走進(jìn)數(shù)量關(guān)系 情況簡(jiǎn)介 在公務(wù)員考試中，數(shù)量關(guān)系主要測(cè)查報(bào)考者理解、把握事物間量化關(guān)系和解決數(shù)量關(guān)系問題的技能，主要涉及數(shù)字和數(shù)據(jù)關(guān)系的分析、推理、判斷、運(yùn)算等。只有具備了對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解能力，才能快速、準(zhǔn)確地接受與處理大量的用數(shù)字表達(dá)或與數(shù)字相關(guān)的信息，勝任公務(wù)員工作。 數(shù)量關(guān)系所涉及的知識(shí)一般不超過高中范圍，但由于多數(shù)考生在多年的學(xué)習(xí)和工作中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)沒有持續(xù)地進(jìn)行學(xué)習(xí)，加之試題本身的靈活性以及時(shí)間上的限制，數(shù)量關(guān)系的得分情況并不理想。 考查題型公務(wù)員考試數(shù)量關(guān)系題型分析表題 型數(shù)字推理數(shù)列形式數(shù)字推理、圖形形式數(shù)字推理數(shù)學(xué)運(yùn)算計(jì)算問題、和差倍比問題、行程問題、工程問題、利潤(rùn)問題、幾何問題、排列組合問題、容斥問題、抽屜問題、濃度問題、雞兔同籠問題、牛吃草問題、年齡問題、日期問題、方陣問題等 備考策略 數(shù)量關(guān)系涉及規(guī)律、考點(diǎn)眾多，知識(shí)點(diǎn)繁雜，需要進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練，講究復(fù)習(xí)方法。數(shù)量關(guān)系的備考要遵循循序漸進(jìn)、穩(wěn)步提升的原則。 數(shù)字推理備考策略 (1)夯實(shí)解題基礎(chǔ) 數(shù)字推理的本質(zhì)是對(duì)數(shù)項(xiàng)特征、運(yùn)算關(guān)系、結(jié)構(gòu)特征的考查，只有明白其中的基本內(nèi)容，才能為學(xué)習(xí)數(shù)字推理的解題方法做好準(zhǔn)備。 (2)形成系統(tǒng)方法 要掌握數(shù)字推理的解題方法包括基本的作差法、作商法、作和法、作積法以及更深層次的局部分析法和趨勢(shì)分析法，并能將這些解題方法融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用。 【例題1】 2，6，11，18，29，( ) A.41 B.48C.45 D.59 解析：此題答案為B。三級(jí)等差數(shù)列變式。 2 6 11 18 29 (48) 作差 4 5 7 11 (19) 作差 1 2 4 (8) 公比為2的等比數(shù)列【3】掌握更多規(guī)律 要熟悉常見的基本數(shù)列及其變式，并掌握?qǐng)D形形式數(shù)字推理的解題方法，見多識(shí)廣，開闊思路，實(shí)現(xiàn)數(shù)字推理解題能力的全面升級(jí)。【例題2】-26，-6， 2，4，6，( )A.16 B.12 C.14 D.6解析：此題答案為C。立方數(shù)列變式。-26 -6 2 4 6 (14)(-3)3+l (-2)3+2 (-1)3+3 03+4 13+5 (23+6)底數(shù)是連續(xù)整數(shù)，第二個(gè)加數(shù)是連續(xù)自然數(shù)。【例題3】A.9 B.18 C.28 D.32 解析：此題答案為C。上面兩個(gè)數(shù)字之積下面兩個(gè)數(shù)字之差=中間數(shù)字，(17)(51)=(28)。 (4)實(shí)戰(zhàn)快速提升 要勤于練習(xí)，舉一反三，有意識(shí)地培養(yǎng)數(shù)字直覺和運(yùn)算直覺，這是解決數(shù)字推理的核心所在。 數(shù)學(xué)運(yùn)算備考策略 (1)鞏固基礎(chǔ)知識(shí) 數(shù)學(xué)運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)眾多，需要系統(tǒng)梳理，這是快速解答數(shù)學(xué)運(yùn)算題的基礎(chǔ)。 (2)熟悉基本題型 數(shù)學(xué)運(yùn)算基本題型很多，每一題型都有其對(duì)應(yīng)公式或核心解題思想，考生要全面學(xué)習(xí)，并熟練掌握計(jì)算問題、幾何問題、行程問題、工程問題、利潤(rùn)問題、排列組合問題等常見題型。 【例題1】 一條環(huán)形賽道前半段為上坡，后半段為下坡，上坡和下坡的長(zhǎng)度相等。