習題一1. 某戰士有兩支槍，射擊某目標時命中率分別為0.9及0.5，若隨機地用一支槍，射擊一發子彈后發現命中目標，問此槍是哪一支的概率分別為多大？2. 設隨機變量X的概率密度為 f（x）求：（1）常數A; (2)分布函數F（x）；（3）隨機變量YlnX的分布函數及概率分布。3. 設隨機變量（X, Y）的概率密度為 f (x , y) = Asin (x + y ), 0x ,y 求：(1) 常數A ；（2）數學期望EX，EY； （3） 方差DX ，DY；(4) 協方差及相關系數。4. 設隨機變量服從指數分布 求特征函數,并求數學期望和方差。5. 設隨機變量X與Y相互獨立，且分別服從參數為1 和2的泊松分布，試用特征函數求Z = XY 隨機變量的概率分布。6一名礦工陷進一個三扇門的礦井中。第一扇門通到一個隧道，走兩小時后他可到達安全區。第二扇門通到又一隧道，走三個小時會使他回到這礦井中。第三扇門通到另一隧道，走五個小時后，仍會使他回到這礦井中。假定礦井中漆黑一團，這礦工總是等可能地在三扇門中選擇一扇，讓我們計算礦工到達安全區的時間X的矩母函數。7 設 （X， Y） 的分布密度為 （1） （2） 問X，Y是否相互獨立？8. 設（X，Y）的聯合分布密度為XY 1 21 0 1 0 問： （1）， 取何值時X，Y不相關； （2），取何值時相互獨立。習題二設有兩個隨機變量X、相互獨立，它們的概率度分別為和，定義如下隨機過程：，試求的均值函數和相關函數。從t=0開始每隔秒丟擲一次硬幣（均勻的），對每一個丟擲的時刻t，規定隨機變量X(t)= 試求：（1）F（；），F（）（2）F（，1；，）。袋中有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回，對每一個確定的t對應隨機變量 試求這個隨機過程的一維分布函數族。設在時間區間內來到某商店的顧客數X(t)是參數的泊松過程。為第n個顧客來到的時刻，求的分布函數。5. 設通過十字路口的車流可以看做泊松過程，如果1分鐘內沒有車子通過的概率為0.2，求2分鐘內有多于一輛車通過的概率。6.令表示時間內（單位：分）顧客到達某商店的人數，設是泊松過程。根據歷史資料統計分析，顧客到達該商店的強度是每小時30人。求兩個顧客相繼到達的時間間隔短于4分鐘的概率。7.一質點從坐標原點出發在數軸上做隨機游動，每隔1秒以概率p向右移動一格（1單位長），或以概率q=1p向左移動一格，以X（n）表示質點在第n秒至n+1秒之間的位置（坐標），則隨機過程 由于質點隨機游動的獨立性，它是一個獨立增量過程。求X（n）的概率分布及增量X（t+）X（t）的概率分布。 8. 求隨機過程的一維概率密度，其中為常數，。9.設復隨機過程Z（t）=，0，其中（1）是相互獨立且服從N (0，)的隨機變量，(1是常數，試求復隨機過程Z（t）的均值函數與自相關函數。10.設為一個獨立增量過程，且X（0）=0，證明X(t)是個馬氏過程。11.設隨機過程，其中，是相互獨立的標準正態分布變量，試證是一個正態過程。12.設，其中S、V、A為相互獨立的正態分布變量，試證是一個正態過程。習題三1. 一質點在區間0,4中的0,1,2,3,4上作隨機游動,移動的規則是:在0點以概率1向右移動一個單位,在1,2,3點上各以概率1/3向左,向右移動一個單位或留在原處,試求轉移概率矩陣.2. 一個圓周上共有N格（按順時針排列），一個質點在該圓周上作隨機游動，移動的規則是：質點總是以概率p順時針游動一格，以概率q=1-p逆時針游動一格。試求移動概率矩陣。3. 一個質點在全直線的整數點上作隨機游動，移動的規則是：以概率p從i移動到i-1，以概率q從i移到i+1，以概率r停留在i，且r+p+q=1，試求轉移概率矩陣。4. 