習題課對數函數 第三章基本初等函數 學習目標1 鞏固和深化對于對數及其運算的理解和運用 2 掌握簡單的對數函數的圖象變換及其應用 3 會綜合應用對數函數性質與其他有關知識解決問題 題型探究 知識梳理 內容索引 當堂訓練 知識梳理 知識點一對數概念及其運算 1 當a 0 且a 1時 由指數式對數式互化可得恒等式 ab NlogaN b 2 對數logaN a 0 且a 1 具有下列性質 1 0和負數沒有對數 即N0 2 loga1 3 logaa N 0 1 3 運算公式已知a 0 且a 1 M N 0 1 logaM logaN 2 logaM logaN 3 logaM loga MN 知識點二對數函數及其圖象 性質 函數叫做對數函數 1 對數函數y logax a 0 且a 1 的定義域為 值域為 2 對數函數y logax a 0 且a 1 的圖象過點 3 當a 1時 y logax在 0 上單調遞 當00 且a 1 的圖象交點為 5 y logax與y ax的圖象關于對稱 y logax與y logx的圖象關于對稱 y logax a 0 且a 1 0 1 0 a 1 y x x軸 R 增 減 題型探究 例1 1 計算 log 2 解答 類型一對數式的化簡與求值 解方法一利用對數定義求值 x 1 方法二利用對數的運算性質求解 解答 在對數運算中 先利用冪的運算把底數或真數進行變形 化成分數指數冪的形式 使冪的底數最簡 然后再運用對數運算法則化簡合并 在運算中要注意化同底 指數與對數互化 反思與感悟 lg3 1 lg3 2lg2 1 答案 解析 解析 f ab lg ab 1 f a2 f b2 lga2 lgb2 lg a2b2 2lg ab 2 2 已知函數f x lgx 若f ab 1 則f a2 f b2 答案 解析 2 類型二對數函數圖象的應用 解答 解f x 的圖象如圖 設f a f b f c m 不妨設a b c 則直線y m與f x 交點橫坐標從左到右依次為a b c 由圖象易知0 a 1 b e c e2 f a lna lna f b lnb lnb lna lnb lna lnb 0 lnab ln1 ab 1 abc c e e2 函數的圖象直觀形象地顯示了函數的性質 因此涉及方程解的個數及不等式的解集等問題都可以通過函數的圖象解決 即利用數形結合思想 使問題簡單化 反思與感悟 跟蹤訓練2已知f x logax a 0且a 1 如果對于任意的x 2 都有 f x 1成立 試求a的取值范圍 解答 解 f x logax 則y f x 的圖象如圖 例3已知函數f x loga x 1 a 1 若函數y g x 圖象上任意一點P關于原點對稱的點Q在函數f x 的圖象上 1 寫出函數g x 的解析式 類型三對數函數的綜合應用 解答 解設P x y 為g x 圖象上任意一點 則Q x y 是點P關于原點的對稱點 Q x y 在f x 的圖象上 y loga x 1 即y g x loga 1 x 2 當x 0 1 時總有f x g x m成立 求m的取值范圍 解答 由題意知 只要F x min m即可 F x 在 0 1 上是增函數 F x min F 0 0 故m 0即為所求 跟蹤訓練3已知函數f x 的定義域是 1 1 對于任意的x y 1 1 有f x f y 且當x 0時 f x 0 1 驗證函數g x x 1 1 是否滿足上述這些條件 解答 2 你發現這樣的函數f x 還具有其他什么樣的性質 試將函數的奇偶性 單調性方面的結論寫出來 并加以證明 解答 解發現這樣的函數f x 在 1 1 上是奇函數 因為x y 0代入條件 得f 0 f 0 f 0 所以f 0 0 將y x代入條件得f x f x f 0 0 f x f x 所以函數f x 在 1 1 上是奇函數 又發現這樣的函數f x 在 1 1 上是減函數 即f x f y 0 f x f y 所以函數f x 在 1 1 上是減函數 當堂訓練 1 若logx z 則A y7 xzB y x7zC y 7xzD y z7x 答案 2 3 4 5 1 解析 答案 2 3 4 5 1 解析 logax 0 不合題意 3 已知函數y f 2x 的定義域為 1 1 則函數y f log2x 的定義域為A 1 1 B 2 C 1 2 D 4 答案 2 3 4 5 1 解析 4 函數f x ax loga x 1 在 0 1 上的最大值與最小值之和為a 則a的值為A B C 2D 4 答案 2 3 4 5 1 解析 解析函數f x ax loga x 1 令y1 ax y2 loga x 1 顯然在 0 1 上 y1 ax與y2 loga x 1 同增或同減 因而 f x max f x min f 1 f 0 a loga2 1 0 a 解得a 5 已知a a 0 則loga 答案 解析 2 3 4 5 1 3 規律與方法 1 指數式ab N與對數式logaN b的關系以及這兩種形式的互化是對數運算法則的關鍵 2 指數運算的實質是指數式的積 商 冪的運算 對于指數式的和 差應充分運用恒等變形和乘法公式 對數運算的實質是把積 商 冪的對數轉化為對數的和 差 積 3 注意對數恒等式 對數換底公式及等式在解題中的靈活應用 4 在運用性質logaMn nlogaM時 要特別注意條件 在無M 0的條件下應為logaMn nloga M n N 且n為偶數 5 指數函數y ax a 0 且a 1 與對數函數y logax a