：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數的方法.【例1】.五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數是（ ）【例2】 書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的順序，有多少種不同的插法？【例3】將A、B、C、D、E、F這6個字母排成一排，若A、B、C必須按A在前，B居中，C在后的原則（A、B、C允許不相鄰），有多少種不同的排法？ 六標號排位問題（不配對問題） 把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續下去，依次即可完成.【例1】 將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有（ ）A、6種 B、9種 C、11種 D、23種【例2】 編號為1、2、3、4、5的五個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個的編號與座位號一致的坐法是（ ） A 10種 B 20種 C 30種 D 60種 【例3】：同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式共有( ) （A）6種（B）9種（C）11種（D）23種 【例4】：五個人排成一列，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上，那么不同的站隊方式共有( )（A）60種（B）44種（C）36種（D）24種 七不同元素的分配問題（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？分成1本、2本、3本三組；分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；分成每組都是2本的三個組；分給甲、乙、丙三人，每個人2本；分給5人每人至少1本。【解析】 ：（1） （2） （3） （4） （5）【例2】將4名大學生分配到3個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，則不同的分配方案有 種（用數字作答）【例3】 5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有 （A）150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種 【例4】 將9個（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數為（ ） A70B140C280D840 【例5】 將5名實習教師分配到高一年級的個班實習，每班至少名，最多名，則不同的分配方案有（ ）（A）種（B）種 （C）種（D）種【例6】 某外商計劃在四個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有（ ）種 A16種 B36種 C42種 D60種【例7】（1）5本不同的書，全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為（ ）A、480種 B、240種 C、120種 D、96種 （2）12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案有多少種？【例8】 有甲乙丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需一人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法種數是（ ） A、1260種 B、2025種 C、2520種 D、5040種【例9】.某高校從某系的10名優秀畢業生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經濟開發建設，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？高考資源網 【例10】 四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？八排數問題（注意數字“0”）【例1】（1）由數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的共有（ ）A、210種 B、300種 C、464種 D、600種（2）從1，2，3，100這100個數中任取兩個數，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？九染色問題：涂色問題的常用方法有：（1）可根據共用了多少種顏色分類討論;（2）根據相對區域是否同色分類討論;（3）將空間問題平面化，轉化成平面區域涂色問題。【例1】 將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數是_. 規律小結 涂色問題的常用方法有：（1）可根據共用了多少種顏色分類討論;（2）根據相對區域是否同色分類討論;（3）將空間問題平面化，轉化成平面區域涂色問題。十“至多”“至少”問題用間接法或分類:十 幾何中的排列組合問題:【例1】 已知直線（是非零常數）與圓有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數，那么這樣的直線共有 條 學生鞏固練習 一、優先考慮： 對有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考慮其它的元素或其它的位置。例1（1）由0、1、2、3、4、可以組成 個無重復數字的三位數。（2） 由1、2、3、4、5組成沒有重復數字的五位數，其中小于50000的偶數共有 個。（3） 5個人排成一排，其中甲不排在兩端也不和乙相鄰排列的排列共有 種。二、“捆”在一起：有要求元素相鄰（即連排）的排列問題，可以先將相鄰的元素看作一個“整體”與其它元素排列，然后“整體”內部再進行排列。例2（1） 有3位老師、4名學生排成一排照相，其中老師必須在一起的排法共有 種。（2） 有2位老師和6名學生排成一排，使兩位老師之間有三名學生，這樣的排法共有 種。三、插空檔：有要求元素不相鄰（即間隔排）的排列問題，可以制造空檔插空。例3（1）五種不同的收音機和四種不同的電視機陳列一排，任兩臺電視機不靠在一起，有 種陳列方法。（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相間的排法有 種。四、減去特殊情況（即逆向思考）：先算暫時不考慮限制條件的排列或組合種數，然后再從中減去所有不符合條件的排列或組合數。例4（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有 個。（2） 由0、1、2、3、4、可以組成 個無重復數字的三位數。（3）集合有8個元素，集合有7個元素，有4個元素，集合有3個元素且滿足下列條件：的集合有幾個。（4）從6名短跑運動員中選4人參加4100米的接力賽，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少種參賽方案？五、先組后排：排列、組合綜合題，通常都是先考慮組合后考慮排列。