兩輛車同時(shí)從賽道起點(diǎn)出發(fā)同向行駛，其中A車上下坡時(shí)速相等，而B車上坡時(shí)速比A車慢20%，下坡時(shí)速比A車快20%。問在A車跑到第幾圈時(shí)，兩車再次齊頭并進(jìn)？ A.22 B.23 C.24 D.25 解析：此題答案為D。行程問題。由于題目給出的數(shù)據(jù)較少，可以用特值法，設(shè)環(huán)形賽道上坡和下坡的長(zhǎng)度都為1，A車的速度為l，則B車上坡的速度為（1-0.2）1=0.8、下坡的速度為(1+0.2)1=1.2。由題意可求A車和B車運(yùn)行一周所需要的時(shí)間分別為：A車21=2，B車，則相同路程中A車與B車所用時(shí)間之比為2: =24:25，故速度之比為25:24，所以當(dāng)A車跑到25圈時(shí)，兩車再次齊頭并進(jìn)，此時(shí)A車恰好比B車多走一圈。 (3)提高綜合分析能力 復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算題往往是基本題型的復(fù)合或是將等量關(guān)系隱藏于題干之中，因此要提高綜合分析能力，從而在復(fù)雜問題面前，能夠看到本質(zhì)，挖掘其中深層次的等量關(guān)系。 【例題2】 10個(gè)箱子總重100公斤，且重量排在前三位的箱子總重不超過重量排在后三位的箱子總重的1.5倍。問最重的箱子重量最多是多少公斤？A B C.20 D.25解析：此題答案為B。要使最重的箱子重量盡可能大，則其余箱子重量盡可能小，最極端情況為其余九個(gè)箱子都相等。因此設(shè)排在后九位的箱子的重量均為，可知排在第一位的箱子的重量為1.53-2=2.5。可列方程：9+2.5=100，解之得= ，則最重的箱子的重量為2.5=。 (4)實(shí)戰(zhàn)快速提升 考生需要每天定量做一些相關(guān)的模擬題，模仿本書對(duì)題目的分析，通過解答模擬題來(lái)培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的感覺，這種感覺不僅能夠提高數(shù)掌運(yùn)算的解題速度和正確率，而且對(duì)數(shù)字推理部分也很有幫助。145目 錄走進(jìn)數(shù)量關(guān)系1第一篇 數(shù)學(xué)運(yùn)算考點(diǎn)精講1專項(xiàng)一 數(shù)學(xué)運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)1 考點(diǎn)一 數(shù)的整除1 考點(diǎn)二 奇偶性與質(zhì)合性4 考點(diǎn)三 完全平方數(shù)6 考點(diǎn)四 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)7 考點(diǎn)五 自然數(shù)次方的尾數(shù)變化情況9 考點(diǎn)六 同余與剩余問題9專項(xiàng)二 數(shù)學(xué)運(yùn)算常用解題方法11 考點(diǎn)一 代入排除法11考點(diǎn)二 方程與不等式法12考點(diǎn)三 圖解法16考點(diǎn)四 分合法19考點(diǎn)五 對(duì)立面轉(zhuǎn)化法22考點(diǎn)六 極端法23考點(diǎn)七 十字交叉法25專項(xiàng)三 計(jì)算問題26考點(diǎn)一 算式問題26考點(diǎn)二 定義新運(yùn)算30考點(diǎn)三 數(shù)列問題31考點(diǎn)四 算術(shù)平均數(shù)34專項(xiàng)四 和差倍比問題35考點(diǎn)一 和差倍問題35考點(diǎn)二 比例問題37考點(diǎn)三 連比問題38專項(xiàng)五 行程問題39考點(diǎn)一 簡(jiǎn)單行程問題39考點(diǎn)二 相遇、追及問題41考點(diǎn)三 環(huán)形路線問題44考點(diǎn)四 流水、扶梯問題46考點(diǎn)五 火車問題47考點(diǎn)六 其他行程問題49專項(xiàng)六 工程問題50考點(diǎn)一 工程問題中的三量關(guān)系50考點(diǎn)二 合作完成工程51考點(diǎn)三 輪流工程問題55考點(diǎn)四 進(jìn)水、排水問題57專項(xiàng)七 利潤(rùn)問題58考點(diǎn)一 利潤(rùn)問題中的相關(guān)概念58考點(diǎn)二 分次出售問題61考點(diǎn)三 銷售數(shù)量和價(jià)格反向變化61考點(diǎn)四 多種方式促銷62專項(xiàng)八 幾何問題62考點(diǎn)一 平面幾何問題62考點(diǎn)二 平面解析幾何68考點(diǎn)三 立體幾何問題69考點(diǎn)四 幾何圖形的縮放、拼接及極限理論72專項(xiàng)九 排列組合與概率問題72考點(diǎn)一 