個性化教案教師姓名學(xué)生姓名填寫時間學(xué)科數(shù)學(xué)年級上課時間 課題名稱正余弦定理解三角形課時計劃 教學(xué)目標(biāo)1正、余弦定理解三角形2正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積3.正余弦定理的實際應(yīng)用（靈活運(yùn)用）教學(xué)重點(diǎn)難 點(diǎn)1掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法2正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積【知識梳理】1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解決不同的三角形問題2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形為：cos A，cos B，cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R，r.4.三角形內(nèi)角和為，故有sin A 0 sin Asin(B+ C)，cos Acos(B+ C)5.三角形大邊對大角，或者說大角對大邊。即：若ab, A B,sin A sin B 知一推二6.正弦值(不是1)的情況下，對應(yīng)角度有兩個，而余弦值與角度一一對應(yīng)。【常考考點(diǎn)】1考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法2考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積3.正余弦定理的實際應(yīng)用（靈活運(yùn)用）【解題關(guān)鍵】1三角函數(shù)及三角恒等變換的基礎(chǔ)2正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化。（通過正、余定理變形技巧實現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，解題過程中做到正余弦定理的正確選擇）3.能利用三角形的判定方法準(zhǔn)確判斷解三角形的情況。4.三角形的邊角關(guān)系（大邊對大角）、三角形內(nèi)角和180度。5已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aabsin Absin Aabababab解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解【一條規(guī)律】在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，ABabsin Asin B.【兩類問題】在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無解，應(yīng)注意區(qū)分余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)已知三邊，求各角【兩種途徑】根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)在ABC中，A60，B75，a10，則c等于()A5 B10 C. D5解析由ABC180，知C45，由正弦定理得：，即.c.答案C2在ABC中，若，則B的值為()A30 B45 C60 D90解析由正弦定理知：，sin Bcos B，B45.答案B3(2011鄭州聯(lián)考)在ABC中，a，b1，c2，則A等于()A30 B45 C60 D75解析由余弦定理得：cos A，0A，A60.答案C4在ABC中，a3，b2，cos C，則ABC的面積為()A3 B2 C4 D.解析cos C，0C，sin C，SABCabsin C324.答案C5已知ABC三邊滿足a2b2c2ab，則此三角形的最大內(nèi)角為_解析a2b2c2ab，cos C，故C150為三角形的最大內(nèi)角答案150考點(diǎn)一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45.求角A，C和邊c.審題視點(diǎn) 已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解的判斷解由正弦定理得，sin A.ab，A60或A120.當(dāng)A60時，C180456075，c；當(dāng)A120時，C1804512015，c. (1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意【訓(xùn)練1】 (2011北京)在ABC中，若b5，B，tan A2，則sin A_；a_.解析因為ABC中，tan A2，所以A是銳角，且2，sin2Acos2A1，聯(lián)立解得sin A，再由正弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得a2.答案2考點(diǎn)二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面積審題視點(diǎn) 由，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.將上式代入得：，整理得：a2c2b2ac.cos B.B為三角形的內(nèi)角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B. (1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用【訓(xùn)練2】已知A，B，C為ABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面積解(1)由2cos2 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，則a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，則bc4，故SABCbcsin A.考點(diǎn)三利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，試判斷ABC的形狀審題視點(diǎn) 首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的內(nèi)角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC為等腰三角形或直角三角形 判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系【訓(xùn)練3】 在ABC中，若；則ABC是()A直角三角形 B等邊三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形解析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R為ABC外接圓半徑).即tan Atan Btan C，ABC.答案B考點(diǎn)四正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3】在ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面積等于，求a，b；(2)若sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC的面積審題視點(diǎn) 第(1)問根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理列出關(guān)于a，b的方程，通過方程組求解；第(2)問根據(jù)sin Csin(BA)2sin 2A進(jìn)行三角恒等變換，將角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系，求出邊a，b的值即可解決問題解(1)由余弦定理及已知條件，得a2b2ab4.又因為ABC的面積等于，所以absin C，得ab4，聯(lián)立方程組解得(2)由題意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.當(dāng)cos A0，即A時，B，a，b；當(dāng)cos A0時，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.聯(lián)立方程組解得所以ABC的面積Sa bsin C. 正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對任意三角形都成立，通過這些等式就可以把有限的條件納入到方程中，通過解方程組獲得更多的元素，再通過這些新的條件解決問題【訓(xùn)練3】 (2011北京西城一模)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cos B，b2.(1)當(dāng)A30時，求a的值；(2)當(dāng)ABC的面積為3時，求ac的值解(1)因為cos B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因為ABC的面積Sacsin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.所以ac2.閱卷報告4忽視三角形中的邊角條件致錯【問題診斷】 考查解三角形的題在高考中一般難度不大，但稍不注意，會出現(xiàn)“會而不對，對而不全”的情況，其主要原因就是忽視三角形中的邊角條件.,【防范措施】 解三角函數(shù)的求值問題時，估算是一個重要步驟，估算時應(yīng)考慮三角形中的邊角條件.【示例】(2011安徽)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，a，b，12cos(BC)0，求邊BC上的高錯因忽視三角形中“大邊對大角”的定理，產(chǎn)生了增根實錄由12cos(BC)0，知cos A，A，根據(jù)正弦定理得：sin B，B或.以下解答過程略正解在ABC中，cos(BC)cos A，12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根據(jù)正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A.BC邊上的高為bsin C.【試一試】ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2 Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.嘗試解答(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin Bsin A，所以.(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B0，故cos B，所以B45.【鞏固練習(xí)】1 在銳角中，角所對的邊長分別為.若（）A. B. C. D.2 設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, 若, 則ABC的形狀為（）A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D不確定3 在,內(nèi)角所對的邊長分別為（）ABCD 4 的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則的面積為（ ）（A） （B） （C） （D）5.的內(nèi)角的對邊分別是,若,則（）AB2CD16設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為,若,則角=（）ABCD7已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為,則（）ABCD8.在ABC中,則（）ABCD19.已知的內(nèi)角、所對的邊分別是,.若,則角的大小是_10設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,.(I)求(II)若,求11.在ABC中, 內(nèi)角A, B, C所對的邊分別是a, b, c. 已知, a = 3, . () 求b的值; () 求的值. 12在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2asinB=b .