3指數函數 二 第三章指數函數和對數函數 學習目標1 掌握指數函數與其他函數復合所得的函數單調區間的求法及單調性的判斷 2 能借助指數函數性質比較大小 3 會解簡單的指數方程 不等式 4 了解與指數函數相關的函數奇偶性的判斷方法 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 思考 知識點一不同底指數函數圖像的相對位置 y 2x與y 3x都是增函數 都過點 0 1 在同一坐標系內如何確定它們兩個的相對位置 答案 答案經描點觀察 在y軸右側 2x 3x 即y 3x圖像在y 2x上方 經 0 1 點交叉 位置在y軸左側反轉 y 2x在y 3x圖像上方 一般地 在同一坐標系中有多個指數函數圖像時 圖像的相對位置與底數大小有如下關系 梳理 1 在y軸右側 圖像從上到下相應的底數由大變小 在y軸左側 圖像從下到上相應的底數由大變小 即無論在y軸的左側還是右側 底數按逆時針方向變大 這一性質可通過令x 1時 y a去理解 如圖 2 指數函數y ax與y a 0且a 1 的圖像關于y軸對稱 思考 知識點二比較冪的大小 若x1 x2 則a與a a 0且a 1 的大小關系如何 答案 答案當a 1時 y ax在R上為增函數 所以a a 當0 a 1時 y ax在R上為減函數 所以a a x1 x2 x1 x2 x1 x2 梳理 一般地 比較冪大小的方法有 1 對于同底數不同指數的兩個冪的大小 利用指數函數的來判斷 2 對于底數不同指數相同的兩個冪的大小 利用指數函數的的變化規律來判斷 3 對于底數不同指數也不同的兩個冪的大小 則通過來判斷 單調性 圖像 中間值 思考 知識點三解指數方程 不等式 若 則x1 x2的大小關系如何 答案當f x 在區間 m n 上單調遞增 減 時 若x1 x2 m n 則f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 所以 當0 a 1時 x1 x2 當a 1時 x1 x2 此原理可用于解指數方程 不等式 答案 梳理 簡單指數不等式的解法 1 形如af x ag x 的不等式 可借助y ax的求解 2 形如af x b的不等式 可將b化為以a為底數的指數冪的形式 再借助y ax的求解 3 形如ax bx的不等式 可借助兩函數y ax y bx的圖像求解 單調性 單調性 知識點四與指數函數復合的函數單調性 思考 答案 一般地 有形如y af x a 0 且a 1 函數的性質 1 函數y af x 與函數y f x 有的定義域 2 當a 1時 函數y af x 與y f x 具有的單調性 當0 a 1時 函數y af x 與函數y f x 的單調性 相同 梳理 相同 相反 題型探究 例1解下列關于x的方程 解答 類型一解指數方程 32x 4 3 2 x 2 2x 4 2 x 2 x 2 解答 2 22x 2 3 2x 1 0 解 22x 2 3 2x 1 0 4 2x 2 3 2x 1 0 令t 2x t 0 則方程可化為4t2 3t 1 0 1 af x b型通?；癁橥讈斫?2 解指數方程時常用換元法 用換元法時要特別注意 元 的范圍 轉化為解二次方程 用二次方程求解時 要注意二次方程根的取舍 反思與感悟 跟蹤訓練1解下列方程 1 33x 2 81 解答 解 81 34 33x 2 34 3x 2 4 解得x 2 3 52x 6 5x 5 0 解答 解令t 5x 則t 0 原方程可化為t2 6t 5 0 解得t 5或t 1 即5x 5或5x 1 x 1或x 0 命題角度1比較大小例2比較下列各題中兩個值的大小 1 1 7 2 5 1 7 3 類型二指數函數單調性的應用 解答 解 1 7 1 y 1 7x在 上是增函數 2 5 3 1 7 2 5 1 7 3 2 1 70 3 1 50 3 解答 解方法一 1 7 1 5 在 0 上 y 1 7x的圖像位于y 1 5x的圖像的上方 而0 3 0 1 70 3 1 50 3 1 70 3 1 50 3 3 1 70 3 0 83 1 解答 解 1 70 3 1 70 1 0 83 1 0 80 1 1 70 3 0 83 1 當兩個數不能利用同一函數的單調性作比較時 可考慮引入中間量 常用的中間量有0和 1 反思與感悟 跟蹤訓練2比較下列各題中的兩個值的大小 1 0 8 0 1 1 250 2 解答 解 0 0 8 1 y 0 8x在R上是減函數 0 2 0 1 0 8 0 2 0 8 0 1 即0 8 0 1 1 250 2 解答 命題角度2解指數不等式例3解關于x的不等式 a2x 1 ax 5 a 0 且a 1 解答 解 1 當01時 a2x 1 ax 5 2x 1 x 5 解得x 6 綜上所述 當01時 不等式的解集為 x x 6 解指數不等式的基本方法是先化為同底指數式 再利用指數函數單調性化為常規的不等式來解 注意底數對不等號方向的影響 反思與感悟 跟蹤訓練3已知 a2 a 2 x a2 a 2 1 x 則x的取值范圍是 答案 解析 命題角度3與指數函數復合的單調性問題例4 1 求函數y 的單調區間 解答 在 3 上 y x2 6x 17是減少的 在 3 上 y x2 6x 17是增加的 解答 同理可得減區間是 2 復合函數單調性問題歸根結底是由x1 x2到f x1 與f x2 的大小 再到g f x1 與g f x2 的大小關系問題 注意在此過程中不等號的變化 反思與感悟 跟蹤訓練4求下列函數的單調區間 1 y 解答 解設y au u x2 2x 3 由u x2 2x 3 x 1 2 4 得u在 1 上為減函數 在 1 上為增函數 當a 1時 y關于u為增函數 當01時 原函數的增區間為 1 減區間為 1 當0 a 1時 原函數的增區間為 1 減區間為 1 解答 解已知函數的定義域為 x x 0 而根據y 的圖像可知在區間 1 和 1 上 y是關于u的減函數 原函數的增區間為 1 和 1 當堂訓練 1 若a 0 5 b 0 5 c 0 5 則a b c的大小關系是A a b cB a b cC a c bD b c a 答案 2 3 4 5 1 解析 2 方程42x 1 16的解是 答案 2 3 4 5 1 解析 3 函數f x 的遞增區間為A 0 B 0 C 1 D 1 答案 2 3 4 5 1 解析 f x 的遞增區間為u x x2 1的遞減區間 即 0 4 設0 a 1 則關于x的不等式的解集為 答案 2 3 4 5 1 解析 解析 0 a 1 y ax在R上是減函數 1 又 2x2 3x 2 2x2 2x 3 解得x 1 5 若指數函數y ax在 1 1 上的最大值與最小值的差是1 則底數a 解析若0 a 1 則a 1 a 1 即a2 a 1 0 若a 1 則a a 1 1 即a2 a 1 0 答案 解析 2 3 4 5 1 規律與方法 1 比較兩個指數式值的大小的主要方法 1 比較形如am與an的大小 可運用指數函數y ax的單調性 2 比較形如am與bn的大小 一般找一個 中間值c 若amc且c bn 則am bn 2 解簡單指數不等式問題的注意點 1 形如ax ay的不等式 可借助y ax的單調性求解 如果a的值不確定 需分01兩種情況進行討論 2 形如ax b的不等式 注意將b化為以a為底的指數冪的形