波利亞（polya）罐子模型波利亞（polya）罐子模型可描述如下：一個罐子裝有r格紅球，l個黑球，現隨機地從罐中取出一個球，記錄其顏色，然后將這個球放回罐中，并且再加進a個同顏色的球。持續地進行這一實驗過程，設X表示第n次試驗結束時罐中實有紅球的數目： X=i，ir， I=0，1，2，不論在時刻n時如何轉移到i的，系統在時刻n+1時，必轉移到狀態i+a或i，因此， X，n0是馬氏鏈。使求它的一步轉移概率，并說明此鏈不是時間齊次的馬氏鏈。5. 設袋中有a個球，球為黑色的或白色的，今隨機地從袋中取一個球，然后放回一個不同顏色的球。若在袋里有k個白球，則稱系統處于狀態k，試用馬爾可夫鏈描述這個模型(稱為愛倫菲斯特模型)，并求轉移概率矩陣。6設水庫的蓄水情況分為三個狀態：空庫、半庫、蓄滿。并分別記為1，2，3。在不同季節水庫蓄水狀態可能轉變，設它為齊次馬氏鏈，其轉移矩陣為 初始分布行矩陣為，試求并指出經過兩個季節水庫蓄滿的概率。7 一個開關有兩個狀態：開、關，分別記為1，2。設 又設開關現在開著時，經過單位時間后為開或閉的概率都是1/2；而現在關著時，經過單位時間后，他仍然關著的概率是1/3，開著的概率為2/3。（1） 試寫出馬氏鏈的一步轉移矩陣；（2） 設開始時開關處于狀態1，求經過二步轉移開關仍處于狀態1的概率。8 設馬氏鏈的狀態空間為,其進一步轉移矩陣為試研究各狀態間的關系。9設馬氏鏈的狀態空間,其一步轉移矩陣為試研究各狀態間的關系，并畫出狀態傳遞圖。10設馬氏鏈的狀態空間,其一步轉移矩陣為試研究各狀態間的關系，并畫出狀態傳遞圖。11設馬氏鏈的狀態空間,其一步轉移矩陣為試問此鏈是否具有遍歷性，若有，則求其平穩分布。12天氣預報問題 若明天是否有雨僅與今天天氣有關，與過去無關。并設今日有雨、明日也有雨的概率為，今日無雨、明日也有雨的概率為。試求：（1）一步轉移矩陣；（2）今日有雨且第4日仍有雨的概率（設。13考慮一個通信系統，它通過幾個階段傳送數字0和1，設在每一階段被下一階段接受的數字仍與者階段相同的轉移概率為0.75.且記第n 階段接受的數 ，試求進入第1階段的數字是0，而且第5階段被接受到的也是0的概率。14設建筑物受到地震的損害程度為齊次馬氏鏈，按損害的程度分為5種狀態：無損害稱為狀態1，輕微損害稱為狀態2，中等損害稱為狀態3，嚴重損害稱為狀態4，全部倒塌稱為狀態5。設一步轉移概率為又設初始分布為試求接連發生二次地震時，該建筑物出現各種狀態的概率是多少？15設某河流每日的BOD（生物耗氧量）濃度為齊次馬氏鏈，狀態空間是按BOD濃度極低、低、中、高分別表示為1，2，3，4，其轉移矩陣為（以天為單位）如果BOD濃度高，則稱河流處于污染狀態。（1） 說明此馬氏鏈為不可約非周期正常返鏈；（2） 求此鏈的平穩分布；（3） 求河流再次到達污染的平均時間。16.設馬氏鏈的狀態空間，其一步轉移矩陣為 試對其狀態分類。17.設馬氏鏈的狀態空間，其一步轉移矩陣為 試研究各狀態的類及周期性。18.設馬氏鏈的狀態空間為，其一步轉移矩陣為 試研究各狀態的類，并討論各狀態的遍歷性。19.設馬氏鏈的狀態空間為，其一步轉移矩陣為 試對各狀態進行分類。20.設為一個時間連續的馬氏鏈，其狀態空間。假定在時間段內改變一次狀態（從一個值跳到另一個值）的概率為，未曾改變狀態的概率為，而在這段時間內改變多于一次的概率為。試求時間t時的轉移概率 （i,j=0，1）。習題四1. 已知隨機過程X(t)的自相關函數為RX()=exp，試判斷其連續性和可微性。2. 隨機初相信號X(t)=Acos(t+)，試中A和均為常數，已知mX(t)=0, RX()=Acost/2,=ts。信號X(t)在時間T內的積分值為Y(T)=X(t)dt,試求Y(T)的均值和方差。3. 討論隨機過程X(t)=At+Bt+C,(其中A，B，C獨立同分布且服從N(0,)的均方連續性、均方可微性和均方可積性。