例5（1）用1、2、3、9這九個數字，能組成由3個奇數數字、2個偶數數字的不重復的五位數有 個。（2）有8本不同的書，從中取出6本，獎給5位數學優勝者，規定第一名（僅一人）得2本，其它每人一本，則共有 種不同的獎法。（3）有五項工作，四個人來完成且每人至少做一項，共有 種分配方法。六、除以排列數：對某些元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制排列后，再除去規定順序元素個數的全排列。例6（1）有4名學生和3位老師排成一排照相，規定兩端不排老師且老師順序固定不變，那么不同的排法有 種。（2）由0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字，十位數字小于百位數字，則這樣的數共有 個。（3）書架上放有5本書（15冊），現在要再插入3本書，保持原有的相對順序不變，有 種放法。七、對象互調：有些排列或組合題直接就題論題很難入手，但換個角度去考慮便順利求得結果又易理解。例7（1）一部電影在四個單位輪放，每單位放映一場，可以有 種放映次序。（2）一排有8個座位，3人去坐，要求每人左右兩邊都有空位的坐法有 種。（3）有6個座位3人去坐，要求恰好有兩個空位相連的不同坐法有 種。八、分情況研究：分情況研究（即分類計算）復雜的排列、組合綜合題，常常通過畫簡圖、按元素的性質“分類”；按事件發生的連續過程“分步”等方法。分情況研究求得結果，尤其對含數字“0”的排列，常分“有0”及“無0”兩種情況研究，在“有0”時，排列的“首位”又是“特殊”位置要優先考慮。例8（1）從編號為了1、2、3 9的九個球中任取4個球，使它們的編號之和為奇數，再把這四個球排成一排，共有多少種不同的排法？（2）用0、1、2、39這十個數字組成五位數，其中含有三個奇數字與兩個偶數字的五位數有多少個？（3）用0、1、2、3、4五個數字組成的無重復的五位數中，若按從小到大的順序排列23140是第幾個數？排 列 與 組 合 (思考方法18訓練)一優先考慮1現有6名同學站成一排：（1）甲不站排頭也不站排尾有多少種不同的排法？（2）甲不站排頭，且乙不站排尾有多少種不同的排法？2用，5組成無重復數字的5位數，共可以組成多少個？ 二插空3有6名同學站成一排：甲、乙、丙不相鄰有多少種不同的排法？4有4男4女排成一排，要求（1）女的互不相鄰有 種排法；（2）男女相間有 種排法。三捆在一起5由1、2、3、4、5組成一個無重復數字的5位數，其中2、3必須排在一起，4、5不能排在一起， 則不同的5位數共有_個。6有2位老師和6名學生排成一排，使兩位老師之間有三名學生，這樣的排法共有 種。四逆向思考7某小組有6名同學，現從中選出3人去參觀展覽，至少有1名女生入選時的不同選法有16種，則小組中的女生數為_。86名同學站成一排乙不站排尾有多少種不同的排法？五先組后排9有4名學生參加3相不同的小組活動，每組至少一人，有 種參加方式。10從兩個集合和中各取兩個元素組成一個四位數，可組成 個數。六除以排列數11書架上放有6本書，現在要再插入3本書，保持原有的相對順序不變，有 種放法。129人（個子長短不同）排隊照相，要求中間的最高，兩旁依次從高到矮共有種 排法。 七對象互調：13某人射擊8槍命中4槍，這4槍中恰有3槍連在一起的不同種數是 。14三個人坐在一排7個座位上，（1）若3個人中間沒有空位，有 種坐法。（2）若4個空位中恰有3個空位連在一起，有 種坐法。八分情況（即分類）15用組成無重復數字的5位數，若按從小到大的順序排列，則數12340是第_個數。16某車間有8名會車工或鉗工的工人，其中6人會車工，5人會鉗工，現從這些工人中選出 2人分別干車工和鉗工，問不同的選法有多少種？九和、整除、倍數、約數問題。例9和：（1）用0、1、2、3、4、5、6這七個數字可以組成多少個沒有重復數字的三位數？這些三位數的和是多少？整除：（2）用0、1、2、3、4、5組成無重復數字的五位數，其中、能被5整除的數有多少個？、能被3整除的數有多少個？、能被6整除的數有多少個？倍數：（3）在1、2、3 100這100個自然數中，每次取不等的兩數相乘，使它們的積是7的倍數，這樣的取法共有多少種？（取7,11與取11,7認為是同一種取法）（4）在1、2、3 30這三十個數中，每取兩兩不等的三個數，使它們的和是3的倍數，共有多少種不同的取法？約數：（5）數2160共有多少個正約數（包括1和本身在內）？其中共有多少個正的偶約數？十、分配、分組問題：解題時要注意“均勻”與“非均勻”的區別、分配與分組（分堆）的區別。例10（1）將12本不同的書、分給甲、乙、丙三人，每人各得4本有 種分法。、平均分成三堆，有 種分法。（2）7本不同的書、全部分給6個人，每人至少一本，共有 種不同的分法。、全部分給5個人，每人至少一本，共有 種不同的分法。（3）六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問各有多少種分法？a、甲一本、乙二本、丙三本；有 種分法。b、一人一本、一人二本、一人三本；有 種分法。c、甲一本、乙一本、丙四本；有 種分法。d、一人一本、一人一本、一人四本；有 種分法。排 列 與 組 合 (思考方法全訓練)一八 ：15名男生和2名女生站成一列，男生甲必須站在正中間，2名女生必須站在甲前面，不同的站法共有 種(用數字作答)。2翰林39. 398人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有2人相鄰,但這3人不同時相鄰的排法有_種.3現有6張同排連座號的電影票, 分給3名老師與3名學生, 要求師生相間而坐, 則不同的分法數為_. 4在200件產品中有3件是次品，現在從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 種。5現從某校5名學生干部中選出4人分別參加上海市“資源”、“生態”、和“環保”三個夏令營，要求每個夏令營活動至少有選出的一人參加，且每人只參加一個夏令營活動，則不同的參加方案的種數是_.(寫出具體數字)6將A、B、C、D、E、排成一排，其中按A、B、C順序（即A在B前，C 在B 后）的排列總數為 。 1 2 3 4 57如果從一排10盞燈中關掉3盞燈，那么關掉的是互不相鄰的3盞燈的方法有 。8（1）如圖，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰 地區不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著 色方法共有 種。（以數字作答）（2）同室人各寫了一張賀年卡先集中起來，然后每人從中取回一張別人送出的賀卡，這張賀年卡不同的分配方式有_種。九和、整除、倍數、約數問題17(1) 由2、3、4、5組成無重復數字的四位數，求：這些數的數字之和；這些數的和。 （2）由0、2、5、7、9這5個數字可組成多少個無重復數字且能被3整除的四位數？18（1）在1、2、3、4 、50這50個自然數中，每次取出2個（無論先后），使他們的積是13的倍數，這樣的取法有多少種？（2） 420共有多少個正約數？ 14175共有多少個正約數？十分配、分組問題：19六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問各有多少種分法？ 甲一本、乙二本、丙三本；有 種分法。 一人一本、一人二本、一人三本；有 種分法。 甲一本、乙一本、丙四本；有 種分法。 一人一本、一人一本、