加法原理與乘法原理72考點(diǎn)二 排列組合問題73考點(diǎn)三 特殊的排列組合問題模型80考點(diǎn)四 概率問題81專項(xiàng)十 容斥問題84考點(diǎn)一 標(biāo)準(zhǔn)的容斥問題84考點(diǎn)二 文氏圖解容斥問題86專項(xiàng)十一 抽屜問題88考點(diǎn)一 利潤(rùn)抽屜原理解題88考點(diǎn)二 考慮最差（最不利）情況89考點(diǎn)三 構(gòu)造抽屜的三種技巧90專項(xiàng)十二 濃度問題92考點(diǎn)一 溶質(zhì)、溶液、濃度的關(guān)系92考點(diǎn)二 兩種或多種溶液混合93考點(diǎn)三 溶液多次稀釋問題95考點(diǎn)四 等量蒸發(fā)或等量稀釋95專項(xiàng)十三 其他問題96考點(diǎn)一 年齡問題96考點(diǎn)二 時(shí)鐘問題97考點(diǎn)三 日期問題101考點(diǎn)四 方陣問題102考點(diǎn)五 雞兔同籠問題104考點(diǎn)六 盈虧問題105考點(diǎn)七 植樹問題107考點(diǎn)八 牛吃草問題109考點(diǎn)九 空瓶換酒問題111第二篇 數(shù)字推理考點(diǎn)精講112專項(xiàng)一 數(shù)字推理題型簡(jiǎn)介112考點(diǎn)一 數(shù)列形式數(shù)字推理112考點(diǎn)二 圖形形式數(shù)字推理114專項(xiàng)二 數(shù)字推理規(guī)律解讀115考點(diǎn)一 基本數(shù)列簡(jiǎn)介115考點(diǎn)二 等差數(shù)列及其變式116考點(diǎn)三 等比數(shù)列及其變式117考點(diǎn)四 和數(shù)列及其變式118考點(diǎn)五 積數(shù)列及其變式119考點(diǎn)六 多次方數(shù)列及其變化120考點(diǎn)七 分式數(shù)列121考點(diǎn)八 組合數(shù)列121考點(diǎn)九 創(chuàng)新數(shù)列123專項(xiàng)三 數(shù)項(xiàng)特征分析124考點(diǎn)一 整除性分析126考點(diǎn)二 多次方表現(xiàn)形式分析130專項(xiàng)四 運(yùn)算關(guān)系分析132考點(diǎn)一 橫向遞推132考點(diǎn)二 趨勢(shì)分析法134考點(diǎn)三 局部分析法135考點(diǎn)四 逐差構(gòu)造網(wǎng)格136專項(xiàng)五 圖形形式數(shù)字推理137考點(diǎn)一 三角形數(shù)字推理137考點(diǎn)二 圓圈形式數(shù)字推理139考點(diǎn)三 表格形式數(shù)字推理140第一篇 數(shù)學(xué)運(yùn)算考點(diǎn)精講專項(xiàng)一 數(shù)學(xué)運(yùn)算基礎(chǔ)知識(shí)考點(diǎn)一數(shù)的整除1.整除與余數(shù)在整數(shù)的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。對(duì)于正整數(shù)a、b，有以下兩種情況：(1)如果被除數(shù)()除數(shù)()=商()，為整數(shù)，我們就說能被整除，或者說能整除。其中，是的倍數(shù)，是的約數(shù)。(2)如果被除數(shù)()除數(shù)()=商()余數(shù)()，為整數(shù)，為自然數(shù)，我們就說不能被整除。其中，余數(shù)總是小于除數(shù)，即0，那么3-除以5余幾？ A.0 B.1 C.3 D，4 解析：此題答案為D。 除以5余1，則3除以5余3（兩個(gè)數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)的積同余） 除以5余4，則3-除以5余-1（兩個(gè)數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差同余） 因?yàn)橛鄶?shù)大于0而小于除數(shù)，-1+5=4，故所求余數(shù)為4。 專項(xiàng)點(diǎn)睛選取合適的數(shù)代入，取=6，=4，則3-=14,除以5余4。 2.剩余 (1)一般剩余問題在我國(guó)古代算書孫子算經(jīng)中有這樣一個(gè)問題：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”意思是，一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，問這個(gè)數(shù)最小是多少？這類問題在我國(guó)稱為“孫子問題”，也稱為剩余問題。這類問題都可以用逐步滿足法解答。