并求X(t),Y(t)=X(s)ds的均值函數和相關函數。4. 討論隨機過程X(t)，(其中X(t)的均值為0，相關函數R(s,t)=1/a+(st)的均方連續性、均方可微性和均方可積性。并求X(t),Y(t)=X(s)ds的均值函數和相關函數。習題五X Y-12P2/31/31. 設Z(t)=Xsint+Ycost,其中X,Y是相互獨立同分布的隨機變量，其分布列為證明Z(t)是寬平穩過程。2設，其中是常數，,是相互獨立，且都服從正態分布的隨機變量，試證明是平穩過程。3設隨機過程，其中是在上均勻分布的隨機變量，試證 (1) ，是一個平穩序列。 （2），不是一個平穩過程。4設隨機過程其中是周期為的波形，在區間內為均勻分布的隨機變量，證明是平穩過程。5.設隨機過程由下列三個樣本函數組成，且等概率發生，問：（1）計算均值和自相關函數； （2）該隨機過程是否平穩。6.設隨機過程X(t)=Asin(2t+)其中A為常數，1和2為相互獨立的隨機變量。1的概率密度為偶函數，2在內均勻分布。證明：（1）X(t)為平穩過程；（2）X(t)是均值遍歷的 習題六1. 設為獨立隨機序列，且令，則當時，關于是下鞅；當時，關于是上鞅。 2.設為獨立隨機序列，且令，則關于是鞅。 2. 設表示生滅過程各代的個體數，且，任意一個個體生育后代的分布為均值，證明是一個關于的鞅。 4.（公平博弈的問題）設獨立同分布，分布函數為，于是，可以將看作一個投硬幣的游戲的結果：如果出現正面就贏1元，出現反面則輸1元：假設我們按以下的規則來賭博，每次投硬幣之前的賭注都比上一次翻一倍，直到贏了賭博即停，令表示第次賭博后所輸（或贏）的總錢數，則是關于的鞅。5.設是布朗運動，則（1）是鞅；（2）對任何的實數，是鞅。習題七1. 通常假設股票價格服從馬爾科夫過程，是什么含義？2. 假設某股票的價格變化遵循維那過程，其初始價值為20元，估算的時間為一年。在一年結束時，若資產價值按正態分布，其期望值為10，標準差為1，那么在兩年期結束時，資產價值的期望值和標準差是多少？3. 假定有一支股票價格S遵循一般維那過程，即dS=，在第一年中，=2， =3，若股票價格的初始值為30，則在第二年末股票價格的分布概率為多少？4. 考慮一種無紅利支付的股票，假定價格S遵循過程： 其中每年預期收益率為（以連續復利計），漂移率為，若初始值為S=20元，試分別解釋當時間間隔為一周、一月和一季度時，股票的價格變化規律？習題八1. 求隨機微分.2. 利用伊托公式證明 3. 設B（t）是標準布朗運動，證明 并求出的值。4. 設B(t)是標準布朗運動，利用伊托公式證明下列隨機過程是關于的連續鞅。 （1）； （2）習題九1. 若某種股票的初始價格為30美元，年預期收益為15%，年波動性為25%，問在六個月后，該股票價格的概率分布是什么？并判斷在置信度為95%時股票價格的變化范圍。2. 假設某種股票當前的價格為15元，每年的預期收益率為12%，每年的波動率為20%，則在一年后股票價格的均值和方差是多少？3. 假設有一股票，其期望收益率為16%，波動性為30%，某天其股票價格為40元，計算如下問題：（1）預期下一天的股票價格為多少？（2）下一天該股票的標準差為多少？（3）下一天該股票95%的置信度區間為多少？4. 股票A和股票B均符合幾何布朗運動，在任何短時間內二者的變化是不想關的，問由一股股票A和一股股票B構成的證券組合的價值是否也遵循幾何布朗運動？請解釋原因。5.若某種股票價格S遵循幾何布朗運動，其期望收益率為，波動率為，即dS=Sdt+SdW 則變量“S”也遵循幾何布朗運動習題十1 求無紅利支付股票的歐式看漲期權的價格。其中股票的價格為52元，執行價格為50元，無風險利率是5%，年波動率為30%，到期日為3個月。2 求無紅利支付