逐步滿足，即先找到滿足一個(gè)條件的最小數(shù)，在此基礎(chǔ)上加上除數(shù)的N（N是自然數(shù)）倍，直至滿足第二個(gè)條件，接著在此基礎(chǔ)上加上前兩個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)，直至滿足第三個(gè)條件。依此類推，找到滿足所有條件的最小數(shù)，再加上其公倍數(shù)，即為滿足條件的所有數(shù)。以上題為例，滿足除以3余2的最小數(shù)是2，則3+2都滿足這一條件。當(dāng)=0時(shí)，3+2=2不滿足除以5余3；當(dāng)=1時(shí)，3+2=5不滿足除以5余3：當(dāng)=2時(shí)，3+2=8滿足除以5余3，又3和5的最小公倍數(shù)是15，則15+8都滿足這兩個(gè)條件。同理，當(dāng)=l對(duì)15+8=23滿足除以7余2，又3、5、7的最小公倍數(shù)是105，所以23是滿足這三個(gè)條件的最小數(shù)，105+23是滿足這三個(gè)條件的所有數(shù)。對(duì)于剩余問題，當(dāng)題干要求的是滿足條件的數(shù)而非其個(gè)數(shù)時(shí)，可使用代人排除法快速解題。【例題2】一個(gè)班學(xué)生分組做游戲，如果每組3人就多2人，每組5人就多3人，每組7人就多4人，問這個(gè)班最少有多少個(gè)學(xué)生？A.38 B41 C.47 D53解析：此題答案為D。此題可轉(zhuǎn)化為求滿足“除以3余2，除以5余3，除以7余4”的數(shù)。由于要求的是滿足條件的數(shù)，可以直接使用代入排除法。從最小的A項(xiàng)開始代入，A項(xiàng)不滿足除以7余4，B、C兩項(xiàng)都不滿足除以5余3，故選D。【例題3】在0-500之間，除以3余2、除以7余4、除以9余5的數(shù)有幾個(gè)？A.6 B.7 C.8 D.9解析：此題答案為C。由于要求的是個(gè)數(shù)，不能使用代入排除法，只能使用逐步滿足法。滿足除以3余2的最小數(shù)是2，則3+2都滿足這一條件，當(dāng)=0時(shí)，3+2=2不滿足除以7余4；當(dāng)=1時(shí)，3+2=5不滿足除以7余4；當(dāng)=3時(shí)，3+2=11滿足除以7余4。又3和7的最小公倍數(shù)是21則21+11都滿足這兩個(gè)條件。同理，再將=0、l、2、代入逐一嘗試，可知當(dāng)=l時(shí)，21+11=32滿足除以9余5。所以滿足所有條件的最小數(shù)是32。又3、7和9的最小公倍數(shù)是63，63+32均滿足條件。由63+32500，所以7，叮取0、l、2、3、4、5、6、7這8個(gè)值，所以一共有8個(gè)數(shù)滿足條件。(2)特殊剩余問題剩余問題中存在三種特殊的問題。 余同【示例】一個(gè)數(shù)除以4余2，除以5余2，除以6余2，這個(gè)數(shù)可表示為？這三個(gè)條件中的余數(shù)相同，2顯然滿足所有條件，因?yàn)?、5、6的最小公倍數(shù)為60，所以該數(shù)可表示為60+2。和同【示例】一個(gè)數(shù)除以4余3，除以5余2，除以6余1，這個(gè)數(shù)可表示為？4+3=5+2-6+1，即除數(shù)與余數(shù)之和相同，7滿足所有條件，所以該數(shù)表示為60+7。差同【示例】一個(gè)數(shù)除以4余1，除以5余2，除以6余3，這個(gè)數(shù)可表示為？ 4-1=5 -2=6-3，即除數(shù)與余數(shù)之差相同，-3滿足所有條件，所以該數(shù)表示為60-3。綜上，余同加余，和同加和，差同減差，最小公倍數(shù)做周期。【例題4】某生產(chǎn)車間有若干名工人，按每四個(gè)人一組分，多一個(gè)人；按每五個(gè)人一組分，也多一個(gè)人；按每六個(gè)人一組分，還是多一個(gè)，該車間至少有多少名工人？（工人數(shù)多于一人）A.31 B.41 C.61 D.122 解析：此題答案為C。題干問題可轉(zhuǎn)化為“一個(gè)數(shù)除以4、5、6都余1”，即余數(shù)相同，又4、5、6的最小公倍數(shù)是60，“根據(jù)余同加余，最仆公倍數(shù)做周期”可知，所求為60+1=61。【例題5】一個(gè)三位數(shù)除以5余3，除以6余2，除以7余1，求這個(gè)最小數(shù)？A.128 B.163 C.218 D.428解析：此題答案為C。5+3=6+2=7+1=8，除數(shù)與余數(shù)之和相同，又5、6、7的最小公倍數(shù)是567=210，根據(jù)“和同加和，最小公倍數(shù)做周期”可知，所求最小數(shù)為210+8=218。【例題6】有一個(gè)自然數(shù)“X”，除以3的余數(shù)是2，除以4的余數(shù)是3，問“X”除以12的余數(shù)是多少？A.1 B5 C9 D.11解析：此